Hilfsmittelfreier Teil

HMF 1 - Analysis (Pool 1)

Gegeben ist die Funktion $f$ mit $f(x)=x \cdot\left(x^2-1\right)=x^3-x.$

1.1

Kreuze die richtigen Aussagen über $f$ an.

Die Funktion $f$ besitzt genau

	eine Nullstelle
	zwei Nullstellen
	drei Nullstellen

Der Graph der Funktion $f$ ist

	achsensymmetrisch zur $y$ -Achse
	punktsymmetrisch zum Ursprung
	weder achsensymmetrisch zur $y$ -Achse noch punktsymmetrisch zum Ursprung

(2 P)

1.2

Bestimme alle Stellen, an denen der Graph von $f$ die Steigung $11$ aufweist.

(3 P)

HMF 2 - Analysis (Pool 1)

Eine in $\mathbb{R}$ definierte ganzrationale, nicht lineare Funktion $f$ mit erster Ableitungsfunktion $\(f$ und zweiter Ableitungsfunktion $\(f$ hat folgende Eigenschaften:

$f$ hat bei $x_1$ eine Nullstelle.
Es gilt $\(f$ und $\(f$
$\(f$ hat ein Minimum an der Stelle $x_3.$

Die Abbildung zeigt die Positionen von $x_1, x_2$ und $x_3$ .

2.1

Begründe, dass der Grad von $f$ mindestens $3$ ist.

(2 P)

2.2

Skizziere in der Abbildung einen möglichen Graphen von $f.$

(3 P)

HMF 3 - Analysis (Pool 2)

Die Abbildung zeigt den Graphen der in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $f,$ dessen einzige Extrempunkte $(-1 \mid 1)$ und $(0 \mid 0)$ sind, sowie den Punkt $P.$

3.1

Gib die Koordinaten des Tiefpunkts des Graphen der in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $g$ mit $g(x)=-f(x-3)$ an.

(2 P)

3.2

Der Graph einer Stammfunktion von $f$ verläuft durch $P.$ Skizziere diesen Graphen in der Abbildung.

(3 P)

HMF 4 - Stochastik (Pool 1)

In einer Grundschule werden die Kinder der ersten und vierten Klasse befragt, ob sie schwimmen können. $48\,\%$ der befragten Kinder gehen in die vierte Klasse. $\frac{1}{4}$ der befragten Erstklässler und $\frac{1}{8}$ der befragten Viertklässler geben an, dass sie nicht schwimmen können.

4.1

Vervollständige die folgende Vierfeldertafel.

Ein befragtes Kind...	geht in die erste Klasse	geht in die vierte Klasse	$\color{#ffffff}{\sum}$
... gibt an, dass es schwimmen kann
... gibt an, dass es nicht schwimmen kann
$\color{#ffffff}{\sum}$

(3 P)

4.2

Prüfe, ob der Anteil der Viertklässler unter den Kindern, die angeben, dass sie schwimmen können, größer als $50\,\%$ ist.

(2 P)

HMF 5 - Stochastik (Pool 1)

In einem Behälter befinden sich fünf Kugeln, auf denen jeweils eine Zahl steht. Auf drei der Kugeln steht die Zahl $2,$ auf zwei der Kugeln die negative Zahl $a.$ Zweimal nacheinander wird eine Kugel zufällig entnommen und wieder zurückgelegt.

5.1

Gib im Sachzusammenhang ein Ereignis an, dessen Wahrscheinlichkeit mit dem Term $2 \cdot \dfrac{3}{5} \cdot \dfrac{2}{5}$ beschrieben werden kann.

(1 P)

5.2

Die Zufallsgröße $X$ gibt das Produkt der Zahlen an, die auf den beiden entnommenen Kugeln stehen. Der Erwartungswert von $X$ ist $4.$
Bestimme den Wert von $a.$

(4 P)

HMF 6 - Geometrie (Pool 1)

Gegeben sind der Punkt $A(2\mid 0\mid 0)$ und die Ebene $E: x_1+2 x_2+2 x_3=11.$

6.1

Zeige, dass der Punkt $A$ den Abstand $3$ von der Ebene $E$ hat.

(3 P)

6.2

Gib zwei Vektoren $\vec{u}$ und $\vec{v}$ an, so dass $\vec{x}=\pmatrix{11 \\ 0 \\ 0}+r \cdot \vec{u}+s \cdot \vec{v}$ eine Gleichung der Ebene $E$ in Parameterform ist.

(2 P)

HMF 7 - Geometrie (Pool 1)

Gegeben sind die Punkte $A(3\mid5\mid 5)$ und $B(1\mid1\mid 1)$ sowie die Geraden $g$ und $h,$ die sich in $B$ schneiden. Die Gerade $g$ hat den Richtungsvektor $\pmatrix{1\\2\\2},$ die Gerade $h$ den Richtungsvektor $\pmatrix{1\\0\\0}.$

7.1

Weise nach, dass $A$ auf $g$ liegt.

(1 P)

7.2

Bestimme die Koordinaten zweier Punkte $C$ und $D$ so, dass $C$ auf $h$ liegt und das Viereck $ABCD$ eine Raute ist.

(4 P)

HMF 8 - Geometrie (Pool 2)

Gegeben sind die Punkte $A(7\mid 3\mid 1),$ $B(1\mid-3\mid 1)$ sowie die Gerade $g: \vec{x}=\pmatrix{4 \\ 0 \\ 1}+r \cdot\pmatrix{2 \\ -2 \\ 1}.$

8.1

Zeige, dass $g$ eine Mittelsenkrechte der Strecke $\overline{A B}$ ist.

(2 P)

8.2

Es gibt zwei Punkte $P$ und $Q$ auf der Geraden $g,$ so dass die Dreiecke $A B P$ und $A B Q$ jeweils den Flächeninhalt $9 \sqrt{2}$ haben.
Berechne die Koordinaten von $P$ und $Q$ .

(3 P)

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Lösung HMF 1 - Analysis (Pool 1)

1.1

Die Funktion $f$ besitzt genau

	eine Nullstelle
	zwei Nullstellen
	drei Nullstellen

Der Graph der Funktion $f$ ist

	achsensymmetrisch zur $y$ -Achse
	punktsymmetrisch zum Ursprung
	weder achsensymmetrisch zur $y$ -Achse noch punktsymmetrisch zum Ursprung

1.2

Die Steigung des Graphen von $f$ wird durch die Ableitungsfunktion $\(f$ beschrieben:

$\(f$

Gleichsetzen mit $11$ liefert:

$\(\begin{array}[t]{rll} f$

An den Stellen $x_1 =-2$ und $x_2=2$ besitzt der Graph von $f$ die Steigung $11.$

Lösung HMF 2 - Analysis (Pool 1)

2.1

$\(f$ besitzt ein Minimum an der Stelle $x_3$ und muss somit mindestens vom Grad $2$ sein. Dann ist $f$ mindestens vom Grad $3.$

2.2

Lösung HMF 3 - Analysis (Pool 2)

3.1

Der Graph von $g$ enspricht dem an der $x$ -Achse gespiegelten und um $3$ Längeneinheiten in $x$ -Richtung verschobenen Graphen von $f.$
Durch die Spiegelung an der $x$ -Achse verändert sich der Hochpunkt des Graphen von $f$ zu einem Tiefpunkt mit der $y$ -Koordinate $-1.$
Durch die anschließende Verschiebung ändert sich die $x$ -Koordinate des Tiefpunkts zu $-1+3=2.$

Der Tiefpunkt hat also die Koordinaten $(2 \mid -1).$

3.2

Lösung HMF 4 - Stochastik (Pool 1)

4.1

Ein befragtes Kind...	geht in die erste Klasse	geht in die vierte Klasse	$\color{#ffffff}{\sum}$
... gibt an, dass es schwimmen kann	$0,39$	$0,42$	$0,81$
... gibt an, dass es nicht schwimmen kann	$0,52\cdot \frac{1}{4}$ $= 0,13$	$0,48\cdot \frac{1}{8}$ $= 0,06$	$0,19$
$\color{#ffffff}{\sum}$	$0,52$	$0,48$	$1$

4.2

$\dfrac{0,42}{0,81} = \dfrac{42}{81} \gt \dfrac{40,5}{81} = 0,5$

Der Anteil der Viertklässler unter den Kindern, die angeben, dass sie schwimmen können, ist größer als $50\,\%.$

Lösung HMF 5 - Stochastik (Pool 1)

5.1

Auf beiden entnommenen Kugeln stehen unterschiedliche Zahlen.

5.2

Die Zufallsgröße $X$ gibt das Produkt der Zahlen an, die auf den beiden entnommenen Kugeln stehen. $X$ kann somit die Werte $2 \cdot 2 = 4,$ $2 \cdot a = 2a$ und $a \cdot a = a^2$ annehmen.
Für die Wahrscheinlichkeiten der unterschiedlichen Werte ergibt sich folgende Tabelle:

$\color{#ffffff}{X}$	$\color{#ffffff}{P(X)}$
$4$	$\dfrac{3}{5} \cdot \dfrac{3}{5} = \left(\dfrac{3}{5}\right)^2$
$2a$	$\dfrac{3}{5} \cdot \dfrac{2}{5} + \dfrac{2}{5} \cdot \dfrac{3}{5}$
$a^2$	$\dfrac{2}{5} \cdot \dfrac{2}{5} = \left( \dfrac{2}{5}\right)^2$

$E(X) = 4 \cdot \dfrac{9}{25} + 2 a \cdot \dfrac{12}{25} + a^2 \cdot \dfrac{4}{25}$

Gleichsetzen und nach $a$ auflösen:

Rechenweg anzeigen

$a^2 +6a-16 = 0$

$pq$ -Formel anwenden:

$\begin{array}[t]{rll} a_{1,2}&=& -\dfrac{6}{2} \pm \sqrt{\left(\dfrac{6}{2}\right)^2-(-16)} \\[5pt] &=& -3 \pm \sqrt{9+16} \\[5pt] &=& -3 \pm \sqrt{25} \\[5pt] &=& -3 \pm 5 \end{array}$

Es ergibt sich also $a_1 = -8$ und $a_2 = 2.$ Da $a$ negativ sein muss, gilt $a = -8.$

Lösung HMF 6 - Geometrie (Pool 1)

6.1

Ein Normalenvektor von $E$ lässt sich aus der Ebenengleichung ablesen mit $\overrightarrow{n} = \pmatrix{1\\2\\2}.$

Mit der Abstandsformel für einen Punkt und eine Ebene folgt:

$d(A,E) =\dfrac{\left| 1\cdot 2 + 2\cdot 0 +2\cdot 0 -11 \right| }{\left|\pmatrix{1\\2\\2} \right|}$ $= \dfrac{\left| 2-11 \right|}{\sqrt{1^2 +2^2 +2^2}}$ $= \dfrac{9}{3} = 3$

6.2

$\vec{u} = \pmatrix{u_1 \\u_2 \\u_3}$ und $\vec{v}= \pmatrix{v_1 \\v_2 \\v_3}$ sollen Spannvektoren von $E$ sein und müssen daher orthogonal zum Normalenvektor $\vec{n} = \pmatrix{1\\2\\2}$ sein.

Es muss daher gelten:

$\begin{array}[t]{rll} \vec{u} \circ \vec{n}&=& 0 \\[5pt] \pmatrix{u_1 \\u_2 \\u_3}\circ \pmatrix{1\\2\\2} &=& 0\\[5pt] u_1 + 2u_2 +2 u_3 &=& 0 \end{array}$

Es können z.B. $u_1 = 0$ und $u_2=1$ festgelegt werden. Damit folgt dann:

$\begin{array}[t]{rll} 0 + 2\cdot 1 +2u_3 &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; -2 \\[5pt] 2u_3 &=& -2 &\quad \scriptsize \mid\; :2 \\[5pt] u_3 &=& -1 \end{array}$

Analog muss gelten:

$\begin{array}[t]{rll} \vec{v} \circ \vec{n}&=& 0 \\[5pt] \pmatrix{v_1 \\v_2 \\v_3}\circ \pmatrix{1\\2\\2} &=& 0\\[5pt] v_1 + 2v_2 +2 v_3 &=& 0 \end{array}$

Hier können ebenfalls zwei Parameterwerte festgelegt werden, z.B. $v_1 = 1$ und $v_2= 0:$

$\begin{array}[t]{rll} 1 + 2\cdot 0 +2v_3 &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; -1 \\[5pt] 2v_3 &=& -1 &\quad \scriptsize \mid\; :2 \\[5pt] v_3 &=& -0,5 \end{array}$

Zwei mögliche Vektoren sind also:

$\vec{u} = \pmatrix{0 \\1 \\ -1}$ und $\vec{v}= \pmatrix{1 \\ 0 \\-0,5}$

Lösung HMF 7 - Geometrie (Pool 1)

7.1

Eine Geradengleichung von $g$ ist $g:\overrightarrow{X}$ $=\pmatrix{1\\1\\1}$ $+\lambda\cdot\pmatrix{1\\2\\2}.$

Gleichsetzen des Ortsvektors von $A$ mit der Geradengleichung liefert:

$\pmatrix{3\\5\\5}$ $=\pmatrix{1\\1\\1}$ $+\lambda\cdot\pmatrix{1\\2\\2}$

Es ergibt sich das folgende Gleichungsystem:

$\(\begin{array}{lrll} \text{I}\quad&3&=& 1+\lambda &\quad \scriptsize\mid\;-1 \\ \text{II}\quad&5&=& 1+2\lambda &\quad \scriptsize\mid\;-1; \; :(2) \\ \text{III}\quad&5&=& 1+2\lambda &\quad \scriptsize\mid\;-1; \; :(2) \\ \hline \text{I$

Einsetzen von $\lambda = 2$ in die Geradengleichung von $g$ ergibt also die Koordinaten von $A,$ somit liegt $A$ auf $g.$

7.2

Der Abstand zwischen $B$ und $A$ beträgt:

$\overline{AB}$ $= \left\vert\pmatrix{1\\1\\1}-\pmatrix{3\\5\\5}\right\vert$ $= \left\vert\pmatrix{-2\\-4\\-4}\right\vert$ $= \sqrt{(-2)^2+(-4)^2+(-4)^2}$ $= 6\;[\text{LE}].$

Damit $ABCD$ eine Raute ist, muss der Punkt $C$ ebenfalls den Abstand $6\;[\text{LE}]$ zu $B$ haben. Da der gegebene Richtungsvektor von $h$ Betrag 1 hat, folgt:

$\overrightarrow{OC}$ $= \pmatrix{1\\1\\1}+6\cdot\pmatrix{1\\0\\0}$ $= \pmatrix{7\\1\\1}$

Damit $ABCD$ eine Raute ist, muss der Punkt $D$ durch Spiegeln des Punktes $A$ an der Strecke $\overline{AC}$ entstehen. Für den Mittelpunkt dieser gilt:

$\overrightarrow{OM}$ $= \overrightarrow{OA} + \dfrac{1}{2}\cdot\overrightarrow{AC}$ $= \pmatrix{3\\5\\5}+\dfrac{1}{2}\cdot\left(\pmatrix{7\\1\\1}-\pmatrix{3\\5\\5}\right)$ $= \pmatrix{3\\5\\5}+\dfrac{1}{2}\cdot\pmatrix{4\\-4\\-4}$ $= \pmatrix{5\\3\\3}$

Damit folgt für $D:$

$\overrightarrow{OD}$ $= \overrightarrow{OB} + 2\cdot\overrightarrow{BM}$ $= \pmatrix{1\\1\\1}+2\cdot\left(\pmatrix{5\\3\\3}-\pmatrix{1\\1\\1}\right)$ $= \pmatrix{1\\1\\1}+2\cdot\pmatrix{4\\2\\2}$ $= \pmatrix{9\\5\\5}$

Die Koordinaten der Punkte $C$ und $D$ ergeben sich somit als $C(7\mid 1 \mid 1)$ und $D(9\mid 5 \mid 5).$

Lösung HMF 8 - Geometrie (Pool 2)

8.1

Damit $g$ eine Mittelsenkrechte von $\overline{AB}$ ist, muss $g$ orthogonal zu $\overline{AB}$ und durch den Mittelpunkt $M$ der Strecke $\overline{AB}$ verlaufen.

Für den Richtungsvektor $\vec{r} = \pmatrix{2\\-2\\1}$ der Geraden $g$ gilt:

$\vec{r} \circ \overrightarrow{AB} = \pmatrix{2\\-2\\1}\circ \pmatrix{-6\\-6\\0}$ $= 2\cdot (-6) -2\cdot (-6) +1\cdot 0$ $= 0$

$g$ verläuft also orthogonal zu $\overline{AB}.$

$\overrightarrow{OM} = \frac{1}{2}\cdot \left(\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} \right)$ $= \frac{1}{2}\cdot \left( \pmatrix{7\\3\\1} + \pmatrix{1\\-3\\1}\right)$ $= \pmatrix{4\\0\\1}$

Der Mittelpunkt $M$ der Strecke $\overline{AB}$ entspricht dem Aufpunkt der angegebenen Gleichung der Geraden $g$ und liegt somit auf $g.$

Insgesamt ist $g$ daher eine Mittelsenkrechte der Strecke $\overline{AB}.$

8.2

Betrachtet man die Strecke $\overline{AB}$ als Grundseite $g$ der beiden Dreiecke, so entspricht die zugehörige Höhe des jeweiligen Dreiecks der Strecke $\overline{MP}$ bzw. $\overline{MQ}.$ Da $P$ und $Q$ auf der Geraden $g$ liegen, haben beide Koordinaten die Form $(4+2\cdot r\mid -2\cdot r \mid 1+r).$

Hilfsskizze (nicht maßstäblich, nur zur Visualisierung)

Es gilt:

$\left|\overline{AB}\right| = \left| \pmatrix{-6\\-6\\0}\right|$ $= \sqrt{(-6)^2 +(-6)^2 +0^2}$ $= \sqrt{72} = 6\cdot \sqrt{2}$

Für die Höhe $h$ des Dreiecks folgt dann:

$\begin{array}[t]{rll} h &=& \left| \overrightarrow{MP}\right| \\[5pt] &=& \left| \pmatrix{4+2\cdot r \\ -2\cdot r \\ 1+r} - \pmatrix{4\\0\\1}\right| \\[5pt] &=& \left| \pmatrix{2\cdot r \\ -2\cdot r \\r}\right|\\[5pt] &=& \sqrt{(2r)^2 +(-2r)^2 +r^2} \\[5pt] &=& \sqrt{9r^2}\\[5pt] \end{array}$

Mit der Formel für den Flächeninhalt eines Dreiecks folgt:

$\begin{array}[t]{rll} \frac{1}{2}\cdot g\cdot h&=& 9\sqrt{2} \\[5pt] \frac{1}{2}\cdot 6\cdot \sqrt{2}\cdot \sqrt{9r^2} &=& 9\sqrt{2} \\[5pt] 3\cdot \sqrt{2}\cdot \sqrt{9r^2}&=& 9\sqrt{2} &\quad \scriptsize \mid\; :3\sqrt{2}\\[5pt] \sqrt{9r^2}&=& 3 &\quad \scriptsize \mid\;:3 \\[5pt] r^2 &=& 1 \\[5pt] r_1 &=& -1 \\[5pt] r_2 &=& 1 \end{array}$

Die Koordinaten von $P$ und $Q$ lauten somit $P(6\mid -2\mid 2)$ und $Q( 2\mid 2 \mid 0).$

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