Analysis 1

Die Funktion $h$ mit

$h(x)=2x^3-18x^2+30x$ ; $x\in [0;7]$

beschreibt näherungsweise das Höhenprofil eines Straßenradrennens. Dabei gibt $x$ die in horizontaler Richtung zurückgelegte Strecke in Kilometern und $h(x)$ die Höhe in Metern an.

Ermittle diejenigen Stellen des Profils, an denen dieselbe Höhe wie zu Beginn des Rennens erreicht wird.

Berechne den maximalen Höhenunterschied des Profils.

Bestimme die größte Steigung der Straße und gib diese in Prozent an.

Skizziere den Graphen von $h$ in einem geeigneten Koordinatensystem.

(18P)

Für jedes $a\geq0$ werde die Querschnittsfläche $Q_a$ eines Fahrradreifens $R_a$ durch die Funktionen $f_a$ und $g_a$ beschrieben. Dabei beschreibt $f_a$ die Metallfelge und $g_a$ den Gummimantel. Eine Längeneinheit entspricht einem Zentimeter.

$f_a(x)$	$=0,7x^2+a$
$g_a(x)$	$=-5x^4+a+2,496$

Die folgenden Abbildungen zeigen die Graphen von $f_0$ und $g_0$ sowie von $f_a$ und $g_a$ zwischen ihren jeweiligen Schnittstellen.

Diagramm einer Reifenform mit Gummimante und Metallfelge auf einem Gitterhintergrund.

Diagramm mit einer Kurve im xy-Koordinatensystem, beschriftet mit g_a und f_a.

Berechne die maximale Breite des Reifens $R_0$ .

Bestimme den Winkel, unter dem Metallfelge und Gummimantel beim Reifen $R_0$ aufeinander treffen.

Bestimme den Flächeninhalt von $Q_0$ . Begründe, warum der Flächeninhalt von $Q_a$ unabhängig von $a$ ist.

(13P)

c) Ein Modell des Reifens $R_{30}$ entsteht durch Rotation von $Q_{30}$ um die $x$ -Achse.

Berechne das Volumen des Reifens $R_{30}$ .

Der Inhalt der Querschnittsfläche $Q_a$ ist unabhängig von $a$ . Erkläre, warum das Volumen des Reifens $R_a$ dennoch von $a$ abhängig ist.

(5P)

d) Gegeben ist der Punkt $A(0,4\mid 2,368)$ auf dem Graphen von $g_0$ . Es soll derjenige Punkt $B(x\mid f_0(x))$ auf dem Graphen von $f_0$ im Intervall $[-0,8; 0,8]$ bestimmt werden, für den die Länge der Strecke $\overline{AB}$ maximal ist.

Gib einen Ansatz an und beschreibe das weitere Vorgehen.

(4P)

Hier ist die Funktion $h$ durch eine Funktionsgleichung gegeben.

$\begin{array}[t]{rll} h(x) &=& 2x^3-18x^2+30x &;& x \in [0;7]\\[5pt] \end{array}$

Der Graph der Funktion soll das Höhenprofil eines Radrennens zeigen. $x$ ist die Entfernung vom Startpunkt. Der Funktionswert $h(x)$ gibt die Höhe dieser Stelle an.

a) $\blacktriangleright$ Bestimme Stellen mit gleicher Höhe wie der Startpunkt

Hier sollst du diejenigen Stellen im Profil finden, die die selbe Höhe haben wie der Startpunkt. Die Höhe ist der Funktionswert $h(x)$ . Du bestimmst zunächst den Funktionswert am Startpunkt $h(x=0)$ und setzt dann den Funktionsterm mit diesem Wert gleich. Löse anschließend die Gleichung nach $x$ auf.

$\begin{array}[t]{rll} h(x=0)&=&2\cdot 0 -18\cdot 0 +30 \cdot 0 \\[5pt] &=&0\\[5pt] \end{array}$

Die Höhe zu Beginn des Rennens liegt bei $0\,$ m.

$\begin{array}[t]{rll} h(x=0)&=&h(x)\\[5pt] 0&=&2x^3-18x^2+30x \\[5pt] 0&=&x\cdot(2\cdot x^2-18\cdot x +30) \\[5pt] \end{array}$

Der Satz vom Nullprodukt besagt, dass ein Produkt Null wird, wenn ein Faktor Null wird. Daher betrachtest du im folgenden nur den Teil in den Klammern:

$\begin{array}[t]{rll} 0&=&2x^2-18x+30 &\quad&\scriptsize\mid\; :2\\[5pt] 0&=&x^2-9x+15\\[5pt] \end{array}$

Mit der $pq$ -Formel oder Mitternachtsformel erhältst du zwei Lösungen für die Gleichung:

$\color{#87c800}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$ Lösungsweg A: $pq$ -Formel

Für Gleichungen der Form:

$\begin{array}[t]{rll} 0&=& x^2+px+q\\[5pt] \end{array}$

liefert die $pq$ -Formel zwei Lösungen:

$x_{1/2}=-\dfrac{p}{2}\pm\sqrt{\left(\dfrac{p}{2}\right)^2-q}$

$\begin{array}[t]{rll} x_{1/2}&=&-\dfrac{-9}{2}\pm\sqrt{\left(\dfrac{-9}{2}\right)^2-15} \\[5pt] &=&\dfrac{9}{2}\pm\sqrt{\dfrac{81-60}{4}}\\[5pt] &=&\dfrac{9}{2}\pm\dfrac{\sqrt{21}}{2}\\[5pt] x_1&=&\dfrac{9}{2}+\dfrac{\sqrt{21}}{2}\approx 6,8\\[5pt] x_2&=&\dfrac{9}{2}-\dfrac{\sqrt{21}}{2}\approx 2,2\\[5pt] \end{array}$

$\color{#87c800}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$ Lösungsweg B: Mitternachtsformel

Für Gleichungen der Form:

$\begin{array}[t]{rll} 0&=&a x^2+bx+c\\[5pt] \end{array}$

liefert die Mitternachtsformel zwei Lösungen:

$x_{1/2}=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

$\begin{array}[t]{rll} x_{1/2}&=&\dfrac{+9\pm\sqrt{9^2-4\cdot15}}{2} \\[5pt] &=&\dfrac{9\pm\sqrt{81-60}}{2}\\[5pt] &=&\dfrac{9\pm\sqrt{21}}{2}\\[5pt] x_1&=&\dfrac{9}{2}+\dfrac{\sqrt{21}}{2}\approx 6,8\\[5pt] x_2&=&\dfrac{9}{2}-\dfrac{\sqrt{21}}{2}\approx 2,2\\[5pt] \end{array}$

Nach ungefähr $2,2\,$ km und nach ungefähr $6,8\,$ km ist das Rennen an Stellen gleicher Höhe wie zu Beginn des Rennens.

$\blacktriangleright$ Berechne den maximalen Höhenunterschied des Profils

Um den maximalen Höhenunterschied des Profils zu berechnen, musst du die Differenz des höchsten und des niedrigsten Funktionswertes bestimmen. Die Punkte höchster und niedrigster Höhe sind die Hoch- und Tiefpunkte des Graphen der Funktion.

Eine Funktion $f$ hat an der Stelle $x_E$ eine Extremstelle, sofern die folgenden Bedingungen erfüllt sind:

notwendige Bedingung: $f‘(x_E)=0$

hinreichende Bedingung: $f‘‘(x_E) \neq 0$

Für $f‘‘(x_E) < 0$ liegt eine Maximalstelle, für $f‘‘(x_E) > 0$ eine Minimalstelle vor.

1. Schritt: Ableitungen bilden

Die Ableitung der Funktion bildest du mit der Potenzregel.

$\begin{array}[t]{rll} h(x)&=&2x^3-18x^2+30x\\[5pt] h‘(x)&=&6x^2-36x+30\\[5pt] h‘‘(x)&=&12x-36\\[5pt] \end{array}$

2. Schritt: Notwendige Bedingung überprüfen

$\begin{array}[t]{rll} h‘(x)&=&0\\[5pt] 6x^2 - 36x +30 &=& 0 &\quad&\scriptsize\mid\; :6\\[5pt] x^2-6x+5&=&0\\[5pt] \end{array}$

Mit der $pq$ -Formel oder der Mitternachtsformel erhältst du zwei Lösungen für die Gleichung:

$\color{#87c800}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$ Lösungsweg A: $pq$ -Formel

$\begin{array}[t]{rll} x_{1/2}&=&-\dfrac{p}{2}\pm\sqrt{\left(\dfrac{p}{2}\right)^2-q} \\[5pt] &=&3\pm\sqrt{9-5}\\[5pt] &=&3\pm2\\[5pt] x_1&=&1\\[5pt] x_2&=&5\\[5pt] \end{array}$

$\color{#87c800}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$ Lösungsweg B: Mitternachtsformel

$\begin{array}[t]{rll} x_{1/2}&=&\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a} \\[5pt] &=&\dfrac{6\pm\sqrt{36-20}}{2}\\[5pt] &=&\dfrac{6\pm4}{2}\\[5pt] x_1&=&1\\[5pt] x_2&=&5\\[5pt] \end{array}$

Die Stellen der Hoch- und Tiefpunkte sind $x=1$ und $x=5$ .

3. Schritt: Hinreichende Bedingung überprüfen

Überprüfe, ob es sich um Hoch- oder Tiefpunkte handelt.

$\begin{array}[t]{rll} h‘‘(1)&=&12\cdot 1 -36\\[5pt] &=&-24<0\\[5pt] h‘‘(5)&=&12\cdot 5 - 36 \\[5pt] &=&24>0\\[5pt] \end{array}$

An der Stelle $x=1$ liegt ein Hochpunkt, an der Stelle $x=5$ liegt ein Tiefpunkt.

4. Schritt: Differenz zwischen Hoch- und Tiefpunkt bestimmen

Um den Höhenunterschied $\Delta H$ zu erhalten, setzt du die Extremstellen in den Funktionsterm ein und bildest die Differenz.

$\begin{array}[t]{rll} h(x=1)&=&2\cdot1^3-18\cdot 1^2 +30\cdot 1\\[5pt] &=&2-18+30\\[5pt] &=&14\\[5pt] h(x=5)&=&2\cdot5^3-18\cdot 5^2 +30\cdot 5\\[5pt] &=&2\cdot 125 -18\cdot 25 +150\\[5pt] &=&250-450+150\\[5pt] &=&-50\\[5pt] \Delta H &=& 14- (-50)\\[5pt] &=&64\\[5pt] \end{array}$

Der maximale Höhenunterschied beträgt $64\,$ m.

$\blacktriangleright$ Bestimme die größte Steigung

Die Steigung wird immer durch den Funktionswert der ersten Ableitung $f‘$ angegeben. Um die größte Steigung zu bestimmen, musst du das Maximum der ersten Ableitung $f‘$ finden. Ein Maximum erhältst du, wenn zwei Bedingungen erfüllt sind:

Notwendige Bedingung: $f‘‘(x_M)=0$

Hinreichende Bedingung: $f‘‘‘(x_M)<0$

1. Schritt: Ableitungen bilden

Die Ableitungen bildest du mit der Potenzregel:

$\begin{array}[t]{rll} h(x)&=&2x^3-18x^2+30x\\[5pt] h‘(x)&=&6x^2-36x+30\\[5pt] h‘‘(x)&=&12x-36\\[5pt] h‘‘‘(x)&=&12\\[5pt] \end{array}$

Du siehst, dass die hinreichende Bedingung nie erfüllt wird. Das heißt, es gibt keinen Hochpunkt der Steigung. Die Steigung muss deshalb am Rand des Definitionsbereichs maximal sein.

2. Schritt: Steigung am Rand des Definitionsbereichs bestimmen

Die Funktion ist für $x\in[0;7]$ definiert. Du wertest die Steigung, also die erste Ableitung, an den Stellen $x=0$ und $x=7$ aus.

$\begin{array}[t]{rll} h‘(x=0)&=&6\cdot 0^2 - 36\cdot 0 +30\\[5pt] &=&30\\[5pt] h‘(x=7)&=&6\cdot 7^2 -36\cdot 7 +30 \\[5pt] &=&294-252+30\\[5pt] &=&72\\[5pt] \end{array}$

Die Steigung ist somit an der Stelle $x=7$ im Rennen maximal. Sie beträgt $72\,\dfrac{\text{m}}{\text{km}}$

3. Schritt: Steigung in Prozent angeben

Abschließend sollst du die Steigung in Prozent angeben. Die mittlere Änderungsrate einer Funktion ist definiert als:

$\begin{array}[t]{rll} h‘(x)=\dfrac{\Delta h(x)}{\Delta x} \end{array}$

Das heißt, der Funktionswert der Ableitung ist die Strecke, die man in Richtung der positiven $y$ -Achse gehen muss, wenn man um eine Einheit in Richtung der positiven $x$ -Achse geht. Um die Steigung in Prozent zu erhalten, musst du die Steigung mit 100% multiplizieren. Beachte jetzt, dass die Strecke $x$ in km und die Höhe $h(x)$ in Metern gegeben ist. Die Steigung ist deshalb:

$\begin{array}[t]{rll} S_{\%}&=&100\%\cdot 72\cdot\dfrac{1\,\text{m}}{1000\,\text{m}}\\[5pt] &=&7,2\% \end{array}$

Die maximale Steigung ist am Zieleinlauf $x=7$ . Sie beträgt $7,2\,$ %.

$\blacktriangleright$ Skizziere den Graphen von $\boldsymbol{h}$

Jetzt sollst du den Graphen von $h$ skizzieren. Nutze aus, dass du bereits Hochpunkt $H(1\,|\,14)$ und Tiefpunkt $T(5\,|\,-50)$ des Graphen berechnet hast. Zudem hast du Nullstellen bei $x_0=0$ , $x_2=\dfrac{9}{2}-\dfrac{\sqrt{21}}{2}\approx 2,2$ und $x_1=\dfrac{9}{2}+\dfrac{\sqrt{21}}{2}\approx 6,8$ .

Diagramm mit einem Koordinatensystem und mehreren Punkten. Darstellung von Achsen und Gitterlinien.

b) $\blacktriangleright$ Bestimme die maximale Breite des Reifens

Die maximale Breite ist, wie man in der gegebenen Skizze sieht, durch den Abstand der Schnittstellen gegeben. Dafür setzt du die Funktionsterme der Funktionen $f_0$ und $g_0$ gleich und löst die Gleichung nach $x$ auf.

$\begin{array}[t]{rll} f_0(x)&=&g_0(x) \\[5pt] 0,7x^2&=&-5x^4+2,496 &\quad&\scriptsize\mid\; -0,7x^2\\[5pt] 0&=&-5x^4-0,7x^2+2,496 \\[5pt] \end{array}$

Mit einer Substitution $x^2=u$ erhältst du mit der $pq$ -Formel zwei Lösungen für $u$ :

$\begin{array}[t]{rll} 0&=&-5x^4-0,7x^2+2,496 &\;& \text{sub}:x^2=u \\[5pt] 0&=&-5u^2-0,7u+2,496 &\quad&\scriptsize\mid\; :(-5)\\[5pt] 0&=&u^2+0,14u-0,4992 \\[5pt] u_{1/2}&=&-\dfrac{0,14}{2}\pm\sqrt{\left(\dfrac{0,14}{2}\right)^2+0,4992}\\[5pt] &=&-0,07\pm\sqrt{0,0049+0,4992}\\[5pt] &=&-0,07\pm\sqrt{0,5041}\\[5pt] u_1&=&-0,07+0,71\\[5pt] &=&0,64\\[5pt] u_2&=&-0,07-0,71\\[5pt] &=&-0,78\\[5pt] \end{array}$

Eine Resubstitution liefert dir die entsprechenden $x$ -Werte:

$\begin{array}[t]{rll} u_1&=&0,64 &\;& \text{resub}:x=\pm\sqrt{u} \\[5pt] x_1&=&0,8\\[5pt] x_2&=&-0,8\\[5pt] u_2&=&-0,78&\;& \text{resub}:x=\pm\sqrt{u} \\[5pt] x_{3/4}&=&\pm\sqrt{-0,78} &\;&\text{keine reelle Lösung} \\[5pt] \end{array}$

Du erhältst zwei reelle Lösungen $x_1=0,8$ und $x_2=-0,8$ . Der Abstand der Stellen ist die Reifenbreite $R_0=1,6$ . Eine Längeneinheit entspricht einem Zentimeter. Der Reifen ist an der breitesten Stelle $1,6\,$ cm breit.

$\blacktriangleright$ Bestimme die Größe des Winkels, unter dem Metallfelge und Gummitmantel beim Reifen $\boldsymbol{R_0}$ aufeinander treffen

Um die Größe des Winkels, der von Metallfelge und Gummimantel eingeschlossen wird, zu bestimmen, musst du zunächst die Steigung der beiden Funktionen an dieser Stelle bestimmen. Die Steigung an der jeweiligen Stelle ist durch den Wert der Ableitung an dieser Stelle gegeben. Die Größe des Winkels einer Kurve zur $x$ -Achse ist gegeben durch:

$\alpha=\tan^{-1}(m)$

Wobei $m$ die Steigung an der Stelle ist.

Diagramm mit Gitterlinien und einer markierten Fläche in Rot.

In der Skizze siehst du die beiden Winkel, die zusammen den gesuchten Winkel ergeben. Der Winkel $\alpha$ ist negativ, weil er nach unten zeigt. Um die Größe des Winkels zwischen zwei Kurven zu erhalten, musst du die Differenz der Winkelgrößen bilden:

$\gamma=\left|\tan^{-1}(m_1)-\tan^{-1}(m_2)\right|$

1. Schritt: Steigung bestimmen

$\begin{array}[t]{rll} f_0(x)&=&0,7x^2 \\[5pt] f‘_0(x)&=&1,4x\\[5pt] f‘_0(0,8)&=&1,12\\[5pt] m_1&=&1,12\\[5pt] \\[5pt] g_0(x)&=&-5x^4+2,496\\[5pt] g‘_0(x)&=&-20x^3\\[5pt] g‘_0(0,8)&=&-20\cdot (0,8)^3\\[5pt] g‘_0(0,8)&=&-10,24\\[5pt] m_2&=&-10,24\\[5pt] \end{array}$

2. Schritt: Schnittwinkel bestimmen

$\begin{array}[t]{rll} \gamma &=& \left|\tan^{-1}(1,12)-\tan^{-1}(-10,24)\right| \\[5pt] &\approx&\left|48,24^{\circ}-(-84,42^{\circ})\right|\\[5pt] &=&132,66^{\circ}\\[5pt] \end{array}$

Der Schnittwinkel, unter dem Metallfelge und Gummimantel aufeinander treffen, ist in etwa $133^{\circ}$ groß.

$\blacktriangleright$ Bestimme den Flächeninhalt von $\boldsymbol{Q_0}$

$Q_0$ ist die Querschnittsfläche des Reifens. Die Querschnittsfläche ist die Fläche zwischen den Graphen der zwei Funktionen $g_0$ und $f_0$ . Der Flächeninhalt zwischen zwei Kurven ist:

$A=\left|\displaystyle\int_{a}^{b}f(x)-g(x)\;\mathrm dx\right|$

Die Integrationsgrenzen sind die Schnittstellen der beiden Funktionen $x_1=-0,8$ und $x_2=0,8$ .

Das Integral kannst du mit deinem Taschenrechner bestimmen:

$\begin{array}[t]{rll} Q_0&=& \left|\displaystyle\int_{-0,8}^{0,8}f_0(x)-g_0(x)\;\mathrm dx\right|\\[5pt] &=&\left|\displaystyle\int_{-0,8}^{0,8}0,7x^2+5x^4-2,496\;\mathrm dx\right|\\[5pt] &\approx&\left|-3,1\right|\\[5pt] &=&3,1\\[5pt] \end{array}$

Der Flächeninhalt beträgt in etwa $3,1\,\text{cm}^2$

Begünde, warum der Flächeninhalt $\boldsymbol{Q_a}$ unabhängig von $\boldsymbol{a}$ ist

Der Parameter $a$ verschiebt die Graphen und damit die Fläche in Richtung der positiven $y$ -Achse. Da die beiden Funktionen um die gleiche Konstante $a$ verschoben werden, ändert sich am Flächeninhalt nichts. Das kannst du auch zeigen, indem du dir das Integral anschaust:

$\begin{array}[t]{rll} Q_a&=& \left|\displaystyle\int_{-0,8}^{0,8}f_a(x)-g_a(x)\;\mathrm dx\right|\\[5pt] &=&\left|\displaystyle\int_{-0,8}^{0,8}0,7x^2+a+5x^4-a-2,496\;\mathrm dx\right|\\[5pt] &=&\left|\displaystyle\int_{-0,8}^{0,8}0,7x^2+5x^4-2,496\;\mathrm dx\right|\\[5pt] &=&3,1\\[5pt] \end{array}$

Wie du siehst, fällt der Parameter $a$ aus dem Integral. Der Flächeninhalt ist also unabhängig von $a$ .

c) $\blacktriangleright$ Bestimme das Volumen des Reifens $\boldsymbol{R_{30}}$

Hier sollst du das Volumen des Reifens $R_{30}$ bestimmen. Der Reifen entsteht durch die Rotation der Fläche $Q_{30}$ um die $x$ -Achse. Das Volumen eines Rotationskörpers ist:

$V=\pi\cdot\left|\displaystyle\int_{a}^{b}(f(x))^2-(g(x))^2\;\mathrm dx\right|$

Die Integrationsgrenzen sind die Schnittstellen der Funktionen $x_1=-0,8$ und $x_2=0,8$ .

$\begin{array}[t]{rll} V_{30}&=&\pi\cdot\left|\displaystyle\int_{-0,8}^{0,8}(f_{30}(x))^2-(g_{30}(x))^2\;\mathrm dx\right|\\[5pt] &=&\pi\cdot \left|\displaystyle\int_{-0,8}^{0,8}(0,7x^2+30)^2-(-5x^4+32,496)^2\;\mathrm dx\right|\\[5pt] &\approx&\pi\cdot 193,3\\[5pt] &\approx&607,4\\[5pt] \end{array}$

Das Volumen des Reifens $R_{30}$ beträgt in etwa $607,4\,\text{cm}^3$ .

$\blacktriangleright$ Erkläre warum das Volumen des Reifens nicht unabhängig von $\boldsymbol{a}$ ist

Hier steht im Integral nicht die Differenz der Funktionen $f_a$ und $g_a$ , sondern die Differenz der Quadrate der Funktionen. Dadurch bleiben Terme, die abhängig von $a$ sind, im Integral stehen. Das kannst du auch mathematisch zeigen:

$\begin{array}[t]{rll} V_a&=& \pi\cdot\left|\displaystyle\int_{-0,8}^{0,8}(f_a(x))^2-(g_a(x))^2\;\mathrm dx\right| \\[5pt] &=& \pi\cdot\left|\displaystyle\int_{-0,8}^{0,8}(f_0(x)+a)^2-(g_0(x)+a)^2\;\mathrm dx\right| \\[5pt] &=&\pi\cdot\left|\displaystyle\int_{-0,8}^{0,8}f_0^2+2\cdot f_0(x)\cdot a+a^2-g_0(x)^2-2\cdot g_0(x) \cdot a -a^2\;\mathrm dx\right| \\[5pt] &=&\pi\cdot\left|\displaystyle\int_{-0,8}^{0,8}f_0^2+2\cdot f_0(x)\cdot a-g_0(x)^2-2\cdot g_0(x) \cdot a \;\mathrm dx\right| \\[5pt] &=&V_0+\pi\cdot\left|\displaystyle\int_{-0,8}^{0,8}2a\cdot (f_0(x)- g_0(x)) \;\mathrm dx\right| \\[5pt] \end{array}$

Wie du siehst, bleiben Terme, die von $a$ abhängig sind, stehen.

d) $\blacktriangleright$ Beschreibe wie der Punkt $\boldsymbol{B}$ bestimmt wird

Hier ist ein Punkt $A\,(0,4\;|\;2,368)$ gegeben. Es soll ein Punkt $B\,(x\;|\;f_0(x))$ auf dem Graphen der Funktion $f_0$ im Intervall $[-0,8\,;\,0,8]$ gefunden werden, für den die Länge der Strecke $\overline{AB}$ maximal ist.

Die Länge der Strecke $\overline{AB}$ beschreibt den Abstand der Punkte $A$ und $B$ . Der Abstand ist:

$\begin{array}[t]{rll} d(x)=\left|\overline{AB}\right|&=&\sqrt{(0,4-x)^2+(2,368-f_0(x))^2}\\[5pt] \end{array}$

Setzt man den Funktionsterm von $f_0$ in die Gleichung ein, erhält man einen Funktionsterm für die Länge der Strecke $\overline{AB}$ in Abhängigkeit von $x$ . Da stetige Funktionen auf kompakten Mengen Maxima und Minima annehmen, hat die Funktion $d$ im Intervall $[-0,8\,;\,0,8]$ ein Maximum. Das Maximum bestimmt man, indem man durch die notwendige Bedingung $d‘(x)=0$ eine Extremstelle $x_{\text{max}}$ findet. Für diese Extremstelle überprüft man die hinreichende Bedingung für Maxima $d‘‘(x)<0$ . Setzt man das bestimmte $x_{\text{max}}$ in den Punkt $B$ ein, erhält man die Koordinaten des Punktes $B$ .