Hilfsmittelfreier Teil

HMF 1 - Analysis (Pool 1)

Die Abbildung zeigt den Graphen der Funktion $f$ mit $f(x)=x^4-3x^3$ und die Graphen ihrer ersten und zweiten Ableitung.

Grafik mit mehreren mathematischen Funktionen im Koordinatensystem. X- und Y-Achsen sind beschriftet.

Abb. 1: Graphen

1.1

Bestimme die erste und zweite Ableitung der Funktion $f$ und ordne die Ableitungsfunktion den abgebildeten Graphen zu.

(2 P)

1.2

Zeige rechnerisch, dass der Ursprung $(0 \mid 0)$ ein Sattelpunkt (also ein Wendepunkt mit waagerechter Tangente) des Graphen der Funktion $f$ ist.

(3 P)

HMF 2 - Analysis (Pool 1)

Eine Funktion $f$ ist durch $f(x)= 2\cdot \mathrm e^{\frac{1}{2}x}-1$ mit $x\in \mathbb{R}$ gegeben.

2.1

Ermittle die Nullstelle der Funktion $f$ .

(2 P)

2.2

Die Tangente an den Graphen von $f$ im Punkt $S(0\mid 1)$ begrenzt mit den beiden Koordinatenachsen ein Dreieck. Weise nach, dass dieses Dreieck gleichschenklig ist.

(3 P)

HMF 3 - Analytische Geometrie (Pool 1)

3.1

Gegeben seien die Vektoren $\overrightarrow{a}$ , $\overrightarrow{b}$ und $\overrightarrow{c}\in\mathbb{R}^3$ und die reellen Zahlen $r$ und $t$ . Kreuze in der folgenden Tabelle an, ob es sich bei dem Ausdruck um einen Vektor oder um eine Zahl handelt, oder ob der Ausdruck nicht definiert ist.

Tabelle

Vollständige Tabelle anzeigen

(3 P)

3.2

Gegeben seien die Vektoren $\overrightarrow{a}$ und $\overrightarrow{b}\in\mathbb{R}^3.$
Gib einen Term an, dessen Wert die Zahl Null ist und der nur aus Symbolen $\overrightarrow{a}$ , $\overrightarrow{b}$ , $\times$ , $\circ$ sowie Klammern besteht. Jedes der Symbole $\overrightarrow{a}$ , $\overrightarrow{b}$ , $\times$ , $\circ$ muss dabei in dem Term mindestens einmal verwendet werden.

(2 P)

HMF 4 - Analytische Geometrie (Pool 1)

Gegeben sind die Kugel $K$ mit

$K: \dotsc$

Vollständige Lösung anzeigen

und die Gerade $g$ mit $g: \overrightarrow{x}=\pmatrix{12\\0\\4}+ s \cdot \pmatrix{0\\1\\1}.$

4.1

Untersuche, ob die Gerade $g$ die Kugel $K$ schneidet.

(2 P)

4.2

Ermittle eine Parameterform einer Geraden $h$ , die eine Tangente an die Kugel $K$ mit dem Berührpunkt $B(11 \mid 0 \mid 4)$ ist.

(3 P)

HMF 5 - Analytische Geometrie (Pool 2)

Gegeben ist die Ebene $E: 2x_1+x_2-2x_3=-18.$

5.1

Der Schnittpunkt von $E$ mit der $x_1$ -Achse, der Schnittpunkt von $E$ mit der $x_2$ -Achse und der Koordinatenursprung sind die Eckpunkte eines Dreiecks.
Bestimme den Flächeninhalt dieses Dreiecks.

(2 P)

5.2

Ermittle die Koordinaten des Vektors, der sowohl ein Normalenvektor von $E$ als auch der Ortsvektor eines Punktes der Ebene $E$ ist.

(3 P)

HMF 6 - Stochastik (Pool 1)

Auf einem Schiff kann man Süßigkeiten am Kiosk kaufen. Von den an einer Schiffsrundfahrt teilnehmenden Personen sind $60\,\%$ Frauen.
$80\,\%$ der reisenden Frauen und $40\,\%$ der reisenden Männer kaufen Süßigkeiten am Kiosk.

6.1

Stelle den Sachzusammenhang durch eine vollständig ausgefüllte Vierfeldertafel dar.

(3 P)

6.2

Ein Passagier hat Süßigkeiten am Kiosk gekauft.
Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass es sich dabei um eine Frau handelt.

(2 P)

HMF 7 - Stochastik (Pool 1)

Jedes Überraschungsei eines Herstellers enthält entweder eine Figur oder keine Figur, wobei der Anteil der Überraschungseier mit einer Figur $25\;\%$ beträgt.

7.1

Zehn Überraschungseier werden nacheinander zufällig ausgewählt.

Gib einen Term zur Berechnung der Wahrscheinlichkeit dafür an, dass nur in den letzten beiden Überraschungseiern jeweils eine Figur enthalten ist.

(2 P)

7.2

Sechs Überraschungseier werden zufällig ausgewählt. Die Zufallsgröße $X$ gibt an, wie viele dieser Überraschungseier eine Figur enthalten. Eine der folgenden Abbildungen stellt die Wahrscheinlichkeitsverteilung dieser Zufallsgröße $X$ dar:

Histogramm mit Wahrscheinlichkeiten für Werte von k, dargestellt in roter Farbe.

Abb. 2: I

Grafik eines Histogramms mit Wahrscheinlichkeiten für verschiedene Werte von k.

Abb. 3: II

Ein Diagramm zeigt die Wahrscheinlichkeitsverteilung mit roten Balken für Werte von k zwischen 0 und 6.

Abb. 4: III

Gib an, welche Abbildung dies ist.

Begründe, dass die beiden anderen Abbildungen dies nicht sind.

(3 P)

HMF 8 - Stochastik (Pool 2)

Grüne und orange Kugeln sind wie folgt auf drei Urnen verteilt:

Diagramm mit drei Urnen (A, B, C) und bunten Kugeln in verschiedenen Anordnungen.

Abb. 5

8.1

Aus Urne $A$ wird zunächst eine Kugel zufällig entnommen und in Urne $B$ gelegt. Anschließend wird aus Urne $B$ eine Kugel zufällig entnommen und in Urne $C$ gelegt. Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sich danach in Urne $C$ zwei grüne und eine orange Kugel befinden.

(2 P)

8.2

Die drei Urnen mit den in der Abbildung dargestellten Inhalten bilden den Ausgangspunkt für folgendes Spiel:

Es wird zunächst ein Einsatz von $1\,\,€$ eingezahlt. Anschließend wird eine der drei Urnen zufällig ausgewählt und danach aus dieser Urne eine Kugel zufällig gezogen. Nur dann, wenn diese Kugel orange ist, wird ein bestimmter Geldbetrag ausgezahlt.

Ermittle, wie groß dieser Geldbetrag sein muss, damit bei diesem Spiel auf lange Sicht Einsätze und Auszahlungen ausgeglichen sind.

(3 P)

Bildnachweise [nach oben]

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

HMF 1 - Analysis (Pool 1)

1.1

$\blacktriangleright$ Ableitung bestimmen und Graph zuordnen

Für die Ableitungen der Funktion $f(x)=x^4-3x^3$ folgt:

$\begin{array}[t]{rll} f‘(x)&=& 4 \cdot x^3-9 \cdot x^2 \\[5pt] f‘‘(x)&=& 12 \cdot x^2 - 18 \cdot x \\[5pt] \end{array}$

Die erste Ableitung lässt sich durch Ausklammern in der Form $f‘(x)= x^2 \cdot (4 \cdot x-9)$ schreiben. Somit muss der Graph der Funktion an der Stelle $x=0$ eine doppelte Nullstelle besitzen und an der Stelle $x=\dfrac{9}{4}$ eine einfache Nullstelle. Dies ist bei dem gestrichelten Graphen der Fall. Somit gehört der gestrichelte Graph zur ersten Ableitungsfunktion.

Der Graph der zweiten Ableitung ist eine nach oben geöffnete Parabel. Somit gehört der gepunktete Graph zur zweiten Ableitungsfunktion.

1.2

$\blacktriangleright$ Sattelpunkt nachweisen

Der Graph der Funktion $f$ besitzt an der Stelle $x=0$ eine waagerechte Tangente, falls $f‘(0)=0$ gilt. Es folgt:

$\begin{array}[t]{rll} f‘(0)&=&4\cdot 0^3 -9 \cdot 0^2 \\[5pt] &=& 0 \\[5pt] \end{array}$

Somit besitzt der Graph der Funktion $f$ am Ursprung eine waagerechte Tangente.

Das notwendige Kriterium für einen Wendepunkt an der Stelle $x=0$ lautet $f‘‘(0)=0$ . Mit der zweiten Ableitung $f‘‘$ folgt:

$\begin{array}[t]{rll} f‘‘(0)&=& 12\cdot 0^2 -18 \cdot 0 \\[5pt] &=& 0 \\[5pt] \end{array}$

Damit ist das notwendige Kriterium für einen Wendepunkt an der Stelle $x=0$ erfüllt. Für die dritte Ableitung der Funktion $f$ folgt:

$\begin{array}[t]{rll} f‘‘‘(x)&=& 24\cdot x -18 \\[5pt] \end{array}$

Das hinreichende Kriterium für einen Wendepunkt an der Stelle $x=0$ lautet $f‘‘(x)\neq 0$ . Damit folgt:

$\begin{array}[t]{rll} f‘‘‘(0)&=&24\cdot 0 -18 \\[5pt] &=& -18 \quad \neq 0 \\[5pt] \end{array}$

Daraus folgt, dass das notwendige und hinreichende Kriterium für einen Wendepunkt erfüllt ist. Außerdem besitzt der Graph von $f$ am Ursprung eine waagerechte Tangente. Somit besitzt der Graph von $f$ am Ursprung einen Sattelpunkt.

HMF 2 - Analysis (Pool 1)

2.1

$\blacktriangleright$ Nullstelle ermitteln

$x = 2\cdot \ln\left(\frac{1}{2}\right)$

Vollständige Lösung anzeigen

Die Nullstelle der Funktion $f$ ist $x = 2\cdot\ln\left(\frac{1}{2}\right)$

2.2

$\blacktriangleright$ Gleichschenkligkeit nachweisen

1. Schritt: Tangentengleichung bestimmen

Für die Tangente $t:\; y = m\cdot x + b$ muss gelten:

$t$ besitzt die gleiche Steigung wie der Graph von $f$ im Punkt $S(0\mid 1)$ , also $m = f‘(0)$ .
$t$ verläuft durch den Punkt $S(0\mid 1),$ also $t(0)=1.$

$\begin{array}[t]{rll} f(x)&=& 2\cdot\mathrm e^{\frac{1}{2}x}-1 \\[5pt] f‘(x)&=&2\cdot \frac{1}{2}\cdot \mathrm e^{\frac{1}{2}x} \\[5pt] &=&\mathrm e^{\frac{1}{2}x}\\[5pt] \end{array}$

Also gilt für die Steigung:

$\begin{array}[t]{rll} m&=& f‘(0) \\[5pt] &=& \mathrm e^{\frac{1}{2}\cdot 0} \\[5pt] &=& 1 \end{array}$

Einsetzen von $m$ und $S$ in die Tangentengleichung liefert eine Gleichung in Abhängigkeit von $b:$

$\begin{array}[t]{rll} 1&=&1\cdot 0 +b \\[5pt] 1&=& b \end{array}$

Die Gleichung der Tangente an den Graphen von $f$ im Punkt $S(0\mid 1)$ lautet also $t: \; y = x +1$ .

2. Schritt: Koordinaten der Eckpunkte bestimmen

Der erste Eckpunkt ist der Koordinatenursprung $O$ . Der zweite Eckpunkt ist der Schnittpunkt der Tangente mit der $y$ -Achse, also $S(0\mid 1).$ Der dritte Eckpunkt ist der Schnittpunkt der Tangente mit der $x$ -Achse.

$\begin{array}[t]{rll} x+1&=&0 &\quad \scriptsize \mid\;-1 \\[5pt] x&=&-1 \end{array}$

Der dritte Eckpunkt ist also $S_x(-1\mid 0).$

3. Schritt: Seitenlängen berechnen

Es gilt $\overline{OS} = 1$ , $\overline{OS}_x = 1$ und $\overline{S_xS} =\sqrt{2}\neq 1$ . Also ist das Dreieck mit den Eckpunkten $O$ , $S$ und $S_x$ gleichschenklig.

HMF 3 - Analytische Geometrie (Pool 1)

3.1

$\blacktriangleright$ Tabelle vervollständigen

Das Skalarprodukt und das Kreuzprodukt sind jeweils nur für zwei Vektoren definiert. Außerdem ist das Ergebnis des Skalarproduktes zweier Vektoren eine Zahl und das Ergebnis des Kreuzproduktes ein Vektor. Damit ergibt sich die folgende Tabelle:

Tabelle

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Ausdruck	Vektor	Zahl	nicht definiert
$\overrightarrow{a}\circ \left(\overrightarrow{b}+r \cdot \overrightarrow{c}\right)$	$\quad \quad \quad \quad \quad$	$\times$	$\quad \quad \quad \quad \quad$
$\left\| \overrightarrow{a} \right\|\times \overrightarrow{b}$		$\quad \quad \quad \quad \quad$	$\times$
$\left(r \cdot \overrightarrow{c}\right)-\left(\overrightarrow{a} \circ \overrightarrow{b}\right) \cdot \overrightarrow{c}$	$\times$
$\left(\overrightarrow{a} \circ \overrightarrow{a}\right)+\left(r \cdot \left\|\overrightarrow{c} \right\|\right)^2$		$\times$
$\overrightarrow{c} \times \left(t \cdot \overrightarrow{a} - r \cdot \overrightarrow{b}\right)^2$			$\times$
$\overrightarrow{b} \times \left(\overrightarrow{c} \circ \left(r \cdot \overrightarrow{a} \right)\right)$			$\times$

3.2

$\blacktriangleright$ Term angeben

Ein möglicher Term lautet $\left(\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{b}\right) \circ \overrightarrow{b}$ . Für einen Vektor $\overrightarrow{c}$ mit $\overrightarrow{c}=\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{b}$ gilt, dass der Vektor $\overrightarrow{c}$ senkrecht auf $\overrightarrow{a}$ und $\overrightarrow{b}$ steht.

Somit gilt mit dem Skalarprodukt $\overrightarrow{c} \circ \overrightarrow{b}=0$ .

HMF 4 - Analytische Geometrie (Pool 1)

4.1

$\blacktriangleright$ Gerade untersuchen

Durch Einsetzen eines allgemeinen Punktes $P(12 \mid s \mid 4+s)$ der Geraden folgt mit der Gleichung der Kugel $K$ :

$s_{1,2}=\pm \sqrt{-10,5}$

Vollständige Lösung anzeigen

Da die Wurzel für negative Radikanden nicht definiert ist folgt daraus, dass sich die Kugel $K$ und die Gerade $g$ nicht schneiden.

4.2

$\blacktriangleright$ Parameterform ermitteln

Mit der gegebenen Gleichung einer Kugel folgen für die Koordinaten des Mittelpunktes $M$ der Kugel $M(1 \mid 0 \mid 4)$ . Somit folgt für eine Gleichung der Tangentialebene $T$ an der Kugel mit dem Berührpunkt $B(11 \mid 0 \mid 4)$ :

$x_1= 11$

Vollständige Lösung anzeigen

Daraus folgt, dass die Gerade $h$ in der Ebene $T: x_1=11$ liegen muss und durch den gegebenen Berührpunkt $B(11 \mid 0 \mid 4)$ verlaufen muss.

Der Stützvektor der Gerade $h$ kann beispielsweise so gewählt werden, dass dieser genau dem Ortsvektor zum Berührpunkt $B(11 \mid 0 \mid 4)$ entspricht und für den Richtungsvektor muss gelten, dass die $x_1$ -Koordinate gleich Null ist, damit die Gerade in der Ebene $T$ liegt.

Somit kann die Geradengleichung beispielsweise folgendermaßen gewählt werden:

$h: \overrightarrow{x}=\pmatrix{11\\0\\4}+t \cdot \pmatrix{0\\1\\1}$

Die Lösung kann durch Einsetzen eines allgemeinen Punktes der Geraden in die Gleichung der Kugel $K$ folgendermaßen überprüft werden:

$t=0$

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Somit besitzt die Gleichung nur eine Lösung und damit folgt, dass die Gerade $h$ mit der Kugel $K$ genau einen Berührpunkt für $t=0$ besitzt. Mit der Geradengleichung von $h$ folgt:

$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{x}&=& \pmatrix{11\\0\\4}+0 \cdot \pmatrix{0\\1\\1} \\[5pt] &=&\pmatrix{11\\0\\4}\\[5pt] \end{array}$

Somit ist die Gerade $h: \overrightarrow{x}=\pmatrix{11\\0\\4}+t \cdot \pmatrix{0\\1\\1}$ eine Tangente an die Kugel $K$ mit dem Berührpunkt $B(11 \mid 0 \mid 4).$

HMF 5 - Analytische Geometrie (Pool 2)

5.1

$\blacktriangleright$ Flächeninhalt bestimmen

1. Schritt: Koordinaten der Eckpunkte bestimmen

Einer der Eckpunkte ist der Koordinatenursprung $O(0\mid 0\mid 0).$ Ein weiterer Eckpunkt ist der Schnittpunkt der Ebene $E$ mit der $x_1$ -Achse. Für alle Punkte auf der $x_1$ -Achse gilt $(x_1\mid 0 \mid 0).$ Einsetzen in die Ebenengleichung liefert:

$-9=x_1$

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Der zweite Eckpunkt hat also die Koordinaten $P(-9\mid 0 \mid 0).$
Für den dritten Eckpunkt folgt analog:

$-18 = x_2$

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Die Koordinaten des dritten Eckpunktes lauten $Q(0 \mid -18 \mid 0).$

2. Schritt: Flächeninhalt berechnen

Mit dem Betrag des Kreuzprodukts kann der Flächeninhalt des von den beiden Vektoren aufgespannten Parallelogramms berechnet werden:

$A = 81$

Vollständige Lösung anzeigen

Der Flächeninhalt des Dreiecks beträgt $81$ Flächeneinheiten.

5.2

$\blacktriangleright$ Koordinaten ermitteln

Aus der Ebenengleichung lässt sich ein Normalenvektor von $E$ ablesen. Da der gesuchte Vektor ebenfalls ein Normalenvektor von $E$ sein soll, muss dieser ein Vielfaches von $\overrightarrow{n}$ sein:

$\overrightarrow{v} = t\cdot\overrightarrow{n}$ .

Einsetzen in die Ebenengleichung von $E$ liefert das $t,$ für das $\overrightarrow{v}$ gleichzeitig der Ortsvektor eines Punkts in $E$ ist.

$-2 = t$

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$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{v}&=& -2\cdot \pmatrix{2\\1\\-2} \\[5pt] &=&\pmatrix{-4\\-2\\4} \end{array}$

Der Vektor $\overrightarrow{v}= \pmatrix{-4\\-2\\4}$ ist sowohl ein Normalenvektor von $E$ als auch der Ortsvektor eines Punktes in $E.$

HMF 6 - Stochastik (Pool 1)

6.1

$\blacktriangleright$ Vierfeldertafel erstellen

Das Ereignis, dass eine Person, welche auf der Schiffsrundfahrt teilnimmt, weiblich ist kann mit $F$ bezeichnet werden. Entsprechend kann das Ereignis, dass es sich dabei um einen Mann handelt mit $\overline{F}$ bezeichnet werden. Das Ereignis, dass eine Person auf dem Schiff Süßigkeiten kauft kann mit $S$ bezeichnet werden.

Damit sind die Wahrscheinlichkeiten $P(F)=0,6$ , $P_F(S)=0,8$ und $P_{\overline{F}}(S)=0,4$ gegeben. Für die Wahrscheinlichkeit $P(\overline{F})$ folgt mit der Formel für die Gegenwahrscheinlichkeit:

$\begin{array}[t]{rll} P(\overline{F})&=& 1-P(F) \\[5pt] &=& 1-0,6 \\[5pt] &=& 0,4 \end{array}$

Mit der Formel für die bedingte Wahrscheinlichkeit folgen für die Wahrscheinlichkeiten $P(F \cap S)$ und $P(\overline{F} \cap S):$

$P(F \cap S)=0,48$

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$P(\overline{F} \cap S)=0,16$

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Somit folgt für die Vierfeldertafel mit den entsprechenden Rechenregeln:

	$S$	$\overline{S}$
$F$	$0,48$	$0,12$	$0,6$
$\overline{F}$	$0,16$	$0,24$	$0,4$
	$0,64$	$0,36$	$1$

6.2

$\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeit berechnen

Mit dem Satz von Bayes folgt für die gesuchte Wahrscheinlichkeit $P_S(F)$ :

$\begin{array}[t]{rll} P_S(F)&=& \dfrac{P_F(S) \cdot P(F)}{P(S)}\\[5pt] &=& \dfrac{0,8 \cdot 0,6}{0,64}\\[5pt] &=& 0,75\\[5pt] \end{array}$

Somit beträgt die Wahrscheinlichkeit dafür, dass es sich bei der Person, welche Süßigkeiten gekauft hat, um eine Frau handelt $75\,\%$ .

HMF 7 - Stochastik (Pool 1)

7.1

$\blacktriangleright$ Term für die Wahrscheinlichkeit angeben

In den ersten acht Zügen sollen keine Überraschungseier mit Figur gezogen werden, in den letzten beiden Zügen sollen Figuren enthalten sein. Mit der Pfadmultiplikationsregel folgt:

$p=0,75^8\cdot 0,25^2$

Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass unter $10$ Überraschungseiern nur die letzten beiden jeweils eine Figur enthalten, kann mit dem Term $0,75^8\cdot 0,25^2$ berechnet werden.

$\blacktriangleright$ Richtige Abbildung auswählen und begründen

Die erste Abbildung stellt die Wahrscheinlichkeitsverteilung von $X$ dar.
Der Da $25\,\%$ aller Überraschungseier unabhängig von einander eine Figur enthalten oder nicht, ist die Wahrscheinlichkeit dafür eine Figur zu enthalten bei jedem Überraschungsei gleich. Diese Wahrscheinlichkeit ist unabhängig davon ob sich in den anderen Überraschungseiern der Stichprobe Figuren befinden oder nicht. $X$ kann daher als binomialverteilt mit den Parametern $n=6$ und $p = 0,25$ angenommen werden. Der Erwartungswert von $X$ beträgt daher $6\cdot 0,25 = 1,5.$

Abbildung zwei zeigt eine Gleichverteilung. Da $X$ aber nicht gleichverteilt sondern binomialverteilt ist, kann diese Abbildung nicht die richtige sein.

Der Erwartungswert einer binomialverteilten Zufallsgröße gibt den Wert von $X$ mit der größten Wahrscheinlichkeit an. Die höchsten Balken im Diagramm in Abbildung 3 befinden sich aber bei $X=4$ und $X=5,$ nicht bei $X=1$ und $X=2,$ was bei einem Erwartungswert von $1,5$ der Fall sein müsste. Abbildung 3 kann also nicht die richtige sein.

HMF 8 - Stochastik (Pool 2)

8.1

$\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeit bestimmen

Der gewünschte Fall tritt ein, wenn aus Urne $B$ eine orange Kugel gezogen wird. Mit den Pfadregeln und dem Baumdiagramm ergibt sich:

$P(\text{...})= 37,5\,\%$

Vollständige Lösung anzeigen

Baumdiagramm mit Wahrscheinlichkeiten für die Farben grün und orange.

Abb. 1: Baumdiagramm

Mit einer Wahrscheinlichkeit von $37,5\,\%$ befinden sich zum Schluss zwei grüne und eine orange Kugel in der Urne.

8.2

$\blacktriangleright$ Geldbetrag ermitteln

Betrachtet wird das Spiel aus der Sicht des Spielers. Dieser zahlt zu Beginn $1\,€$ ein. Auf lange Sicht sollen Einsätze und Auszahlungen ausgeglichen sein. Die erwartete Auszahlung muss also ebenfalls $1\,€$ betragen.

Die Wahrscheinlichkeiten für eine orange und für eine grüne Kugel kann mit Hilfe eines Baumdiagramms und den Pfadregeln bestimmt werden.

$P(\text{Gewinn}) = \frac{5}{18}$

Vollständige Lösung anzeigen

Einsetzen in die Gleichung $E(\text{Auszahlung}) = 1$ liefert:

$3,6 = x$

Vollständige Lösung anzeigen

Damit sich bei einem Einsatz von $1\,€$ Auszahlungen und Einsätze langfristig ausgleichen, muss der Geldbetrag, der ausgezahlt wird, $3,60 \, €$ betragen.

Bildnachweise [nach oben]

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