Hilfsmittelfreier Teil

HMF 1 - Analysis (Pool 1)

Gegeben ist die Funktion $f$ mit $f(x)=4x^3-12x$ .

1.1

Zeige, dass $x=1$ eine lokale Minimalstelle von $f$ ist.

(3 P)

1.2

Gib einen Funktionsterm einer Stammfunktion $F$ von $f$ mit $F(0)\neq0$ an.

(2 P)

HMF 2 - Analysis (Pool 1)

Im Koordinatensystem ist der Graph der Funktion $f$ mit $f(x)=-\dfrac{1}{2}x^3+\dfrac{3}{2}x^2+2x$ dargestellt.

Grafik eines Koordinatensystems mit einer Funktion f, Punkten P und Q sowie Achsenbeschriftungen.

Die Tangente an den Graphen von $f$ im Punkt $P(3\mid 6)$ heißt $t_P,$ diejenige im Punkt $Q(0\mid 0)$ heißt $t_Q.$

2.1

Es ist $\(f$
Ermittle zeichnerisch die Nullstelle der Tangente $t_P.$

(2 P)

2.2

Prüfe rechnerisch, ob die Tangente $t_Q$ durch $P$ verläuft.

(3 P)

HMF 3 - Analysis (Pool 1)

Es gibt Funktionen $f$ mit den folgenden Eigenschaften:

$f(0)=2$

$\(f$ und $\(f$

3.1

Zeichne den Graphen einer Funktion mit diesen Eigenschaften in das abgebildete Koordinatensystem.

Koordinatensystem mit Achsenbeschriftungen und Gitterlinien.

(2 P)

3.2

Eine der Funktionen mit den obigen Eigenschaften hat den Funktionsterm $-0,5x^4+bx+c$ .
Bestimme die Werte von $b$ und $c$ .

(3 P)

HMF 4 - Analysis (Pool 2)

Die Abbildung zeigt den Graphen der Funktion $f$ mit $f(x)=(2x+3)\mathrm{e}^{-0,5x}.$

Graph einer Funktion mit den Achsen x und y, zeigt einen Verlauf zwischen den Punkten.

4.1

Zeige, dass die Funktion $F$ mit $F(x)=(-4x-14)\mathrm{e}^{-0,5x}$ eine Stammfunktion von $f$ ist.

(2 P)

4.2

Untersuche, ob für jede reelle Zahl $k>0$ gilt:

$\displaystyle\int_{0}^{k}f(x)\;\mathrm dx \lt 14$

(3 P)

HMF 5 - Analytische Geometrie (Pool 1)

Gegeben ist die Ebene $E$ mit $E: x_1+3x_2+2x_3=6$ .
Die Schnittpunkte der Ebene $E$ mit den Koordinatenachsen sind die sogenannten Spurpunkte der Ebene $E$ . So ist $S_1(6\mid0\mid0)$ ein Spurpunkt der Ebene $E$ .

5.1

Gib die Koordinaten der anderen beiden Spurpunkte $S_2$ und $S_3$ der Ebene $E$ an und zeichne das Dreieck $S_1S_2S_3$ in das Koordinatensystem ein.

Graph eines Koordinatensystems mit einer diagonalen Linie. Achsen sind beschriftet.

(3 P)

5.2

Es gibt unendlich viele Geraden, die parallel zu $E$ sind und durch den Punkt $P(2\mid5\mid7)$ verlaufen.
Bestimme eine Gleichung einer solchen Geraden $g$ .

(2 P)

HMF 6 - Analytische Geometrie (Pool 1)

Gegeben ist die Ebene $E: 2x_1+2x_2+x_3=3$ .

6.1

Gib diejenige Zahl $a$ an, für die der Punkt $A(a\mid0\mid-1)$ in der Ebene $E$ liegt.

(1 P)

6.2

Der Punkt $S$ ist der Schnittpunkt der Ebene $E$ mit der Geraden $g$ , die senkrecht auf $E$ steht und durch den Punkt $B(1\mid3\mid4)$ verläuft.
Bestimme die Koordinaten von $S$ .

(4 P)

HMF 7 - Analytische Geometrie (Pool 2)

Für alle reellen Zahlen $a$ ist sowohl eine Ebene $E_a$ mit $E_a: x_1+2x_2+ax_3=5$ als auch eine Gerade $g_a$ mit $g_a:\overrightarrow x=\pmatrix{1\\0\\0}+t\cdot \pmatrix{1\\2+a\\-3}$ gegeben.

7.1

Zeige, dass es keine Zahl $a$ gibt, für die $g_a$ orthogonal zu $E_a$ verläuft.

(2 P)

7.2

Untersuche, ob es einen Wert für $a$ gibt, so dass die Gerade $g_a$ und die Ebene $E_a$ keinen gemeinsamen Punkt haben.

(3 P)

HMF 8 - Stochastik (Pool 1)

8.1

Vervollständige das folgende Baumdiagramm.

Diagramm mit Wahrscheinlichkeiten und Entscheidungsbäumen zu A und B.

(3 P)

8.2

Bestimme für das folgende Baumdiagramm denjenigen Wert für $x$ , für den $P(D)=0,6$ ist.

Diagramm mit Entscheidungsbäumen und Wahrscheinlichkeiten für verschiedene Ereignisse.

(2 P)

HMF 9 - Stochastik (Pool 1)

Ein sechsseitiger Spielwürfel wird fünfmal geworfen.

9.1

Ordne durch Ankreuzen jedem Ereignis denjenigen Term zu, dessen Wert die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses ist.

	Es werden genau zwei Sechsen geworfen.	Es wird mindestens eine Sechs geworfen.	Es werden genau zwei Sechsen geworfen, wobei die zweite Sechs erst im letzten Wurf fällt.
I
II
III
IV
V

I $\;\; 4\cdot \left(\dfrac{1}{6}\right)^1\cdot \left(\dfrac{5}{6}\right)^3\cdot \dfrac{1}{6}$	II $\;\; \pmatrix {5\\2}\cdot \left(\dfrac{1}{6}\right)^2\cdot \left(\dfrac{5}{6}\right)^3$
III $\;\; \dfrac{5}{2}\cdot \left(\dfrac{1}{6}\right)^2\cdot \left(\dfrac{5}{6}\right)^3$	IV $\;\; 1-\left(\dfrac{5}{6}\right)^5$
V $\;\; \left(\dfrac{1}{6}\right)^1\cdot \left(\dfrac{5}{6}\right)^4$

(3 P)

9.2

Gib ein Ereignis mit der Wahrscheinlichkeit $\pmatrix{5\\3}\cdot \left(\dfrac{1}{6}\right)^3\cdot \left(\dfrac{5}{6}\right)^2$ $+\pmatrix{5\\4}\cdot \left(\dfrac{1}{6}\right)^4\cdot \left(\dfrac{5}{6}\right)^1$ an.

(2 P)

HMF 10 - Stochastik (Pool 2)

Eine Urne enthält weiße und rote Kugeln. Es wird fünfmal mit Zurücklegen gezogen.

10.1

Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, keine rote Kugel zu ziehen, falls sich in der Urne eine weiße und neun rote Kugeln befinden.

(2 P)

10.2

Es ist $p$ die Wahrscheinlichkeit dafür, bei einem Zug eine rote Kugel zu ziehen. Die Zufallsgröße $X$ beschreibt die Anzahl der gezogenen roten Kugeln.
Bestimme alle Werte für $p$ , für die $P(X=0)=P(X=1)$ gilt.

(3 P)

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HMF 1 - Analysis (Pool 1)

1.1

$\(\begin{array}[t]{rll} f$

Wegen $\(f$ und $\(f$ ist $x=1$ eine lokale Minimalstelle.

1.2

$F(x)=x^4-6x^2+c$ mit $c\in\mathbb{R}\setminus\{ 0\}$

Ein mögliches Beispiel ist $F(x)=x^4-6x^2+1.$

HMF 2 - Analysis (Pool 1)

2.1

Graph eines mathematischen Funktionsverlaufs mit Achsen und Markierungen.

Die Nullstelle der Tangente $t_P$ ist $x_{tp}=5,4$ .

2.2

$\(\begin{array}[t]{rll} f$

Wegen $f(0)=0$ folgt für die Tangtengleichung $t_Q$ : $y=2x.$

Punktprobe: $6=2\cdot 3$

Der Punkt $P$ liegt folglich auf der Tangenten $t_Q$ .

HMF 3 - Analysis (Pool 1)

3.1

Graf einer Funktion mit Achsenbeschriftung und Gitterlinien.

Der Graph von $f$ muss bei $x=-1$ einen Hochpunkt besitzen und durch den Punkt $P(0\mid 2)$ verlaufen.

3.2

$\begin{array}[t]{rll} f(0)&=& 2 &\quad \scriptsize \\[5pt] -0,5\cdot 0^4+b\cdot 0+c&=& 2\quad \scriptsize \\[5pt] c&=& 2 \quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$

$\(\begin{array}[t]{rll} f$

HMF 4 - Analysis (Pool 2)

4.1

Vollständigen Rechenweg anzeigen

$\( F$

Daraus folgt, dass $F$ eine Stammfunktion von $f$ ist.

4.2

Vollständigen Rechenweg anzeigen

$\displaystyle\int_{0}^{k}f(x)\;\mathrm dx =\, ...$

Es gilt zu überprüfen, ob die folgende Ungleichung für $k\gt 0$ gilt:

Vollständigen Rechenweg anzeigen

$(-4k-14)\mathbb e^{-0,5k}\lt 0$

Für $k\gt0$ ist $(-4k-14)\lt 0$ und $\mathbb e^{-0,5k}\gt 0$ , wodurch das Produkt dieser beiden Terme negativ ist, sodass die Aussage wahr ist.

HMF 5 - Analytische Geometrie (Pool 1)

5.1

Die anderen beiden Spurpunkte sind gegeben durch $S_2(0\mid 2\mid 0)$ und $S_3(0\mid 0\mid3)$ .

Grafik eines Koordinatensystems mit mehreren Punkten und Linien, die verschiedene Werte darstellen.

5.2

Ein Normalenvektor $\overrightarrow n$ von $E$ ist gegeben durch $\overrightarrow n=\pmatrix{1\\3\\2}$ .

Wegen $\pmatrix{1\\3\\2}\circ\pmatrix{0\\-2\\3}=-6+6=0$ ist $\overrightarrow q =\pmatrix{0\\-2\\3}$ ein möglicher Richtungsvektor.

Für die Gleichung einer Geraden $g$ folgt:

$g:\overrightarrow x=\pmatrix{2\\5\\7}+r\cdot \pmatrix{0\\-2\\3}$ mit $r\in \mathbb{R}$

HMF 6 - Analytische Geometrie (Pool 1)

6.1

$\begin{array}[t]{rll} 2a+2\cdot 0+(-1) &=& 3 &\quad \scriptsize \mid +1 \\[5pt] 2a&=& 4 &\quad \scriptsize \mid :2 \\[5pt] a&=& 2 &\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$

Für $a=2$ liegt der Punkt $A$ in der Ebene $E$ .

6.2

Ein Normalenvektor $\overrightarrow n$ von $E$ ist gegeben durch $\overrightarrow n=\pmatrix{2\\2\\1}$ .

Für die Gerade $g$ folgt:

$g:\overrightarrow x=\pmatrix{1\\3\\4}+t\cdot \pmatrix{2\\2\\1}$ mit $t \in \mathbb{R}$

Einsetzen von $g$ in $E$ liefert:

Vollständigen Rechenweg anzeigen

$t=-1$

Vollständigen Rechenweg anzeigen

$\overrightarrow{OS}=\pmatrix{-1\\1\\3}$

Der Schnittpunkt zwischen der Ebene $E$ und der Geraden $g$ hat die Koordinaten $S(-1\mid 1\mid 3)$ .

HMF 7 - Analytische Geometrie (Pool 2)

7.1

Ein Normalenvektor der Ebene $E_a$ ist $\overrightarrow {n_a}=\pmatrix{1\\2\\a}$ . Die Gerade $g_a$ hat den Richtungsvektor $\overrightarrow {q_a}=\pmatrix{1\\2+a\\-3}$ .

Die Vektoren sind für kein $a \in \mathbb R$ Vielfache voneinander. Somit gibt es keinen Wert für $a,$ sodass $g_a$ orthogonal zu $E_a$ verläuft.

7.2

Damit die Ebene $E_a$ und die Gerade $g_a$ keinen gemeinsamen Punkt haben, muss der Normalenvektor $\overrightarrow {n_a}$ orthogonal zum Richtungsvektor $\overrightarrow {q_a}$ sein.

$\begin{array}[t]{rll} \pmatrix{1\\2\\a}\circ\pmatrix{1\\2+a\\-3}&=& 0 &\quad \scriptsize \\[5pt] 1+4+2a-3a&=& 0 \quad \scriptsize\mid \, -5 \\[5pt] 5-a&=& 0 \quad \scriptsize\mid \, +a \\[5pt] 5&=& a \end{array}$

Der Punkt $P(1\mid 0\mid 0)$ liegt auf der Geraden $g_5$ .
Für die Ebene $E_5$ erfüllt der Punkt $P$ die Ebenengleichung allerdings nicht:
$1+2\cdot 0+5\cdot 0\neq5$
Dadurch ist die Gerade $g_5$ echt parallel zur Ebene $E_5$ und es existiert kein gemeinsamer Punkt.

HMF 8 - Stochastik (Pool 1)

8.1

Baumdiagramm mit Wahrscheinlichkeiten für verschiedene Ereignisse A und B.

8.2

Vollständigen Rechenweg anzeigen

$x=0,2$

Für $x=0,2$ ist $P(D)=0,6$ .

HMF 9 - Stochastik (Pool 1)

9.1

	Es werden genau zwei Sechsen geworfen.	Es wird mindestens eine Sechs geworfen.	Es werden genau zwei Sechsen geworfen, wobei die zweite Sechs erst im letzten Wurf fällt.
I			X
II	X
III
IV		X
V

9.2

Insgesamt werden drei oder vier Sechsen geworfen.

HMF 10 - Stochastik (Pool 2)

10.1

$\left(\dfrac{1}{10}\right)^5=\dfrac{1}{100000}$

10.2

Vollständigen Rechenweg anzeigen

$p= \dfrac{1}{6}$

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