Analysis 1

Aufgabe 1: Analysis

Abbildung 1 zeigt den Graphen einer Funktion $f,$ die für $0\leq t\leq 15$ das Volumen des Wassers in einem Becken in Abhängigkeit von der Zeit beschreibt. Dabei ist $t$ die seit Beobachtungsbeginn vergangene Zeit in Stunden und $f(t)$ das Volumen in Kubikmetern.

Graph mit grüner Linie auf schwarzem Hintergrund, zeigt Werte auf x- und y-Achse.

Abb. 1

a1)

Gib mit Hilfe der Grafik das Volumen des Wassers fünf Stunden nach Beobachtungsbeginn an sowie den Zeitraum, in dem das Volumen mindestens $350\,\text{m}^3$ beträgt.

$\,$

a2)

Bestimme mit Hilfe der Grafik die momentane Änderungsrate des Wasservolumens zwei Stunden nach Beobachtungsbeginn.

$\,$

a3)

Die fünfzehn Stunden nach Beobachtungsbeginn vorliegende momentane Änderungsrate des Wasservolumens bleibt bis zu dem Zeitpunkt erhalten, zu dem das Becken kein Wasser mehr enthält.
Beschreibe ein Verfahren, mit dem man diesen Zeitpunkt grafisch bestimmen kann.
Gib den Zeitpunkt an.

$\,$

a4)

Interpretiere die Gleichung $f(t+6)= f(t)-350$ im Sachzusammenhang.

$\,$

a5)

Begründe, dass die Funktionsgleichung von $f$ weder die Form $\text{I}$ noch die Form $\text{II}$ hat:

$\text{I}: \dotsc$

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(16 P)

Für ein anderes Becken wird die momentane Änderungsrate des Volumens des enthaltenen Wassers für $0 \leq t\leq 15$ durch die Funktion $g$ mit

$g(t)= \dotsc$

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beschrieben. Dabei ist $t$ die seit Beobachtungsbeginn vergangene Zeit in Stunden und $g(t)$ die Änderungsrate in $\frac{\text{m}^3}{\text{h}}.$
Die Funktion $G$ mit

$G(t)= \dotsc$

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ist eine Stammfunktion von $g.$

b1)

Berechne für den beschriebenen Zeitraum denjenigen Zeitpunkt, zu dem die momentane Änderungsrate des Wasservolumens maximal ist.

$\,$

b2)

Ermittle rechnerisch den Zeitraum, in dem das Volumen des Wassers abnimmt.

$\,$

b3)

Drei Stunden nach Beobachtungsbeginn sind im Becken $350$ Kubikmeter Wasser enthalten.
Bestimme das Volumen des Wassers zu Beobachtungsbeginn.

$\,$

b4)

Untersuche rechnerisch, ob es nach Beobachtungsbeginn einen Zeitpunkt gibt, zu dem das Wasservolumen ebenso groß ist wie zu Beobachtungsbeginn.

(17 P)

Bei einem dritten Becken kann die momentane Änderungsrate des Wasservolumens durch ein Ventil reguliert werden. Die Änderungsrate wird je nach Einstellung des Ventils durch eine Funktion $h_k$ mit
$h_k(t)=10 \cdot k \cdot \mathrm{e}^{-kt} \quad ; k\gt 0$ .
beschrieben. Zur Zeit $t=0$ befinden sich $3 \,\text{m}^3$ Wasser in den Becken.

c1)

Ermittle, für welchen Parameter $k$ sich nach $2$ Stunden genau $8 \,\text{m}^3$ Wasser in dem Becken befinden.

$\,$

c2)

Gib einen Term der $103.$ Ableitung von $h_k$ an.

(7 P)

Bildnachweise [nach oben]

[1]

a1)

$\blacktriangleright$ Volumen angeben

Da $t$ die vergangene Zeit in Stunden nach Beobachtungsbeginn und $f(t)$ das Volumen in Kubikmetern zum Zeitpunkt $t$ angibt, ist $f(5)$ gesucht. Aus Abbildung 1 kann der Funktionswert von $f$ näherungsweise abgelesen werden:

$f(5)\approx 480$

Fünf Stunden nach Beobachtungsbeginn befinden sich ca. $480\,\text{m}^3$ Wasser im Becken.

$\blacktriangleright$ Zeitraum angeben

Gesucht ist der Zeitraum, in dem sich mindestens $350\,\text{m}^3$ Wasser im Becken befinden. Im Modell ist dies das gesuchte Intervall, in dem sich der Graph von $f$ oberhalb der Gerade zu $y =350$ befindet.

Mit der Zeichnung ergibt sich näherungsweise:

Für alle $t$ zwischen $t_1\approx 0,9$ und $t_2\approx 6,8$ gilt $f(t) \geq 350.$

Im Zeitraum von ca. $0,9$ Stunden bis ca. $6,8$ Stunden nach Beobachtungsbeginn beträgt das Volumen des Wassers mindestens $350\,\text{m}^3.$

a2)

$\blacktriangleright$ Momentane Änderungsrate bestimmen

Gesucht ist eine Näherung für die momentane Änderungsrate des Wasservolumens zwei Stunden nach Beobachtungsbeginn. Diese entspricht der Steigung der Tangente an den Graphen von $f$ an der Stelle $t=2$ .

Aus der Abbildung können in etwa folgende Koordinaten zweier Punkte der Tangente abgelesen werden.

$A(2\mid 525)$ und $B(0\mid 350)$

Für die Steigung ergibt sich dann mit dem Differenzenquotienten:

$\begin{array}[t]{rll} m&=&\dfrac{350-525}{0-2} \\[5pt] &=& \dfrac{-175}{-2}\\[5pt] &=&87,5 \end{array}$

Zwei Stunden nach Beobachtungsbeginn beträgt die momentane Änderungsrate näherungsweise ca. $87,5\,\frac{\text{m}^3}{\text{h}}.$

a3)

$\blacktriangleright$ Verfahren beschreiben

Die momentane Änderungsrate des Wasservolumens $t$ Stunden nach Beobachtungsbeginn entspricht der Steigung des Graphen von $f$ an der Stelle $t.$
An der Stelle $t=15$ muss also ein Graphenstück einer weiteren Funktion mit folgenden Eigenschaften anschließen:

Gleicher Funktionswert wie $f$ für $t=15$
Konstante Steigung, der zugehörige Graph ist also eine Gerade
Die Steigung der Gerade entspricht der Steigung des Graphen von $f$ an der Stelle $t=15.$

Dabei handelt es sich um die Tangente an den Graphen von $f$ an der Stelle $t=15.$ Es kann also wie folgt vorgegangen werden:

Anlegen der Tangente an den Graphen von $f$ an der Stelle $t=15$
Bestimmen des Schnittpunkts der Tangente mit der $t$ -Achse
Der gesuchte Zeitpunkt $t$ ist dann die $t$ -Koordinate des Schnittpunkts.

$\blacktriangleright$ Zeitpunkt angeben

Mit dem oben beschriebenen Verfahren ergibt sich folgende Zeichnung:

Graf mit einer grünen Kurve auf einem Gitter, das die y-Achse von 0 bis 600 zeigt.

Abb. 1: Tangente an den Graphen von $f$

Die Schnittstelle der Tangente mit der $t$ -Achse lässt sich bei $t\approx 19$ ablesen.

Ca. $19$ Stunden nach Beobachtungsbeginn befindet sich kein Wasser mehr im Becken.

a4)

$\blacktriangleright$ Gleichung im Sachzusammenhang interpretieren

$f(t)$ beschreibt das Volumen des Wassers $t$ Stunden nach Beobachtungsbeginn. $f(t+6)$ beschreibt demnach das Volumen des Wassers $6$ Stunden nach diesem Zeitpunkt $t$ . Dieses Volumen ist um $350$ geringer als das ursprüngliche zum Zeitpunkt $t$ .

Wenn diese Beziehung gilt, nimmt das Volumen des Wassers im Becken in einem Zeitraum von sechs Stunden, der zum Zeitpunkt $t$ beginnt, um $350\,\text{m}^3$ ab.

a5)

$\blacktriangleright$ Funktionsgleichungen ausschließen

Bei Form $\text{II}$ kommt die Funktionsvariable $t$ nur mit geraden Exponenten vor. Dadurch ist der zugehörige Graph für jedes $a\in \mathbb{R}$ achsensymmetrisch zur $y$ -Achse. Abbildung 1 kann man aber entnehmen, dass der Graph von $f$ nicht achsensymmetrisch zur $y$ -Achse sein kann.
Daher kann die Funktionsgleichung von $f$ nicht die Form $\text{II}$ haben.

Bei den Funktionen mit den Gleichungen der Form $\text{I}$ handelt es sich um ganzrationale Funktionen dritten Grades. Die Graphen solcher Funktionen können höchstens zwei Extrempunkte besitzen, da die erste Ableitungsfunktion den Grad $2$ und dadurch maximal zwei Nullstellen besitzen kann. Eine Nullstelle der ersten Ableitung ist aber ein notwendiges Kriterium für Extremstellen.
Abbildung 1 kann entnommen werden, dass der Graph von $f$ mindestens drei Extrempunkte - einen Tiefpunkt und zwei Hochpunkte - besitzt.
Daher kann die Funktionsgleichung von $f$ nicht die Form $\text{I}$ haben.

b1)

$\blacktriangleright$ Zeitpunkt mit maximaler Änderungsrate berechnen

$g(t)$ beschreibt die momentane Änderungsrate des Wasservolumens im Becken zum Zeitpunkt $t.$
Gesucht ist also die Stelle $t,$ an der $g$ im Intervall $[0;15]$ den maximalen Funktionswert annimmt.
Mit dem notwendigen Kriterium für lokale Extremstellen $g‘(t)=0$ ergibt sich:

$\begin{array}[t]{rll} t_1&=& 3 \\[5pt] t_2&=& 10 \\[5pt] \end{array}$

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$g$ besitzt zwei mögliche lokale Extrema bei $t_1=3$ und $t_2=10.$ Mit dem hinreichenden Kriterium folgt:

$\begin{array}[t]{rll} g‘‘(t)&=& 4,8t-31,2\\[10pt] g‘‘(3)&=& -16,8 \lt 0\\[10pt] g‘‘(10)&=& 16,8 \gt 0\\[10pt] \end{array}$

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An der Stelle $t_1=3$ besitzt $g$ ein lokales Maximum, an der Stelle $t_2 = 10$ ein lokales Minimum. Um Randextrema auszuschließen müssen noch die Intervallränder überprüft werden:

$\begin{array}[t]{rll} g(0)&=& 0\\[10pt] g(15)&=& 270\\[10pt] g(3)&=& 97,2\\[10pt] \end{array}$

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Zum Ende der Beobachtung, also $15$ Stunden nach Beginn, ist die momentane Änderungsrate des Wasservolumens maximal.

b2)

$\blacktriangleright$ Zeitraum ermitteln

Das Volumen des Wassers nimmt ab, wenn $g(t) \lt 0$ ist. Für die Nullstellen von $g$ gilt:

$\begin{array}[t]{rll} t_1 &=& 0\\[5pt] t_2&=& 7,5 \\[5pt] t_3&=& 12 \end{array}$

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Da der Graph von $g$ laut Aufgabenteil a) einen Hochpunkt mit den Koordinaten $H(3\mid 97,2)$ besitzt und ein Vorzeichenwechsel nur an den Nullstellen stattfinden kann, gilt für $0\leq t \leq 7,5:$ $g(t) \geq 0.$
Da der Graph von $g$ bei $t_2= 7,5$ keinen Tiefpunkt besitzt, muss an dieser Stelle ein Vorzeichenwechsel stattfinden. Damit gilt für $7,5\leq t\leq 12:$ $g(t) \leq 0.$
Analog muss auch an der Stelle $t_3= 12$ ein Vorzeichenwechsel stattfinden, womit für $12 \leq t\leq 15$ gilt $g(t) \geq 0.$

Der Zeitraum, in dem das Volumen des Wassers abnimmt, beginnt $7,5$ Stunden nach Beobachtungsbeginn und endet $12$ Stunden nach Beobachtungsbeginn.

b3)

$\blacktriangleright$ Volumen des Wassers zu Beobachtungsbeginn bestimmen

Mit einem Integral über $g$ kann das Volumen des Wassers berechnet werden, das in einem bestimmten Intervall in das Becken geflossen bzw. daraus abgeflossen ist.
Für den Zeitraum vom Beobachtungsbeginn zum Zeitpunkt $t=0$ bis drei Stunden danach mit $t=3$ folgt mit der angegebenen Stammfunktion $G$ von $g:$

$V = 199,8$

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In den ersten drei Stunden nach Beobachtungsbeginn fließen also $199,8\,\text{m}^3$ Wasser in das Becken hinein. Anschließend befinden sich $350\,\text{m}^3$ Wasser im Becken. Zu Beginn müssen sich daher $350\,\text{m}^3- 199,8\,\text{m}^3 = 150,2\,\text{m}^3$ Wasser im Becken befinden.

b4)

$\blacktriangleright$ Zeitpunkt überprüfen

Da $G(t)$ eine Stammfunktion von $g$ ist, lässt sich mithilfe von $G$ und dem Anfangsvolumen des Wassers im Becken eine Funktion $G_0$ aufstellen, die das Volumen des Wassers im Becken zum Zeitpunkt $t$ beschreibt:

$G_0(t)= ...$

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Gleichsetzen mit dem Anfangsvolumen liefert:

$\begin{array}[t]{rll} t_{1/2}&=& 0\\[5pt] t_{3/4}&=& 13 \pm \sqrt{-11}\\[5pt] \end{array}$

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Da die Wurzel für negative Zahlen nicht definiert ist, gibt es abgesehen von $t=0$ keine weitere Lösung der Gleichung. Es gibt also keinen weiteren Zeitpunkt nach Beobachtungsbeginn, zu dem das Volumen des Wassers ebenso groß ist wie zu Beginn der Beobachtung.

c1)

$\blacktriangleright$ Parameterwert ermitteln

Da die Funktion $h_k$ die Änderungsrate des Wasservolumens angibt, kann durch das Integral die Änderung der Menge des Wasservolumens berechnet werden. Es ist gegeben, dass sich in $2$ Stunden das Wasservolumen um $5 \,\text{m}^3$ ändert.

Somit muss die Gleichung $\displaystyle\int_{0}^{2} h_k(t)\;\mathrm dt=5$ gelten. Damit folgt füür den gesuchten Wert des Parameters $k$ :

$k= \dotsc$

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Somit gilt für $k=- \dfrac{1}{2} \cdot \ln\left(\dfrac{1}{2}\right)$ , dass sich nach $2$ Stunden genau $8 \text{ m}^3$ Wasser in dem Becken befinden.