Analysis 2

Da das Grillen im Winter immer beliebter wird, untersucht der Hersteller eines Gasgrills den Temperaturverlauf während eines Grillvorgangs bei einer Umgebungstemperatur von $8^{\circ}C.$
Zwei Minuten nach Beginn der Messung wird der Deckel für einen gewissen Zeitraum geöffnet, um Grillgut aufzulegen. Die durch den Temperaturfühler im Deckel gewonnenen Messpunkte liegen auf dem Graphen einer Funktion $f$ mit

$f(t)=...$

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$0\leq t\leq 9.$

Dabei gibt $t$ die Zeit in Minuten und $f(t)$ die Temperatur am Temperaturfühler in $^{\circ}C$ an.

Abb. 1

Bestimme mit Hilfe der Grafik auf dem Beiblatt sowohl die Temperatur als auch die momentane Temperaturänderungsrate sechs Minuten nach Beginn der Messung.

(4 BE)

$\,$

Berechne die maximale Temperatur.

(6 BE)

$\,$

Berechne die durchschnittliche Temperatur über dem Zeitintervall $[0;9].$

(3 BE)

$\,$

Der Hersteller behauptet, dass die momentane Temperaturänderungsrate zu Beginn des Grillvorgangs $5^{\circ}C$ pro Sekunde erreicht.
Zeige rechnerisch, dass diese Behauptung bei dem untersuchten Grillvorgang nicht zutrifft.

(3 BE)

Nach 9 Minuten kühlt der ausgeschaltete Grill bei geöffnetem Deckel weiter ab. Die bei der Abkühlung gewonnenen Messpunkte liegen auf dem Graphen einer Funktion $g_{a;b}$ mit

$g_{a;b}(t)$ = $a \cdot e^{-b\cdot(t-9)} + 7;$ $9 \leq t \leq 20;$ $a \gt 0;$ $b \gt 0.$

Es gilt $g_{a;b} (t)$ = $-a \cdot b \cdot e^{-b \cdot (t-9)}$ .

$\,$

Beweise, dass die Graphen der Funktionen $g_{a;b}$ für alle $a \gt 0$ und $b \gt 0$ an jeder Stelle $t$ fallen.

(2 BE)

$\,$

Die Graphen der Funktionen $g‘‘_{a;b}$ verlaufen für alle $a\gt 0$ und $b\gt 0$ vollständig oberhalb der $t$ -Achse. Erläutere die Bedeutung dieser Eigenschaft für die Graphen der Funktionen $g_{a:b}.$

(2 BE)

$\,$

Auf dem Beiblatt ist der Graph einer Funktion $g_{a;b}$ abgebildet, der knickfrei an den Graphen von $f$ anschließt. Bestimme die zugehörigen Parameter $a$ und $b.$

(5 BE)

Im Folgenden wird die Funktion $g$ mit

$g(t) = g_{280; 0,5}(t) =$ $280 \cdot \mathrm e^{−0,5\cdot(t−9)} + 7;$ $9 \leq t \leq 20$

und die durch die Funktion $g$ beschriebene Abkühlungsphase betrachtet.

$\,$

Ermittle den Zeitpunkt $t,$ an dem die momentane Temperaturänderungsrate gleich der mittleren Temperaturänderungsrate der Abkühlungsphase ist.

(4 BE)

$\,$

Berechne das zweiminütige Zeitintervall, in dem die Temperatur um genau $100^{\circ}C$ sinkt.

(3 BE)

Der Graph von $f,$ der Graph von $g$ und die $t$ -Achse begrenzen über dem Intervall $[0; 20]$ eine Fläche $F.$

$\,$

Berechne den Inhalt $A$ dieser Fläche $F.$
[Zur Kontrolle: $A\approx 2.666,91]$

(3 BE)

$\,$

Durch den Punkt $M(m \mid 0)$ verläuft eine zur $y$ -Achse parallele Gerade, die die Fläche $F$ in zwei flächeninhaltsgleiche Teile zerlegt.
Ermittle den Wert $m.$

(5 BE)

Beiblatt

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Bildnachweise [nach oben]

[1],[2]

$\blacktriangleright$ Temperatur bestimmen

Mit der Abbildung ergibt sich $f(6)\approx 250.$
Sechs Minuten nach Beginn der Messung beträgt die Temperatur ca. $250^{\circ}C.$

$\blacktriangleright$ Momentane Änderungsrate bestimmen

Die momentane Änderungsrate der Temperatur sechs Minuten nach Messbeginn entspricht der Steigung der Tangente an den Graphen von $f$ im Punkt $(6\mid 250).$

Zeichnest du die Tangente in die Abbildung ein, kannst du diese Steigung mithilfe eines Steigungsdreiecks bestimmen.

Abb. 1: Einzeichnen der Tangente

$\begin{array}[t]{rll} m&\approx& \dfrac{100}{1,5} \\[5pt] &\approx& 67 \end{array}$

Sechs Minuten nach Messbeginn beträgt die momentane Temperaturänderungsrate ca. $67^{\circ}C$ pro Minute.

$\,$

$\blacktriangleright$ Maximale Temperatur berechnen

Bestimme zunächst die Koordinaten der Hochpunkte des Graphen von $f$ und überprüfe dann die Intervallränder auf mögliche Randextrema.

1. Schritt: Ableitungsfunktion bestimmen

$f‘(t)=-4t^3+ ...$

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2. Schritt: Notwendiges Kriterium für Extremstellen anwenden

$t^3-... =0$

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Anhand der Abbildung kannst du vermuten, dass $x_1=8$ eine Extremstelle von $f$ und damit eine Nullstelle von $f‘$ ist. Eine Überprüfung ergibt:

$f‘(8)=0$

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Mithilfe einer Polynomdivision erhältst du:

$...= t^2-6t+8$

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Nun kannst du die übrigen Nullstellen von $f‘$ berechnen:

$\begin{array}[t]{rll} t_2&=& 2 \\[10pt] t_3&=& 4 \end{array}$

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Mögliche Extremstellen von $f$ sind also $t_1=8,$ $t_2=2$ und $t_3=4.$

3. Schritt: Funktionswerte vergleichen

$\begin{array}[t]{rll} f(0)&=& 8 \\[10pt] f(2)&\approx& 205,3\\[10pt] f(4)&\approx& 178,7\\[10pt] f(8)&\approx& 349,3\\[10pt] f(9)&=& 287 \\[10pt] \end{array}$

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Die maximale Temperatur beträgt also ca. $349,3^{\circ}C.$

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$\blacktriangleright$ Durchschnittliche Temperatur berechnen

$...= 225,8$

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Über dem Zeitintervall $[0;9]$ beträgt die durchschnittliche Temperatur $225,8^{\circ}C.$

$\,$

$\blacktriangleright$ Momentane Änderungsrate zu Beginn des Vorgangs untersuchen

$f‘(0)=256$

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Zu Beginn des Grillvorgangs beträgt die momentane Änderungsrate der Temperatur $256^{\circ}C$ pro Minute.

$256\,\dfrac{^{\circ}C}{\text{min}} \approx 4,27 \,\dfrac{^{\circ}C}{\text{s}}$

Zu Beginn des Grillvorgangs beträgt die momentane Änderungsrate der Temperatur also ca. $4,27^{\circ}C$ pro Sekunde und erreicht damit nicht den vom Hersteller angegebenen Wert.

$\blacktriangleright$ Beweisen, dass der Graph fällt

Die Steigung des Graphen von $g_{a;b}$ wird durch die erste Ableitungsfunktion $g‘_{a;b}$ beschrieben.

$g‘_{a;b}(t)= -a\cdot b\cdot \mathrm e^{-b\cdot (t-9)}$

Für alle $a\gt 0$ und $b\gt 0$ gilt für alle $t\in \mathbb{R}:$

$a\gt 0$
$b\gt 0$
$\mathrm e^{-b\cdot (t-9)} \gt 0$

Insgesamt gilt daher:

$g‘_{a;b}(t) \lt 0$

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Da $g‘_{a;b}(t)\lt 0$ für alle Stellen $t$ gilt, ist die Steigung der Graphen von $g_{a;b}$ an jeder Stelle negativ. Die Graphen fallen also für alle $a\gt 0$ und $b\gt 0$ an jeder Stelle $t.$

$\,$

$\blacktriangleright$ Bedeutung der Eigenschaft erläutern

Durch die zweite Ableitungsfunktion wird die Krümmung des Graphen der Ausgangsfunktion beschrieben. Da die Graphen von $g‘‘_{a;b}$ vollständig oberhalb der $t$ -Achse verlaufen, ist $g‘‘_{a;b}\gt 0$ an jeder Stelle $t.$
Die Graphen von $g_{a;b}$ sind also an allen Stellen $t$ linksgekrümmt.
Zudem besitzt $g‘‘_{a;b}$ keine Nullstelle, wodurch an keiner Stelle $t$ das notwendige Kriterium für eine Wendestelle für $g_{a;b}$ erfüllt ist. Die Graphen von $g_{a;b}$ besitzen also keine Wendepunkte.

$\,$

$\blacktriangleright$ Parameter bestimmen

Für einen knickfreien Übergang gelten folgende Bedingungen

$g_{a;b}(9)= f(9)$

$g‘_{a;b}(9)= f‘(9)$

Es ist $f(9)= 287.$

$f‘(9) = -140$

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Mit 1. ergibt sich:

$a=280$

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Mit 2. folgt dann:

$b=0,5$

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Damit der Graph von $g_{a;b}$ knickfrei an den von $f$ anschließt müssen $a=280$ und $b=0,5$ sein.

$\blacktriangleright$ Zeitpunkt ermitteln

1. Schritt: Mittlere Änderungsrate berechnen

$\overline{g‘([9;20])}=...$

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2. Schritt: Stellen mit der mittleren Änderungsrate bestimmen

Gleichsetzen liefert:

$t\approx 12,4$

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Ca. $12$ Minuten nach Beginn der Messung ist die momentane Temperaturänderungsrate gleich der mittleren Temperaturänderungsrate der Abkühlungsphase.

$\,$

$\blacktriangleright$ Intervall berechnen

Gesucht ist der Anfangszeitpunkt $t$ mit $g(t)-100 = g(t+2):$

$t\approx 10,14$

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Im Intervall $[10,14\,;\,12,14]$ nimmt die Temperatur um $100^{\circ}C$ ab.

$\blacktriangleright$ Flächeninhalt berechnen

Die Fläche $F$ lässt sich in zwei Teilflächen aufteilen:

$F_1:$ Die Fläche, die der Graph von $f$ mit der $t$ -Achse im Intervall $[0;9]$ begrenzt
$F_2:$ Die Fläche, die der Graph von $g$ mit der $t$ -Achse im Intervall $[9;20]$ begrenzt