Analysis 2

Der Graph einer ganzrationalen Funktion $g$ dritten Grades mit Definitionsbereich $\mathbb{R}$ hat den Tiefpunkt $(0 \mid 0)$ und den Wendepunkt $\left(-\dfrac{1}{2} \mid \dfrac{5}{4}\right)$ . Runde im Folgenden alle Ergebnisse auf zwei Stellen nach dem Komma.

a1)

Bestimme einen Funktionsterm von $g$ .

Zur Kontrolle: $g(x) = \dfrac{5}{2} x^2 \cdot (2x + 3)$

(5 BE)

a2)

Erstelle für $-1,5 \leq x \leq 0,5$ eine Wertetabelle für die Funktion $g$ mit der Schrittweite $0,25$ und zeichne den Graphen.

(4 BE)

a3)

Betrachtet wird die Tangente an den Graphen von $g$ in dessen Wendepunkt (die sogenannte Wendetangente). Berechne die Größe des Winkels, unter dem diese Tangente die $x$ -Achse schneidet.

(3 BE)

a4)

Zeige, dass die Wendetangente von $g$ und der Graph von $g$ nur den Wendepunkt gemeinsam haben.

(3 BE)

Die Abbildung 1 zeigt den Graphen der auf $\mathbb{R}$ definierten Funktion $h$ mit

$h(x) = 5x^2 \cdot e^{\frac{2}{3} \cdot x^3}$

Abb. 1:

b1)

Zeige, dass die Funktion $h$ keine negativen Funktionswerte hat.

(2 BE)

b2)

Zeige, dass $h‘(x) = 10x \cdot (1 + x^3) \cdot e^{\frac{2}{3}\cdot x^3}$ ein Term der ersten Ableitungsfunktion von $h$ ist.

(2 BE)

b3)

Die $x$ -Achse ist eine waagerechte Tangente an den Graphen von $h$ . Weise nach, dass neben der $x$ -Achse die Gerade $t$ mit $t(x) = 5\cdot e^{-\frac{2}{3}}$ die einzige weitere waagerechte Tangente an den Graphen von $h$ ist.

(4 BE)

b4)

Die Tangente $t$ und der Graph von $h$ haben genau zwei Punkte gemeinsam. Berechne den Inhalt der Fläche, die von der Tangente $t$ und dem Graphen von $h$ vollständig eingeschlossen wird.

(4 BE)

c1)

Bestimme die prozentuale Abweichung der mittleren Steigung des Graphen von $g$ von der mittleren Steigung des Graphen von $h$ im Bereich $-1 \leq x \leq 0$ .

(3 BE)

c2)

Es gilt $(h(1) - g(1)) \cdot (h(2) - g(2)) \lt 0$ . Gib die Bedeutung dieser Tatsache hinsichtlich der gegenseitigen Lage der Graphen von $g$ und $h$ im Bereich $1 \lt x \lt 2$ an. Begründe deine Angabe.

(4 BE)

d1)

Beurteile mithilfe der Abbildung 1 die folgende Aussage: „Für $-1,5 \leq x \leq 1$ ändert sich beim Graphen jeder Stammfunktion von $h$ genau einmal das Krümmungsverhalten.“

(3 BE)

d2)

Einer der Abbildung 2 abgebildeten Graphen $\text{I}, \text{II}$ oder $\text{III}$ ist der Graph der in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $H$ mit $H(x) = \displaystyle\int_{0}^{x} h(t) dt.$

Entscheide, welcher dies ist, und begründe deine Entscheidung.

(3 BE)

Abb. 2:

a1)

$\blacktriangleright$ Funktionsterm bestimmen

Bei $g$ handelt es sich um eine ganzrationale Funktion dritten Grades:

$g(x) = ax^3 +bx^2 +cx +d$

Aus den Koordinaten $T(0\mid 0)$ folgt:

$d=0$

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Da $T$ ein Tiefpunkt ist, gilt $g‘(0)=0.$ Mit $g‘(x) = 3ax^2 +2bx +c$ folgt:

$c=0$

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Es bleibt also noch $g(x)= ax^3 +bx^2$ und $g‘(x)= 3ax^2 +2bx.$
Bei $W$ handelt es sich um einen Wendepunkt. Es muss also gelten $g‘‘\left(-\frac{1}{2}\right) = 0.$ Mit $g‘‘(x) = 6ax+2b$ folgt:

$-3a +2b = 0$

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Aus den Koordinaten von $W$ folgt zudem:

$b=5+\frac{1}{2}a$

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Einsetzen in die obere Gleichung liefert:

$a=5$

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Für $b$ folgt dann:

$b = 5+\frac{1}{2}\cdot 5 = \frac{15}{2}$

Eine Gleichung von $g$ lautet also:

$g(x)= 5x^3 +\frac{15}{2}x^2.$

a2)

$\blacktriangleright$ Wertetabelle erstellen und Graphen zeichnen

$x$	$g(x)$
$-1,5$	$0$
$-1,25$	$1,95$
$-1$	$2,5$
$-0,75$	$2,11$
$-0,5$	$1,25$
$-0,25$	$0,39$
$0$	$0$
$0,25$	$0,55$
$0,5$	$2,5$

Abb. 1: Graph von $g$

a3)

$\blacktriangleright$ Winkelgröße berechnen

$\alpha \approx -75,07^{\circ}$

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Der Winkel, unter dem die Wendetangente die $x$ -Achse schneidet, ist ca. $75^{\circ}$ groß.

a4)

$\blacktriangleright$ Einzigen gemeinsamen Punkt zeigen

Eine Gleichung der Wendetangen folgt aus der Formel für eine Tangentengleichung:

$w(x) = ...$

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Gleichsetzen der Funktionsterme liefert:

$x=-\frac{1}{2}$

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Die einzige Lösung der Gleichung $w(x)=g(x)$ ist $x=-\frac{1}{2}.$ Die Wendetangente und der Graph von $g$ haben also genau einen gemeinsamen Punkt und bei diesem handelt es sich um den Wendepunkt.

b1)

$\blacktriangleright$ Zeigen, dass die Funktion keine negativen Funktionswerte hat

Für die einzelnen Faktoren des Funktionsterms von $h$ gilt $5x^2 \geq 0$ und $\mathrm e^{\frac{2}{3}\cdot x^3} \gt 0.$ Insgesamt gilt daher $h(x) \geq 0$ für alle $x\in \mathbb{R}.$
Die Funktion $h$ kann also keine negativen Funktionswerte annehmen.

b2)

$\blacktriangleright$ Ableitungsfunktion zeigen

Mit der Produktregel folgt:

$h‘(x) = ...$

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b3)

$\blacktriangleright$ Einzige weitere waagerechte Tangente nachweisen

$\begin{array}[t]{rll} h‘(x) &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; \\[5pt] x_1 &=& 0 \\[5pt] x_2 &=& -1 \\[5pt] \end{array}$

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Es gibt also nur die beiden Stellen $x_1= 0$ und $x_2=-1$ mit waagerechter Tangente.

$\begin{array}[t]{rll} h(0) &=& 0 \\[10pt] h(-1) &=& 5\cdot \mathrm e^{-\frac{2}{3}} \end{array}$

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Die waagerechte Tangente an den Graphen von $h$ an der Stelle $x=0$ ist also die $x$ -Achse. Eine Gleichung der waagerechten Tangente an den Graphen von $h$ an der Stelle $x=-1$ lautet $t(x)= 5\cdot \mathrm e^{-\frac{2}{3}} .$
Eine weitere waagerechte Tangente besitzt der Graph von $h$ nicht, da $x_1 = 0$ und $x_2 = -1$ die einzigen Lösungen der Gleichung $h‘(x)=0$ sind.

b4)

$\blacktriangleright$ Flächeninhalt berechnen

$\begin{array}[t]{rll} t(x) &=& h(x) \\[5pt] x_1 &=& -1 \\[5pt] x_2 &\approx& 0,65 \end{array}$

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Für den Flächeninhalt folgt:

$... \approx 2,52$

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Der Flächeninhalt der von der Tangente $t$ und dem Graphen von $h$ eingeschlossenen Fläche beträgt ca. $2,52\,\text{FE}.$

c1)

$\blacktriangleright$ Prozentuale Abweichung bestimmen

$...\approx -0,03$

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Die mittlere Steigung des Graphen von $g$ weicht im Bereich $-1\leq x \leq 0$ um ca. $3\,\%$ von der mittleren Steigung des Graphen von $h$ ab.

c2)

$\blacktriangleright$ Bedeutung der Tatsache angeben und begründen

Da das Produkt negativ ist, muss einer der beiden Faktoren negativ und der andere positiv sein.
Es ist also entweder $h(1)-g(1)$ negativ und $h(2)-g(2)$ positiv oder $h(1)-g(1)$ positiv und $h(2)-g(2)$ negativ.

Im Bereich $1\lt x \lt 2$ gibt es also einen Bereich, in dem der Graph von $h$ oberhalb des Graphen von $g$ verläuft und einen Bereich, in dem es umgekehrt ist.
Im Bereich $1\lt x \lt 2$ gibt es also mindestens einen Schnittpunkt der beiden Graphen von $g$ und $h$ und die Anzahl der Schnittpunkte ist ungerade.

d1)

$\blacktriangleright$ Aussage beurteilen

Das Krümmungsverhalten des Graphen einer Stammfunktion von $h$ wird durch $h‘$ beschrieben. Es ändert sich also an den Stellen, an denen $h$ die Steigung von positiv zu negativ oder von negativ zu positiv ändert. Das ist in den Extremstellen von $h$ der Fall.
Der Abbildung kann man entnehmen, dass der Graph von $h$ im betrachteten Bereich $-1,5\leq x \leq 1$ zwei Extrempunkte besitzt. Der Graph einer Stammfunktion von $h$ besitzt in diesem Bereich also zwei Stellen, an denen sich das Krümmungsverhalten ändert.

d2)

$\blacktriangleright$ Graph bestimmen und begründen

Es ist $H‘(x) = h(x).$ $h$ beschreibt also die Steigung des Graphen von $H:$
Da $h$ keine negativen Funktionswerte annimmt, darf es keine Stellen geben, in denen $H$ eine negative Steigung besitzt. Der Graph von $H$ darf also nicht fallen.
Graph $\text{II}$ scheidet damit aus.
Zudem ist bereits bekannt, dass $h(0)=0$ ist. Der Graph von $H$ besitzt an der Stelle $0$ also eine waagerechte Tangente. Damit scheidet Graph $\text{III}$ weg.

Graph $\text{I}$ gehört also zur Funktion $H.$