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Abi-Aufgaben (WTR)

Abi-Aufgaben (CAS)

Digitales Schulbuch

Inhaltsverzeichnis

Analysis Aufgabe 2

Aufgabe 2: Analysis-CAS

In einem Forschungsinstitut werden Flugzeugtragflächen untersucht.

a)

Im Windkanal wird bei konstanter Anströmung die Auftriebskraft $F_A$ in Abhängigkeit vom Anstellwinkel $\omega$ untersucht.

Diagramm zur Darstellung von Anströmung und Auftriebskräften an einem Objekt.

Abb. 1: Windkanal

Es werden die folgenden Messergebnisse aufgenommen:

Anstellwinkel $\omega$ in Grad	Auftriebskraft $F_A$ in Kilonewton (kN)
$0$	$5$
$5$	$10$
$10$	$13$
$15$	$15$
$20$	$12$

Die Abhängigkeit der Auftriebskraft $F_A$ vom Anstellwinkel $\omega$ soll mit Hilfe einer ganzrationalen Funktion $f$ vierten Grades modelliert werden.

$\,$

a1)

Bestimme einen Funktionsterm der Funktion $f.$

$\,$

Verwende für die folgenden Rechnungen die Funktion $f$ mit

$f(\omega)=\dotsc$

Grüne Lupe mit einem Pluszeichen, Symbol für Vergrößerung oder Detailansicht.

Vollständige Gleichung anzeigen

a2)

Bestimme die maximale Auftriebskraft im Rahmen der Modellierung.

(9 P)

Der abgebildete Querschnitt einer Tragfläche (das sogenannte Profil) lässt sich mit Hilfe zweier Funktionen modellieren. Die Funktion $o$ mit

$o(x)=-0,25 \cdot \sqrt{x} \cdot (x-1)$ und $0\leq x\leq 1,2$

beschreibt die obere Begrenzungslinie des Profils.
Die Funktion $u$ mit

$u(x)= \dotsc$

Grüne Lupe mit einem Pluszeichen, Symbol für Vergrößerung oder Detailansicht.

Vollständige Gleichung anzeigen

beschreibt die untere Begrenzungslinie des Profils.

Grafik eines orangefarbenen Objekts in einem Koordinatensystem mit Achsenbeschriftungen.

Abb. 2: Profil

Eine Längeneinheit entspricht dabei einem Meter in der Realität.

b)

b1)

Bestimme die Schnittpunkte der Graphen von $o$ und $u.$

$\,$

b2)

Weise nach, dass der Graph von $o$ an jeder Stelle $x$ mit $0 \lt x \lt 1,2$ rechtsgekrümmt ist.

$\,$

b3)

Berechne den Winkel, unter dem sich die Graphen von $o$ und $u$ an der Stelle $1,2$ schneiden.

(9 P)

c)

An jeder Stelle $x$ mit $0\leq x \leq 1,2$ wird die Dicke des Profils durch die Differenz der Funktionswerte $o(x)$ und $u(x)$ beschrieben.

c1)

Bestimme die maximale Dicke des Profils.

$\,$

c2)

Berechne die durchschnittliche Dicke des Profils.

(9 P)

d)

Für $0\leq x \leq 1,2$ und $k\geq 0,4$ wird die Schar der Funktionen $u_k$ mit

$u_k(x)=\dotsc$

Grüne Lupe mit einem Pluszeichen, Symbol für Vergrößerung oder Detailansicht.

Vollständige Gleichung anzeigen

verwendet, um die untere Begrenzungslinie des Profils zu variieren.

d1)

Zeige, dass die Funktion $u$ zur Schar der Funktionen $u_k$ gehört.

$\,$

d2)

Bestimme diejenigen Werte von $k$ , für die der Graph von $u_k$ einen Wendepunkt besitzt.

$\,$

d3)

Sei $k$ nun eine reelle Zahl mit $0,4 \leq k \leq 1,2$ .
Die Graphen von $u_k$ und $o$ schneiden sich an den Stellen $0$ und $1,2.$
Die sogenannte Profiltangente $p_k$ ist die Gerade, die durch den Punkt $(1,2 \mid u_k(1,2))$ verläuft und den Graphen von $u_k$ an einer Stelle $x$ mit $0\leq x \lt 1,2$ berührt.
Die Gerade $g_k$ hat mit dem Graphen von $u_k$ genau die Punkte $(k \mid u_k(k))$ und $(1,2 \mid u_k(1,2))$ gemeinsam.

Zeige, dass die Gerade $g_k$ die Profiltangente $p_k$ ist.

Bildnachweise [nach oben]

[1]

© 2017 - SchulLV.

[2]

© 2017 - SchulLV.

a1)

$\blacktriangleright$ Funktionsterm bestimmen

Der Funktionsterm für eine allgemeine Funktion vierten Grades in Abhängigkeit des Anstellwinkels $\omega$ lautet

$f(\omega)=\dotsc$

Grüne Lupe mit einem Pluszeichen, Symbol für Vergrößerung oder Detailansicht.

Vollständige Lösung anzeigen

Mit der gegebenen Wertetabelle und dem CAS folgen für die Parameter:

$a=-\dfrac{1}{3.000}$ , $b=\dfrac{17}{1.500}$ , $c=-\dfrac{91}{600}$ , $d=\dfrac{91}{60}$ und $e=5$ .

Mathematische Gleichungen und Lösungen in einem Software-Dokument.

Abb. 1: menu $\to$ 3: Algebra $\to$ 7 $\to$ 1

Somit lautet der gesuchte Funktionsterm

$f(\omega)=\dotsc$

Grüne Lupe mit einem Pluszeichen, Symbol für Vergrößerung oder Detailansicht.

Vollständige Lösung anzeigen

a2)

$\blacktriangleright$ Maximale Auftriebskraft bestimmen

Die maximale Auftriebskraft entspricht dem maximalen Funktionswert der Funktion $f$ . Durch Zeichnen des Graphen der Funktion $f$ lässt sich erkennen, dass dies der $y$ -Koordinate des Hochpunktes entspricht.

Für die Koordinaten des Hochpunktes folgen ungefähr mit dem CAS:

$H(15,6 \mid 15)$

Graph einer Funktion mit einem Punkt bei (15, 15) und einer Kurve in blau.

Abb. 2: menu $\to$ 6: Graph analysieren $\to$ 3: Maximum

Somit beträgt die maximale Auftriebskraft etwa $15 \text{ kN}$ .

b1)

$\blacktriangleright$ Schnittpunkte bestimmen

Mit dem CAS folgen für die Koordinaten der Schnittpunkte:

$S_1(0 \mid 0)$ und $S_2(1,2 \mid -0,055)$

Grafik von zwei mathematischen Funktionen im Koordinatensystem mit Achsen und Beschriftungen.

Abb. 3: menu $\to$ 6: Graph analysieren $\to$ 4: Schnittpunkt

b2)

$\blacktriangleright$ Krümmung nachweisen

Für den Funktionsterm der zweiten Ableitung folgt mit dem CAS:

$o‘‘(x)=\dotsc$

Grüne Lupe mit einem Pluszeichen, Symbol für Vergrößerung oder Detailansicht.

Vollständige Lösung anzeigen

Mathematische Gleichungen und Ableitungen in einem Dokument.

Abb. 4: menu $\to$ 4: Analysis $\to$ 1: Ableitung

Somit folgt insgesamt, dass $o‘‘(x)\lt 0$ gilt für $0 \lt x \lt 1,2$ . Damit ist der Graph der Funktion in dem gegebenen Intervall rechtsgekrümmt.

b3)

$\blacktriangleright$ Schnittwinkel bestimmen

Für den Schnittwinkel $\alpha$ zwischen den Graphen zweier Funktionen folgt mit den jeweiligen Ableitungsfunktionen und dem CAS an der Stelle $x=1,2$ :

$\alpha \approx 6,18^°$

Grüne Lupe mit einem Pluszeichen, Symbol für Vergrößerung oder Detailansicht.

Vollständige Lösung anzeigen

Somit beträgt der Winkel, unter dem sich die Graphen von $o$ und $u$ schneiden etwa $6,18^°$ .

c1)

$\blacktriangleright$ Maximale Dicke bestimmen

Die Dicke des Profils kann durch die Differenzfunktion $d(x)=o(x)-u(x)$ dargestellt werden. Gesucht ist somit der maximale Funktionswert der Differenzfunktion. Wie in der Teilaufgabe a2) folgen mit dem CAS ungefähr für die Koordinaten des Hochpunktes:

$H(0,36 \mid 0,15)$

Somit beträgt die maximale Dicke etwa $0,15 \text{ m}.$

c2)

$\blacktriangleright$ Durchschnittliche Dicke berechnen

Die durchschnittliche Dicke $\overline{d}$ des Profils im Intervall $[0;1,2]$ entspricht dem durchschnittlichen Funktionswert der Differenzfunktion.

Mit der Formel für den Mittelwert folgt mit dem CAS:

$\overline{d} \approx 0,0922$

Grüne Lupe mit einem Pluszeichen, Symbol für Vergrößerung oder Detailansicht.

Vollständige Lösung anzeigen

Mathematische Berechnungen und Formeln in einem Dokument angezeigt.

Abb. 5: menu $\to$ 4: Analysis $\to$ 3: Integral

Somit beträgt die durchschnittliche Dicke des Profils etwa $0,0922 \text{ m}.$

d1)

$\blacktriangleright$ Zugehörigkeit nachweisen

Durch Umformen folgt für den Funktionsterm der Funktion $u_k$ :

$u_k(x)= \dotsc$

Grüne Lupe mit einem Pluszeichen, Symbol für Vergrößerung oder Detailansicht.

Vollständige Lösung anzeigen

Durch Koeffizientenvergleich mit dem Funktionsterm

$u(x)=\dotsc$

Grüne Lupe mit einem Pluszeichen, Symbol für Vergrößerung oder Detailansicht.

Vollständige Gleichung anzeigen

müssen für den Parameter $k$ die folgenden Gleichungen gelten:

$\text{I}: \dotsc$

Grüne Lupe mit einem Pluszeichen, Symbol für Vergrößerung oder Detailansicht.

Vollständige Lösung anzeigen

Mit dem CAS folgt, dass das Gleichungsystem für $k=0,4$ lösbar ist.

Somit gilt $u=u_{0,4}$ und damit gehört $u$ zur Schar der Funktionen $u_k.$

d2)

$\blacktriangleright$ Werte bestimmen

Für die Ableitungsfunktionen der Funktion $u_k$ gilt:

$u_k‘‘(x)=\dotsc$

Grüne Lupe mit einem Pluszeichen, Symbol für Vergrößerung oder Detailansicht.

Vollständige Lösung anzeigen

Das notwendige Kriterium für eine Wendestelle lautet $u_k‘‘(x)=0$ . Damit folgt:

$x=\frac{2}{3}k +0,4$

Grüne Lupe mit einem Pluszeichen, Symbol für Vergrößerung oder Detailansicht.

Vollständige Lösung anzeigen

Es gilt hierbei $k\geq 0,4$ und $0 \leq x \leq 1,2$ . Daraus folgt die Ungleichung:

$k \leq 1,2$

Grüne Lupe mit einem Pluszeichen, Symbol für Vergrößerung oder Detailansicht.

Vollständige Lösung anzeigen

Somit ist für $0,4 \leq k \leq 1,2$ das notwendige Kriterium für eine Wendestelle erfüllt.

Das hinreichende Kriterium für eine Wendestelle lautet $u_k‘‘‘(x) \neq 0$ . Damit muss $-\dfrac{\sqrt{30}}{600k^2}\cdot 30 \neq 0$ gelten. Dies ist insbesondere für alle $k\geq 0,4$ erfüllt.

Damit besitzt der Graph von $u_k$ für $0,4 \leq k \leq 1,2$ einen Wendepunkt.

d3)

$\blacktriangleright$ Gleichheit der Geraden nachweisen

Die Profiltangente verläuft durch den Punkt $(1,2 \mid u_k(1,2))$ und berührt den Graphen von $u_k$ an einer Stelle $x_B$ . Damit gilt für die Steigung der Profiltangente $m_P=u_k‘(x_B)$ . Außerdem gilt für die Steigung der Profiltangenten mit dem Differenzquotienten:

$m_P=\dfrac{u_k(x_B)-u_k(1.2)}{x_B-1,2}$ .

Damit folgt durch Gleichsetzen die Gleichung:

$u_k‘(x_B)=\dfrac{u_k(x_B)-u_k(1.2)}{x_B-1,2}$

Ist dies nur für $x_B=k$ erfüllt, so folgt damit, dass die Gerade $g_k$ und die Profiltangente identisch sind.

Mit dem Solve-Befehl des CAS folgen als mögliche Lösungen:

$x_1=\dfrac{5k-|5k-6|+6}{10}$ und $x_2=\dfrac{5k+|5k-6|+6}{10}$

Mit $0,4 \leq k \lt 1,2$ folgt $5k-6 \lt 0$ . Für die Lösungen folgt somit durch Auflösen des Betrags:

$x_1=k$

Grüne Lupe mit einem Pluszeichen, Symbol für Vergrößerung oder Detailansicht.

Vollständige Lösung anzeigen

$x_2=1,2$

Grüne Lupe mit einem Pluszeichen, Symbol für Vergrößerung oder Detailansicht.

Vollständige Lösung anzeigen

In der Aufgabenstellung ist $x \lt 1,2$ gegeben. Damit folgt, dass $x_B=k$ die einzige Lösung der Gleichung ist und damit sind die Gerade $g_k$ und die Profiltangente identisch.

Bildnachweise [nach oben]

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a1)

$\blacktriangleright$ Funktionsterm bestimmen

Der Funktionsterm für eine allgemeine Funktion vierten Grades in Abhängigkeit des Anstellwinkels $\omega$ lautet

$f(\omega)=\dotsc$

Grüne Lupe mit einem Pluszeichen, Symbol für Vergrößerung oder Detailansicht.

Vollständige Lösung anzeigen

Mit der gegebenen Wertetabelle und dem CAS folgen für die Parameter:

$a=-\dfrac{1}{3.000}$ , $b=\dfrac{17}{1.500}$ , $c=-\dfrac{91}{600}$ , $d=\dfrac{91}{60}$ und $e=5$ .

Mathematische Gleichungen und Berechnungen in einer Software-Oberfläche.

Abb. 1: Funktionsterm aufstellen

Somit lautet der gesuchte Funktionsterm

$f(\omega)=\dotsc$

Grüne Lupe mit einem Pluszeichen, Symbol für Vergrößerung oder Detailansicht.

Vollständige Lösung anzeigen

a2)

$\blacktriangleright$ Maximale Auftriebskraft bestimmen

Die maximale Auftriebskraft entspricht dem maximalen Funktionswert der Funktion $f$ . Durch Zeichnen des Graphen der Funktion $f$ lässt sich erkennen, dass dies der $y$ -Koordinate des Hochpunktes entspricht.

Für die Koordinaten des Hochpunktes folgen ungefähr mit dem CAS:

$H(15,59 \mid 15,04)$

Graf einer mathematischen Funktion mit Markierung des Maximums und Koordinaten.

Abb. 2: Maximaler Funktionswert

Somit beträgt die maximale Auftriebskraft etwa $15,04 \text{ kN}$ .

b1)

$\blacktriangleright$ Schnittpunkte bestimmen

Mit dem CAS folgen für die Koordinaten der Schnittpunkte:

$S_1(0 \mid 0)$ und $S_2(1,2 \mid -0,055)$

Graphische Darstellung von Funktionen mit Schnittpunkten und Koordinaten.

Abb. 3: Schnittpunkte

b2)

$\blacktriangleright$ Krümmung nachweisen

Für den Funktionsterm der zweiten Ableitung folgt mit dem CAS:

$o‘‘(x)=\dotsc$

Grüne Lupe mit einem Pluszeichen, Symbol für Vergrößerung oder Detailansicht.

Vollständige Lösung anzeigen

Mathematische Software zeigt eine Gleichung zur Ableitung einer Funktion an.

Abb. 4: Funktionsterm der zweiten Ableitung

Somit folgt insgesamt, dass $o‘‘(x)\lt 0$ gilt für $0 \lt x \lt 1,2$ . Damit ist der Graph der Funktion in dem gegebenen Intervall rechtsgekrümmt.

b3)

$\blacktriangleright$ Schnittwinkel bestimmen

Für den Schnittwinkel $\alpha$ zwischen den Graphen zweier Funktionen folgt mit den jeweiligen Ableitungsfunktionen und dem CAS an der Stelle $x=1,2$ :

$\alpha \approx 6,18^°$

Grüne Lupe mit einem Pluszeichen, Symbol für Vergrößerung oder Detailansicht.

Vollständige Lösung anzeigen

Somit beträgt der Winkel, unter dem sich die Graphen von $o$ und $u$ schneiden etwa $6,18^°$ .

c1)

$\blacktriangleright$ Maximale Dicke bestimmen

Die Dicke des Profils kann durch die Differenzfunktion $d(x)=o(x)-u(x)$ dargestellt werden. Gesucht ist somit der maximale Funktionswert der Differenzfunktion. Wie in der Teilaufgabe a2) folgen mit dem CAS ungefähr für die Koordinaten des Hochpunktes:

$H(0,36 \mid 0,15)$

Somit beträgt die maximale Dicke etwa $0,15 \text{ m}.$

c2)

$\blacktriangleright$ Durchschnittliche Dicke berechnen

Die durchschnittliche Dicke $\overline{d}$ des Profils im Intervall $[0;1,2]$ entspricht dem durchschnittlichen Funktionswert der Differenzfunktion.

Mit der Formel für den Mittelwert folgt mit dem CAS:

$\overline{d} \approx 0,0922$

Grüne Lupe mit einem Pluszeichen, Symbol für Vergrößerung oder Detailansicht.

Vollständige Lösung anzeigen

Mathematische Berechnung in einem Software-Interface mit Integralfunktion und Definitionen.

Abb. 5: Durchschnittlicher Funktionswert

Somit beträgt die durchschnittliche Dicke des Profils etwa $0,0922 \text{ m}.$

d1)

$\blacktriangleright$ Zugehörigkeit nachweisen

Durch Umformen folgt für den Funktionsterm der Funktion $u_k$ :

$u_k(x)= \dotsc$

Grüne Lupe mit einem Pluszeichen, Symbol für Vergrößerung oder Detailansicht.

Vollständige Lösung anzeigen

Durch Koeffizientenvergleich mit dem Funktionsterm

$u(x)=\dotsc$

Grüne Lupe mit einem Pluszeichen, Symbol für Vergrößerung oder Detailansicht.

Vollständige Gleichung anzeigen

müssen für den Parameter $k$ die folgenden Gleichungen gelten:

$\text{I}: \dotsc$

Grüne Lupe mit einem Pluszeichen, Symbol für Vergrößerung oder Detailansicht.

Vollständige Lösung anzeigen

Mit dem CAS folgt, dass das Gleichungsystem für $k=0,4$ lösbar ist.

Somit gilt $u=u_{0,4}$ und damit gehört $u$ zur Schar der Funktionen $u_k.$

d2)

$\blacktriangleright$ Werte bestimmen

Für die Ableitungsfunktionen der Funktion $u_k$ gilt:

$u_k‘‘(x)=\dotsc$

Grüne Lupe mit einem Pluszeichen, Symbol für Vergrößerung oder Detailansicht.

Vollständige Lösung anzeigen

Das notwendige Kriterium für eine Wendestelle lautet $u_k‘‘(x)=0$ . Damit folgt:

$x=\frac{2}{3}k +0,4$

Grüne Lupe mit einem Pluszeichen, Symbol für Vergrößerung oder Detailansicht.

Vollständige Lösung anzeigen

Es gilt hierbei $k\geq 0,4$ und $0 \leq x \leq 1,2$ . Daraus folgt die Ungleichung:

$k \leq 1,2$

Grüne Lupe mit einem Pluszeichen, Symbol für Vergrößerung oder Detailansicht.

Vollständige Lösung anzeigen

Somit ist für $0,4 \leq k \leq 1,2$ das notwendige Kriterium für eine Wendestelle erfüllt.

Das hinreichende Kriterium für eine Wendestelle lautet $u_k‘‘‘(x) \neq 0$ . Damit muss $-\dfrac{\sqrt{30}}{600k^2}\cdot 30 \neq 0$ gelten. Dies ist insbesondere für alle $k\geq 0,4$ erfüllt.

Damit besitzt der Graph von $u_k$ für $0,4 \leq k \leq 1,2$ einen Wendepunkt.

d3)

$\blacktriangleright$ Gleichheit der Geraden nachweisen

Die Profiltangente verläuft durch den Punkt $(1,2 \mid u_k(1,2))$ und berührt den Graphen von $u_k$ an einer Stelle $x_B$ . Damit gilt für die Steigung der Profiltangente $m_P=u_k‘(x_B)$ . Außerdem gilt für die Steigung der Profiltangenten mit dem Differenzquotienten:

$m_P=\dfrac{u_k(x_B)-u_k(1.2)}{x_B-1,2}$ .

Damit folgt durch Gleichsetzen die Gleichung:

$u_k‘(x_B)=\dfrac{u_k(x_B)-u_k(1.2)}{x_B-1,2}$

Ist dies nur für $x_B=k$ erfüllt, so folgt damit, dass die Gerade $g_k$ und die Profiltangente identisch sind.

Mit dem Solve-Befehl des CAS folgen als mögliche Lösungen:

$x_1=\dfrac{5k-|5k-6|+6}{10}$ und $x_2=\dfrac{5k+|5k-6|+6}{10}$

Mit $0,4 \leq k \lt 1,2$ folgt $5k-6 \lt 0$ . Für die Lösungen folgt somit durch Auflösen des Betrags:

$x_1=k$

Grüne Lupe mit einem Pluszeichen, Symbol für Vergrößerung oder Detailansicht.

Vollständige Lösung anzeigen

$x_2=1,2$

Grüne Lupe mit einem Pluszeichen, Symbol für Vergrößerung oder Detailansicht.

Vollständige Lösung anzeigen

In der Aufgabenstellung ist $x \lt 1,2$ gegeben. Damit folgt, dass $x_B=k$ die einzige Lösung der Gleichung ist und damit sind die Gerade $g_k$ und die Profiltangente identisch.

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