Stochastik

Alle in deinen Lösungen verwendeten Zufallsgrößen müssen explizit eingeführt werden. Mache auch Angaben über die Verteilung der jeweiligen Zufallsgrößen.

In der Kundendatei eines Reisebüros befinden sich tausende Kundendaten. Dieses Reisebüro bietet auch Fahrten mit einem Ausflugsschiff an.

$6\,\%$ aller Kunden haben bisher schon einmal eine solche Fahrt gebucht und wurden in der Datei mit einem „S“ markiert. Es werden nun $550$ Kunden zufällig aus der Kundendatei ausgewählt.
Verwende bei den folgenden Berechnungen die Binomialverteilung.

a1)

Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass mehr als $40,$ aber höchstens $50$ der ausgewählten Kundne mit einem „S“ gekennzeichnet sind.

(4 BE)

a2)

Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass unter den ausgewählten Kunden weniger mit einem „S“ gekennzeichnet sind, als es zu erwarten ist.

(3 BE)

a3)

Gib im Sachzusammenhang ein Ereignis $A$ an, dessen Wahrscheinlichkeit $0,94^{550}$ beträgt.

(1 BE)

Betrachtet wird nun eine Fahrt mit dem Ausflugsschiff, bei der das Schiff mit $60$ Fahrgästen voll besetzt ist. Zu Beginn der Fahrt werden vier Fahrgäste zufällig ausgelost, die jeweils eine Stofftasche mit Werbegeschenken als Preis erhalten. An der Fahrt nimmt eine Familie mit Vater, Mutter und zwei Kindern teil.

b1)

Gib an, mit welcher Wahrscheinlichkeit der Vater einen Preis gewinnt.

(1 BE)

b2)

Berechne die Wahrscheinlichkeit, mit der die Familie genau zwei Preise gewinnt.

(3 BE)

b3)

Zusätzlich befindet sich in einer der Stofftaschen ein Gutscheinheft (Hauptpreis).
Bestimme die Wahrscheinlichkeit, mit der die Familie genau zwei Preise, aber nicht den Hauptpreis gewinnt.

(3 BE)

Möchte man an einer Fahrt teilnehmen, so muss man dafür im Voraus eine Reservierung vornehmen. Nach der Erfahrung des Reisebüros treten nur $90\,\%$ der Personen, die eine Fahrt reserviert haben, auch zur Fahrt an.
Das Reisebüro nimmt für jede Fahrt immer $64$ Reservierungen an, obwohl nur $60$ Plätze auf dem Schiff vorhanden sind. Erscheinen mehr als $60$ Personen mit Reservierung zur Fahrt, so müssen die überzähligen Personen abgewiesen werden.
Die Zufallsgröße $X$ beschreibt die Anzahl der Personen mit Reservierung, die zu der Fahrt erscheinen.

c1)

Gib im Sachzusammenhang einen Grund dafür an, dass die Zufallsgröße $X$ im Allgemeinen nicht binomialverteilt ist.

(1 BE)

Im Folgenden wird dennoch vereinfachend angenommen, dass die Zufallsgröße $X$ binomialverteilt ist. Außerdem wird vorausgesetzt, dass für jede Fahrt $64$ Reservierungen vorliegen.

c2)

Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass bei einer Fahrt mindestens eine Person mit Reservierung abgewiesen werden muss.

(3 BE)

Der Fahrpreis beträgt $60$ Euro. Bei der Reservierung ist eine Anzahlung von $20$ Euro zu entrichten, die beim Nichtantreten der Fahrt verfällt. Wenn eine Person mit Reservierung abgewiesen werden muss, bekommt sie vom Reisebüro nicht nur die Anzahlung zurück, sondern zusätzlich eine Entschädigung in Höhe von $100$ Euro ausgezahlt.

c3)

Das Reisebüro geht davon aus, dass die Summe der fälligen Rück- und Entschädigungszahlungen durchschnittlich weniger als $20$ Euro pro Fahrt beträgt.
Begründe, dass man unter dieser Annahme mit dem Überbuchungsverfahren einen zusätzlichen Gewinn von über $60$ Euro pro Fahrt gegenüber der Beschränkung auf $60$ Reservierungen erwarten kann.

(2 BE)

c4)

Bei $64$ Personen mit Reservierung beschreibt die Zufallsgröße $Y$ die Anzahl der Personen, die zu einer Fahrt nicht antreten.
Berechne den Term $\displaystyle\sum\limits_{i=0}^3 (P(Y=i)\cdot (4-i)\cdot 120)$ und erläutere seine Bedeutung im Sachzusammenhang.

(4 BE)

Die Geschäftsführerin des Reisebüros vermutet, dass die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine Person eine reservierte Fahrt antritt, kleiner als $90\,\%$ ist.
Sie beauftragt daher einen Mitarbeiter, einen Test mit einem Signifikanzniveau von $2,5\,\%$ zu erstellen, der geeignet ist, ihre Vermutung zu stützen.

d1)

Der Mitarbeiter wählt eine Stichprobe von $64$ zu einer Fahrt angemeldeten Personen.
Erstelle den geforderten Signifikanztest, und gib die entsprechende Entscheidungsregel an.

(7 BE)

d2)

Der Mitarbeiter wählt vier Fahrten zufällig aus. Er führt für jede dieser Fahrten seinen Test durch. Aufgrund von $54,$ $56,$ $54$ bzw. $55$ zur jeweiligen Fahrt angetretenen Personen kann er in keinem der vier Fälle seine Nullhypothese verwerfen.
Zeige, dass bei einem Test mit gleichem Signifikanzniveau und gleicher Nullhypothese, der aber die insgesamt ausgewählten $256$ Personen als Stichprobe verwendet, das ermittelte Ergebnis im Verwerfungsbereich der Nullhypothese liegt.

(3 BE)

d3)

Es ist $c$ eine positive ganze Zahl.
Die Zufallsgröße $X_c$ ist binomialverteilt mit den Parametern $c \cdot n$ und $p.$ Entscheide, ob die folgenden Aussagen für alle $n$ und $p$ wahr sind.

(1)

Für alle $c \geq 2$ gilt $E(X_c) = c \cdot E(X_1).$

(2)

Für alle $c \geq 2$ und $k \in \{1; . . . ; n\}$ gilt $P (X_1 \leq k) = P (X_c \leq c \cdot k).$

Führe jeweils einen entsprechenden Nachweis.

(5 BE)

a1)

$\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeit berechnen

Bezeichne mit $X$ die Zufallsgröße, die die zufällige Anzahl der mit $S$ markierten Kunden in der Stichprobe beschreibt. Laut Aufgabenstellung soll $X$ als binomialverteilt angenommen werden. Die zugehörigen Parameter sind $n=550$ und $p=0,06.$

$... \approx 9,05\,\%$

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Mit einer Wahrscheinlichkeit von ca. $9,05\,\%$ sind mehr als $40,$ aber höchstens $50$ der ausgewählten Kunden mit einem $S$ gekennzeichnet.

a2)

$\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeit berechnen

$\begin{array}[t]{rll} \mu_X &=& n\cdot p \\[5pt] &=& 550\cdot 0,06 \\[5pt] &=& 33 \\[10pt] P(X\lt \mu_X)&=& P(X\leq 32) \\[5pt] &=& F(550\,;\,0,06\,;32) \\[5pt] &\approx& 0,4747 \\[5pt] &=& 47,47\,\% \end{array}$

Mit einer Wahrscheinlichkeit von ca. $47,47\,\%$ sind unter den zufällig ausgewählten Kunden weniger als erwartet mit einem $S$ gekennzeichnet.

a3)

$\blacktriangleright$ Ereignis angeben

$0,94$ ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein zufällig ausgewählter Kunde nicht mit $S$ gekennzeichnet ist. Ein mögliches Ereignis ist also:

$A:\,$ „Unter den ausgewählten Kunden ist keiner mit einem $S$ gekennzeichnet.“

b1)

$\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeit angeben

$\frac{4}{60} = \frac{1}{15} \approx 0,0667 = 6,67\,\%$

Mit einer Wahrscheinlichkeit von ca. $6,67\,\%$ gewinnt der Vater einen Preis.

b2)

$\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeit berechnen

Betrachte die Zufallsgröße $Y,$ die die zufällige Anzahl der Familienmitglieder beschreibt, die einen Preis gewinnen. Diese ist hypergeometrisch verteilt mit $n= 4,$ $N=60,$ $M=4.$

$\begin{array}[t]{rll} P(Y=2) &=& \dfrac{\binom{4}{2}\cdot \binom{60-4}{4-2}}{\binom{60}{4}}\\[5pt] &=& \dfrac{\binom{4}{2}\cdot \binom{56}{2}}{\binom{60}{4}} \\[5pt] &\approx& 0,0189 \\[5pt] &=& 1,89\,\% \end{array}$

Mit einer Wahrscheinlichkeit von ca. $1,89\,\%$ gewinnt die Familie genau zwei Preise.

b3)

$\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeit berechnen

Es gibt $\binom{60}{4}$ Möglichkeiten die Preise aufzuteilen. Davon erfüllen diejenigen die Bedingungen, bei denen zwei der drei normalen Preise und zwei Nieten auf die vier Personen fallen.

$\begin{array}[t]{rll} & \dfrac{\binom{3}{2}\cdot \binom{56}{2}}{\binom{60}{4}}\\[5pt] \approx& 0,0095 \\[5pt] =& 0,95\,\% \end{array}$

Mit einer Wahrscheinlichkeit von ca. $0,95\,\%$ gewinnt die Familie genau zwei Preise, aber nicht den Hauptpreis.

c1)

$\blacktriangleright$ Grund angeben

Um die Anzahl der zur Fahrt erscheinenden Personen als binomialverteilt zu betrachten, müsste man voraussetzen, dass jede Person mit einer Reservierung mit gleicher Wahrscheinlichkeit unabhängig von anderen Personen mit Reservierung erscheint oder nicht erscheint. Das ist in der Realität streng genommen nicht gegeben. Reserviert beispielsweise eine Familie mit fünf Personen, so werden vermutlich die Eltern nicht unabhängig von den Kindern entscheiden zur Fahrt anzutreten und umgekehrt, sodass man von einer gewissen Abhängigkeit unter den Fahrgästen ausgehen kann. Im Allgemeinen ist $X$ daher nicht binomialverteilt.

c2)

$\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeit bestimmen

Es muss mindestens eine Person mit Reservierung abgewiesen werden, wenn mindestens $61$ Personen mit Reservierung zur Fahrt erscheinen. Betrachte dazu die Zufallsvariable $X,$ die die zufällige Anzahl der Personen mit Reservierung beschreibt, die zur Fahrt erscheinen. Diese wird laut Aufgabenstellung als binomialverteilt mit $n=64$ und $p=0,9$ betrachtet.

$P(X\geq 61)\approx 10,63\,\%$

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Mit einer Wahrscheinlichkeit von ca. $10,63\,\%$ muss mindestens eine Person mit Reservierung abgewiesen werden.

c3)

$\blacktriangleright$ Gewinn begründen

Über den Fahrpreis nimmt das Reisebüro $60\cdot 60\,€ = 3600\,€$ in beiden Fällen ein.

Im Falle des Überbuchungsverfahrens nimmt das Reisebüro zusätzlich $4\cdot 20\,€=80\,€$ über die vier zusätzlichen Reservierungsgebühren pro Fahrt ein. Es geht davon aus, dass es dadurch pro Fahrt durchschnittlich mit Rück- und Entschädigungszahlungen in einer Höhe von $20\,€$ rechnen muss. Insgesamt nimmt es durchschnittlich also $60\,€$ mehr pro Fahrt ein als wenn es nur $60$ Reservierungen zulassen würde.

c4)

$\blacktriangleright$ Term berechnen und im Sachzusammenhang erläutern

$Y$ wird als binomialverteilt mit $n=64$ und $p= 0,1$ angenommen.

$... \approx 18,71$

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Mit $P(Y=i)$ wird die Wahrscheinlichkeit dafür berechnet, dass bei einer Fahrt mit dem Ausflugsschiff $i$ Personen mit einer Reservierung nicht zur Fahrt erscheinen.
$4-i$ beschreibt die Anzahl der Personen, die bei der Fahrt dann abgewiesen werden müssen. Diesen $4-i$ Personen müssen also jeweils $20\,€$ Reservierungsgebühr und $100\,€$ Entschädigung, also insgesamt jeweils $120\,€,$ gezahlt werden.

Mit dem Term wird also berechnet, mit welcher Summe an Zahlungen in Euro das Reisebüro pro Fahrt im Schnitt rechnen muss, die es an die Personen mit Reservierung zahlen muss, die abgewiesen werden müssen.

d1)

$\blacktriangleright$ Signifikanztest erstellen

Bezeichne mit $X_p$ die Zufallsgröße, die die zufällige Anzahl der Personen mit Reservierung beschreibt, die zur Fahrt erscheinen. Diese kann als binomialverteilt mit $n=64$ und unbekanntem $p$ angenommen werden.
Es soll die Hypothese $H_1:\, p \lt 0,9$ gestützt werden. Als Nullhypothese wird also $H_0:\, p geq 0,9$ gewählt.

Gilt der extremste Fall der Nullhypothese, dann ist $p=0,9.$ Wird die Nullhypothese für diesen Wert bei einem linksseitigen Test verworfen, so auch für alle anderen möglichen Werte von $p$ der Nullhypothese.
Für $p=0,9$ ist aufgrund des Signifikanzniveaus also das größte $k$ gesucht, für das gerade noch $P(X\leq k)\leq 0,025$ ist.
Es ist:

$P(X \leq 52) \approx 0,0236$ und $P(X\leq 53) \approx 0,0516$

Eine Entscheidungsregel lautet also:

Erscheinen höchstens $52$ Personen mit Reservierung zur Fahrt, so wird die Nullhypothese verworfen und die Vermutung der Geschäftsführerin des Reisebüros wird gestützt.

d2)

$\blacktriangleright$ Zweiten Signifikanztest überprüfen

Es wird nun die neue Stichprobe vom Umfang $256$ betrachtet. Betrachte also die Zufallsgröße $X_{256}.$ Diese wird analog zu d1 als binomialverteilt mit $n=256$ und $p=0,9$ (Extremfall der Nullhypothese) angenommen.
Es sind $219$ Personen zur Fahrt erschienen. Es gilt:

$P(X_{256} \leq 219) \approx 0,0148 \leq 0,025$

Die Grenze $k$ des Verwerfungsbereichs ist analog zu d1 das größte $k$ für das gerade noch gilt $P(X_{256}\leq k)\leq 0,025.$ Es gilt also $219 \leq k.$ Das Stichprobenergebnis $219$ liegt in dem Fall also im Verwerfungsbereich der Nullhypothese.

d3)

$\blacktriangleright$ Aussagen untersuchen

(1)

$\begin{array}[t]{rll} E(X_c) &=& (c\cdot n)\cdot p \\[5pt] &=& c\cdot (1\cdot n\cdot p) \\[5pt] &=& c\cdot ((1\cdot n)\cdot p) \\[5pt] &=& c\cdot E(X_1) \\[5pt] \end{array}$

Die erste Aussage ist also wahr.

(2)

Betrachte beispielsweise die Zufallsgröße aus den letzten Aufgabenteilen. Sei also $X_1$ binomialverteilt mit $n=64$ und $p=0,9.$ Für $k=52$ gilt:

$P(X_1 \leq k) = P(X\leq 52 ) \approx 0,0236$

Die Zufallsgröße $X_4$ ist dann binomialverteilt mit $4\cdot 64 = 256$ und $p = 0,9.$ Dafür gilt:

$\begin{array}[t]{rll} P(X_4 \leq 4\cdot k)&=& P(X_4 \leq 208)\\[5pt] &\approx& 0,00002 \\[5pt] &\neq& 0,0236 \\[5pt] &\approx& P(X_1\leq 52) \end{array}$

Anhand dieses Gegenbeispiels lässt sich also feststellen, dass die zweite Behauptung nicht für alle $n$ und $p$ wahr ist.