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Analysis 2

Aufgabe 2: Analysis

Für die „Deichtherme“ wird eine neue Wasserrutsche geplant. Der Graph in der Abbildung modelliert die Rutschbahn. Der Graph beginnt im Punkt $A(0 \mid 24)$ mit einer Steigung von $-100\,\%$ und endet im Punkt $B(40 \mid 0)$ . Ferner verläuft er durch den Punkt $C(20 \mid 12).$
Die $x$ -Achse stellt den ebenen Boden der Schwimmhalle bzw. die auf gleicher Höhe liegende Wasseroberfläche dar.
Eine Längeneinheit entspricht einem Meter in der Wirklichkeit.

Diagramm einer abfallenden Funktion auf einem Koordinatensystem mit grüner Kurve.

Abb. 1: Graph

a)

a1)

Berechne die durchschnittliche Steigung zwischen Start- und Endpunkt der Rutschbahn und ermittle mit Hilfe der Grafik näherungsweise die Steigung im Punkt $C$ .

$\,$

a2)

Der abgebildete Graph gehört zu einer ganzrationalen Funktion $f$ dritten Grades.
Bestimme eine Funktionsgleichung von $f$ .

(8 P)

b)

Verwende im Folgenden die Funktion $f$ mit

$f(x)= \dotsc$

Grüne Lupe mit einem Pluszeichen, Symbol für Vergrößerung oder Detailansicht.

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b1)

Die Rutsche soll durch zwei vertikale Pfeiler abgestützt werden. Der Architekt plant einen $10$ Meter und einen $15$ Meter hohen Peiler.
Berechne, wie weit die Pfeiler voneinander entfernt stehen.

$\,$

b2)

Zeige rechnerisch, dass $f‘(x)\lt 0$ für alle $x\in [0;40]$ gilt, und interpretiere dies im Sachzusammenhang.

$\,$

b3)

Zeige, dass der Punkt $C$ ein Wendepunkt des Graphen von $f$ ist.

(11 P)

c)

Die Rutschen eines anderen Planungsbüros werden für $0\leq x \leq 40$ durch die Graphen der Funktionenschar $g_a$ mit

$g_a(x)=24 \cdot \mathrm{e}^{-0,05 \cdot a \cdot x} \quad , a \gt 0$

beschrieben.

c1)

Skizziere den Graphen von $g_{1,5}$ und bestimme die Höhe, aus der ein Badegast am Ende dieser Rutsche ins Wasser fällt.

$\,$

c2)

Zwei neue Sicherheitsbestimmungen lauten:

Die Höhe, aus der ein Badegast am Ende der Rutsche ins Wasser fällt, darf höchstens $1,5$ Meter betragen.
Der Neigungswinkel darf im Startpunkt nicht größer als $55^°$ sein.

Untersuche, ob es Parameter $a$ gibt, für die beide Bedingungen erfüllt sind.

$\,$

c3)

Gegeben ist der folgende Term

$\displaystyle\sum\limits_{i=0}^3 \dotsc$

Grüne Lupe mit einem Pluszeichen, Symbol für Vergrößerung oder Detailansicht.

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Veranschauliche den zweiten Summanden dieses Terms in deiner Skizze aus Teilaufgabe c1).
Interpretiere den gesamten Term im Sachzusammenhang.

(15 P)

d)

Die Funktion $G$ ist gegeben durch

$G(a)=\displaystyle\int_{0}^{40}g_a(x)\;\mathrm dx$ mit $a\gt 0$

d1)

Berechne $G(5)$ .

$\,$

d2)

Zeige, dass für jedes $a\gt 0$ gilt:

$G(a)\lt \dfrac{480}{a}$

(6 P)

Bildnachweise [nach oben]

[1]

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a1)

$\blacktriangleright$ Durchschnittliche Steigung bestimmen

Für die durchschnittliche Steigung $m_d$ zwischen Startpunkt $A(0 \mid 24)$ und Endpunkt $B(40 \mid 0)$ folgt mit dem Differenzenquotienten:

$\begin{array}[t]{rll} m_d&=&\dfrac{0-24}{40-0} \\[5pt] &=&\dfrac{-24}{40} \\[5pt] &=&-\dfrac{3}{5} \\[5pt] \end{array}$

Somit beträgt die durchschnittliche Steigung zwischen Start- und Endpunkt $m_d=-\dfrac{3}{5}$ .

$\blacktriangleright$ Steigung berechnen

Die Steigung am Punkt $C$ kann mit Hilfe einer Tangente bestimmt werden. Für die Tangente am Punkt $C(20 \mid 12)$ folgt folgende Abbildung:

Graph mit zwei Kurven in einem Koordinatensystem, beschriftet mit x und y.

Abb. 1: Tangente

Mit dem Steigungsdreieck folgt für die Steigung der Tangente und somit für die Steigung $m_C$ am Punkt $C$ :

$\begin{array}[t]{rll} m_C&=&\dfrac{12-20}{20-0} \\[5pt] &=&\dfrac{-8}{20} \\[5pt] &=&-\dfrac{2}{5} \\[5pt] \end{array}$

Somit beträgt die Steigung am Punkt $C$ etwa $-\dfrac{2}{5}$ .

a2)

$\blacktriangleright$ Funktionsgleichung bestimmen

Es gilt, dass der Graph an dem Startpunkt $A(0 \mid 24)$ die Steigung $-100\,\%$ besitzt. Somit folgt $f‘(0)=-1$ . Für die Ableitungsfunktion der allgemeinen Funktionsgleichung einer ganzrationalen Funktion dritten Grades folgt:

$f‘(x)= 3ax^2+2bx +c$

Grüne Lupe mit einem Pluszeichen, Symbol für Vergrößerung oder Detailansicht.

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Damit folgt mit den Bedingungen aus den gegebenen Koordinaten der Punkte $f(0)=24$ , $f(40)=0$ und $f(20)=12$ das folgende Gleichungssystem:

$\text{I}: \dotsc$

Grüne Lupe mit einem Pluszeichen, Symbol für Vergrößerung oder Detailansicht.

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Durch Einsetzen von $d=24$ und $c=-1$ in die Gleichungen $\text{II}$ und $\text{III}$ folgt:

$\text{I}: \dotsc$

Grüne Lupe mit einem Pluszeichen, Symbol für Vergrößerung oder Detailansicht.

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Somit folgt aus der Gleichung $\text{II}‘$ :

$a = -0,0005$

Grüne Lupe mit einem Pluszeichen, Symbol für Vergrößerung oder Detailansicht.

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Somit folgt mit der Gleichung $\text{III}‘$ :

$b = 0,03$

Grüne Lupe mit einem Pluszeichen, Symbol für Vergrößerung oder Detailansicht.

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Somit gilt die Funktionsgleichung

$f(x)=\dotsc$

Grüne Lupe mit einem Pluszeichen, Symbol für Vergrößerung oder Detailansicht.

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b1)

$\blacktriangleright$ Entfernung der Pfeiler bestimmen

Die Höhe der Pfeiler an der Stelle $x$ wird durch den Funktionswert der Funktion $f$ an der Stelle $x$ dargestellt. Somit folgt für die Stelle $x_1$ an welcher der erste Pfeiler stehen soll:

$-0,0005 \cdot x_1^3 + \dotsc$

Grüne Lupe mit einem Pluszeichen, Symbol für Vergrößerung oder Detailansicht.

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Mit dem Taschenrechner folgt $x_1 \approx 24,86.$

Für die Stelle $x_2$ des zweiten Pfeilers mit einer Höhe von $15$ Metern folgt entsprechend:

$-0,0005 \cdot x_2^3 + \dotsc$

Grüne Lupe mit einem Pluszeichen, Symbol für Vergrößerung oder Detailansicht.

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Mit dem Taschenrechner folgt $x_2 \approx 12,94.$ Somit folgt für den Abstand $d$ der beiden Pfeiler:

$\begin{array}[t]{rll} d&\approx& \vert 24,86-12,94 \vert\\[5pt] &\approx& 11,92 \\[5pt] \end{array}$

Damit beträgt der Abstand zwischen beiden Pfeilern etwa $11,92$ Meter.

b2)

$\blacktriangleright$ Ungleichung zeigen

Für die Ableitungsfunktion folgt:

$f‘(x)= \dotsc$

Grüne Lupe mit einem Pluszeichen, Symbol für Vergrößerung oder Detailansicht.

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Hierbei handelt es sich um die Funktionsgleichung einer nach unten geöffnete Parabel. Der Hochpunkt des Graphen der Ableitungsfunktion gibt somit den maximalen Funktionswert an. Das notwendige Kriterium für einen Hochpunkt lautet hierbei $f‘‘(x)=0$ . Für die zweite Ableitungsfunktion folgt:

$f‘‘(x)=-0,003 \cdot x+0,06$

Grüne Lupe mit einem Pluszeichen, Symbol für Vergrößerung oder Detailansicht.

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Somit folgt mit dem notwendigen Kriterium:

$x_1 =20$

Grüne Lupe mit einem Pluszeichen, Symbol für Vergrößerung oder Detailansicht.

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Das hinreichende Kriterium für einen Hochpunkt an der Stelle $x_1$ lautet $f‘‘‘(x_1)\lt 0$ . Es folgt für die dritte Ableitungsfunktion:

$\begin{array}[t]{rll} f‘‘‘(x)&=& -0,003 \quad \lt 0\\[5pt] \end{array}$

Somit ist das notwendige und hinreichende Kriterium erfüllt und der Graph der Ableitungsfunktion besitzt seinen Hochpunkt an der Stelle $x_1=20$ . Für den Funktionswert an der Stelle $x_1=20$ folgt:

$f‘(20)=-0,4$

Grüne Lupe mit einem Pluszeichen, Symbol für Vergrößerung oder Detailansicht.

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Somit besitzt der Graph der Ableitungsfunktion den Hochpunkt $H(20 \mid -0,4)$ . Dies entspricht dem globalen Maximum, da es sich bei dem Graphen der Ableitungsfunktion um eine nach unten geöffnete Parabel handelt. Somit ist gezeigt, dass $f‘(x)\lt 0$ für alle $x\in[0,40]$ gilt.

$\blacktriangleright$ Wert der Ableitung im Sachzusammenhang interpretieren

Das bedeutet im Sachzusammenhang, dass die Steigung der Wasserrutsche immer negativ ist. Somit fällt die Wasserrutsche in der kompletten Länge von $40$ Meter.

b3)

$\blacktriangleright$ Wendepunkt nachweisen

In der Teilaufgabe wurde bereits gezeigt, dass der Graph der Ableitungsfunktion an der Stelle $x_1=20$ einen Hochpunkt besitzt. Somit gilt $f‘‘(20)=0$ und $f‘‘‘(20)\lt 0$ . Damit ist das notwendige Kriterium für einen Wendepunkt an der Stelle $x_1$ mit $f‘‘(x_1)=0$ und das hinreichende Kriterium mit $f‘‘‘(x_1)\neq 0$ erfüllt.

Somit wurde gezeigt, dass der Graph der Funktion $f$ an der Stelle $x_1=20$ einen Wendepunkt besitzt.

c1)

$\blacktriangleright$ Graphen skizzieren

Kurvendiagramm mit einer abfallenden Linie in grüner Farbe auf einem gitterartigen Hintergrund.

Abb. 2: Graph von $g_{1,5}$

$\blacktriangleright$ Höhe bestimmen

Die Höhe, aus der der Badegast ins Wasser fällt ist durch den Funktionswert der Funktion $g_{1,5}$ an der Stelle $x=40$ gegeben. Es folgt:

$\begin{array}[t]{rll} g_{1,5}(40)&=& 24 \cdot \mathrm{e}^{-0,05 \cdot 1,5 \cdot 40} \\[5pt] &=& 24 \cdot \mathrm{e}^{-3} \\[5pt] &\approx& 1,195 \\[5pt] \end{array}$

Der Badegast fällt somit ungefähr aus einer Höhe von $1,195$ Meter ins Wasser.

c2)

$\blacktriangleright$ Parameter untersuchen

Es folgt, dass $g_a(40)\leq1,5$ gelten muss. Somit folgt:

$a \geq 1,39$

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Damit folgt, dass für $a \geq 1,39$ die Höhe, aus der ein Badegast ins Wasser fällt, höchstens $1,5$ Meter beträgt.

Der Zusammenhang zwischen Neigungswinkel und Steigung an der Stelle $x$ lautet $\tan \alpha=\vert g_a‘(x) \vert$ . Da der Neigungswinkel im Startpunkt nicht größer als $55^°$ sein darf muss entsprechend $\vert g_a‘(0)\vert \lt \tan(55^°)$ gelten.

Entsprechend folgt für die Ableitungsfunktion mit der Kettenregel:

$g‘_a(x)=\dotsc$

Grüne Lupe mit einem Pluszeichen, Symbol für Vergrößerung oder Detailansicht.

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Somit folgt:

$a \lt 1,19$

Grüne Lupe mit einem Pluszeichen, Symbol für Vergrößerung oder Detailansicht.

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Daraus folgt, dass für $0\lt a\lt 1,19$ der Neigungswinkel im Startpunkt nicht größer als $55^°$ ist.

Somit gibt es keinen Parameter $a$ für den beide Bedingungen erfüllt sind.

c3)

$\blacktriangleright$ Summand in Skizze veranschaulichen

Der zweite Summand des Terms lautet $\sqrt{10^2+(g_{1,5}(20))-g_{1,5}(10))}$ .

Es ergibt sich folgende Darstellung, wobei

$s=\dotsc$

Grüne Lupe mit einem Pluszeichen, Symbol für Vergrößerung oder Detailansicht.

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gilt:

Grafik mit einer Kurve und einem orangefarbenen Rechteck im Koordinatensystem. Beschriftungen sind vorhanden.

Abb. : Skizze

Es wird hierbei die Länge der Strecke mit dem Satz des Pythagoras ausgerechnet.

$\blacktriangleright$ Term Im Sachzusammenhang interpretieren

Die Länge der Kurve wird näherungsweise berechnet. Indem die Funktion $g_{1,5}$ im Intervall $[0;40]$ stückweise durch Streckenzüge angenähert wird.

d1)

$\blacktriangleright$ Wert berechnen

Für $G(5)$ folgt mit den gegebenen Gleichungen:

$G(5) \approx 95,996$

Grüne Lupe mit einem Pluszeichen, Symbol für Vergrößerung oder Detailansicht.

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Somit gilt $G(5) \approx 95,996$ .

d2)

$\blacktriangleright$ Ungleichung zeigen

Für $a\gt 0$ folgt für $G(a)$ :

$G(a)= \dotsc$

Grüne Lupe mit einem Pluszeichen, Symbol für Vergrößerung oder Detailansicht.

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Hierbei gilt $-2 \cdot a \lt 0$ und somit folgt $0\lt \mathrm{e}^{-2 \cdot a} \lt 1$ , da die $\mathrm{e}$ -Funktion nur positive Funktionswerte annehmen kann. Somit folgt, dass $1- \mathrm{e}^{-2 \cdot a}\lt 1$ gilt und damit folgt die Ungleichung $G(a)\lt \dfrac{480}{a}$ .

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