Analysis 1

Aufgabe 1: Analysis

Vor einiger Zeit plante man in Hamburg eine von zwei Stützpfeilern (Pylonen) getragene Seilbahn über die Elbe. Die folgende Abbildung zeigt einen entsprechenden Entwurf. Dabei stellt die $x$ -Achse den Verlauf der Erdbodenlinie dar. Eine Längeneinheit entspricht $100\,\text{m}$ in der Wirklichkeit.

Diagramm mit Punkten, Achsen und einer Wasseroberfläche, dargestellt in einer mathematischen oder physikalischen Anordnung.

Abb. 1

Die Pylonenspitze $B$ befindet sich $90\,\text{m}$ über dem Erdboden. Die Pylonenspitze $D$ liegt $110,4\;\text{m}$ über dem Erdboden. Der Abstand der beiden Pylonen beträgt $600\,\text{m}$ . Das nördliche Elbufer ist $200\,\text{m}$ vom nördlichen Pylonen entfernt. Der Punkt $C$ liegt senkrecht über dem nördlichen Elbufer. Die Seilhöhe beträgt hier $87,2\,\text{m}$ über dem Erdboden und die Steigung des Seiles im Punkt $C$ ist $1,8\,\%$ .

Zwischen den Pylonen kann der Verlauf des Seiles näherungsweise durch eine ganzrationale Funktion $f$ dritten Grades beschrieben werden.

Bestimme eine zugehörige Funktionsgleichung.

$\left[\text{Kontrolle:}\;f(x)=-\dfrac{1}{1.000}\cdot\;x^3+\dfrac{1}{50}\cdot\;x^2-\dfrac{1}{20}\cdot\;x+\dfrac{9}{10}\right]$

Berechne im Bereich zwischen den Pylonen die minimale Höhe des Seiles über der Erdbodenlinie.
Zu einem bestimmten Zeitpunkt befindet sich die Wasseroberfläche der Elbe $10\,\text{m}$ unter der Erdbodenlinie. Die Elbe ist im geplanten Bereich $290\,\text{m}$ breit. Berechne die durchschnittliche Höhe des Seiles über der Wasseroberfläche.

(17P)

Die Funktion $f$ hat eine Wendestelle. Zeige, dass diese nicht im Intervall $[0;6]$ liegt.
Berechne die maximale Steigung des Graphen von $f$ im Intervall $[0;6]$ .
Begründe, warum die Modellierung des Seiles durch einen Graphen mit einer Wendestelle $x_W$ mit $0\lt x_W\lt 6$

(8P)

Die Station $A$ auf dem Nordufer ist $300\,\text{m}$ vom nördlichen Pylonen entfernt. Das Seil befindet sich hier in einer Höhe von $20\,\text{m}$ über der Erdbodenlinie.
Der Verlauf des Seils zwischen der Station und dem nördlichen Pylonen kann durch eine Funktion $g$ mit $g(x)=a\cdot\;\mathrm{e}^{0,5x}+b\cdot\;\mathrm{e}^{-0,5x}$ beschrieben werden.

Grafik mit Koordinatensystem, Punkten A und B sowie einer Pylon-Darstellung in Nordausrichtung.

Abb. 2

Weise durch Rechnung nach, dass sich die beiden Koeffizienten $a$ und $b$ in der Form

$a=\dfrac{0,2\cdot\;\mathrm{e}^{1,5}-0,9\cdot\;\mathrm{e}^3}{1-\mathrm{e}^3}$

$b=\dfrac{0,9-0,2\cdot\;\mathrm{e}^{1,5}}{1-\mathrm{e}^3}$

Berechne den Winkel, unter dem die Seile am nördlichen Pylonen aufeinandertreffen.

(11P)

Um für die Fahrgäste ein angenehmes Fahren der Gondel zu ermöglichen, sollen knickfreie Übergänge hergestellt werden. Dazu hat der Konstrukteur die Punkte $P$ und $Q$ auf den Graphen der zugehörigen Funktionen festgelegt und geplant, das Seil kreisbogenförmig vom Punkt $P$ zum Punkt $Q$ zu führen.

Diagramm mit einem Pylon und Kräften, die auf Punkte P und Q wirken.

Abb. 3

Beschreibe ein Verfahren, mit dem untersucht werden kann, ob es einen solchen Kreisbogen gibt. Der Kreisbogen muss nicht durch den Punkt $B$ verlaufen.

(4P)

Bildnachweise [nach oben]

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$\blacktriangleright$ Funktion 3.Grades bestimmen

Du musst eine ganzrationale Funktion $3$ .Grades bestimmen, die den Verlauf des Seils zwischen den beiden Pylonen beschreibt. Dabei hat eine Funktion $3$ .Grades $f$ die Form:

$f(x)=ax^3 + bx^2 + cx + d$

$a$ , $b$ , $c$ und $d$ sind ganzrationale Zahlen.

Nun weißt du aus der Aufgabenstellung, dass die Funktion $f$ durch die Punkte $B$ , $C$ und $D$ verlaufen muss und bei $C$ die Steigung $1,8$ $\%$ hat. Benutze diese Informationen, um $a$ , $b$ , $c$ und $d$ der Funktion $f$ zu bestimmen, indem du die entsprechenden Punkte in die Funktion $f$ einsetzt und die Steigung von $1,8$ $\%$ mit der Ableitung von $f$ gleichsetzt ( $f‘(x) = 3ax^2 + 2bx + c$ ).

Setzt du die Koordinaten des Punkts $B$ in die Funktion $f$ ein, so folgt sofort $d = 0,9$ , denn

$\begin{array}[t]{rll} f(0) &=& a \cdot 0^3 + b \cdot 0^2 + c \cdot 0 + d \\ &=& d \\ &=& 0,9. \end{array}$

Setzt du die Koordinaten der Punkte $C$ , $D$ in $f$ ein und setzt du die zweite Ableitung $f‘$ mit $1,8$ $\%$ gleich, so bekommst du das folgende lineare Gleichungssystem:

$\begin{array}{} \text{I}\quad&f(2)&=& 8 a + 4b + 2c + 0,9 &=& 0,872 \quad\\ \text{II}\quad&f(6)&=& 216a + 36b + 6c + 0,9 &=& 1,104 \quad\\ \text{III}\quad&f‘(2)&=& 12a + 4b + c &=& 0,018 \end{array}$

Weiter umgeformt folgt:

$\begin{array}{} \text{I}\quad 8a + 4b + 2c &=& -0,028 \quad\\ \text{II}\quad 216a + 36b + 6c &=& 0,204 \quad\\ \text{III}\quad 12a + 4b + c &=& 0,018 \end{array}$

Rechne nun im nächsten Schritt $\text{I} - 2 \cdot \text{III} = \text{I}‘$ und $\text{II} - 6 \cdot \text{III} = \text{II}‘$ .

$\begin{array}{} \text{III}\quad 12a + 4b + c &=& 0,018 \quad\\ \text{I‘}\quad -16a - 4b &=& -0,064 \quad\\ \text{II‘}\quad 144a + 12b &=& 0,096 \quad\\ \end{array}$

Rechne im nächsten Schritt $\text{II‘} - 3 \cdot \text{I‘} = \text{II}‘‘$ .

$\begin{array}{} \text{III}\quad 12a + 4b + c &=& 0,018 \quad\\ \text{I‘}\quad -16a - 4b &=& -0,064 \quad\\ \text{II‘‘}\quad 96a &=& -0,096 \quad\\ \end{array}$

Demzufolge ist $a = -\frac{1}{1.000}.$

Durch einsetzen von $a$ in $\text{I‘}$ folgt für $b =\frac{1}{50}$ .

Durch einsetzen von $a$ und $b$ in $\text{III}$ folgt für $c=-\frac{1}{20}.$

Die gesuchte Funktion $f$ lautet demnach $$ f(x)=-\frac{1}{1.000} \cdot x^3 + \frac{1}{50} \cdot x^2 - \frac{1}{20} \cdot x + \frac{9}{10}. $$

$\blacktriangleright$ Minimale Höhe des Seils über der Erbodenlinie bestimmen

Du musst die minimale Höhe des Seils im Bereich zwischen den Pylonen berechnen. Das ist gerade die $y$ -Koordinate des Minimums im Intervall $[0; \,6].$

Ein notwendiges Kriterium für ein Minimum einer Funktion $f$ an der Stelle $x$ ist

$f‘(x) = 0.$

Somit musst du zuerst alle Stelle bestimmen, die im Intervall $[0; \,6]$ dieses Kriterium erfüllen, um anschließend zu prüfen, ob diese Stellen zusätzlich dem Kriterium

$f‘‘(x_1) > 0$

genügen.

$\begin{array}[t]{rll} f‘(x) &=& - \frac{3}{1.000} \cdot x^2 + \frac{1}{25} \cdot x - \frac{1}{20} &=& 0. \end{array}$

Bringe diese Gleichung auf die pq-Form und löse sie mit der pq-Formel.

$\begin{array}[t]{rll} 0 &=& x^2 - \frac{40}{3} \cdot x + \frac{50}{3} \\ x_{1,2}&=& \frac{20}{3} \pm \sqrt{\frac{400}{9} - \frac{50}{3}} \\ &=& \frac{20}{3} \pm \frac{5 \sqrt{10}}{3}. \end{array}$

Die beiden Nullstellen der zweiten Ableitung sind folglich $x_1 = \frac{20 - 5 \sqrt{10}}{3}$ und $x_2 = \frac{20 + 5 \sqrt{10}}{3}.$ Da $x_2$ außerhalb des Intervalls $[0; \, 6]$ liegt, betrachtest du nur $x_1$ . Die Stelle $x_1$ ist genau dann ein Minimum, falls $f‘‘(x_1) > 0$ gilt. Leite $f‘$ also ab und überprüfe die gegebene Bedingung.

$\begin{array}[t]{rll} f‘‘(x_1) &=& - \frac{6}{1.000} x_1 + \frac{1}{25} \\[5pt] &=& - \frac{6}{1.000} \cdot \frac{20 - 5 \sqrt{10}}{3} + \frac{1}{25} \\[5pt] &>& 0. \end{array}$

Somit handelt es sich bei der Stelle $x_1 \approx 1,4$ , um ein Minimum.

Setze diese Stelle in $f$ ein, um die $y$ -Koordinate und somit auch die minimale Höhe zu bestimmen. $$ f(1,4) = - \frac{1}{1.000} \cdot 1,4^3 + \frac{1}{50} \cdot 1,4^2 - \frac{1}{20} \cdot 1,4 + \frac{9}{10} \approx 0,87. $$ Demnach ist die minimale Höhe des Seils über der Erbodenlinie ungefähr $87$ m.

$\blacktriangleright$ Durchschnittliche Höhe des Seils über der Wasseroberfläche berechnen

Um die durchschnittliche Höhe des Seils über der Wasseroberfläche der Elbe zu berechnen, musst du das Intergral von $\tilde{f}$ im Intervall $[2; \, 4,9]$ berechnen und anschließend das Ergenis durch die Breite der Elbe teilen. Dabei ist $\tilde{f}$ eine kleine Abänderung der Funktion $f$ , da die Wasseroberlfäche der Elbe $10$ m unter der Erdbodenlinie liegt, ist $$ \tilde{f}(x) = -\frac{1}{1.000} \cdot x^3 + \frac{1}{50} \cdot x^2 - \frac{1}{20} \cdot x + 1. $$ Berechne also das Integral von $\tilde{f}$ mit der oberen Grenze $4,9$ und der unteren Grenze $2.$

$\begin{array}[t]{rll} \int_{2}^{4,9} f(x) \text{ dx} &=& \big[- \frac{1}{4.000} \cdot x^4 + \frac{1}{150} \cdot x^3 - \frac{1}{40} \cdot x^2 + x \big]^{4,9}_2 \\ &\approx& 2,99. \end{array}$

Teile nun das Ergebnis durch die Breite des Flusses $h_{\text{Durchschnitt}} = \frac{2,99}{2,9} \approx 1,03.$

Die durchschnittliche Höhe des Seils über dem Fluss beträgt also ungefähr $103$ m.

$\blacktriangleright$ Zeigen, dass Wendestelle außerhalb des Intervalls $\boldsymbol{[0; \, 6]}$ liegt

Die Funktion $f$ hat eine Wendestelle. Deine Aufgabe besteht darin zu zeigen, dass diese Wendestelle nicht im Intervall $[0; 6]$ liegt.

Ein notwendiges Kriterium für eine Wendestelle $x_W$ ist

$f‘‘(x_W) = 0.$

Die zweite Ableitung $f‘‘$ ist dir schon aus der Teilaufgabe a) bekannt. Prüfe also, ob es eine Stelle $x$ gibt für die das notwendige Kriterium einer Wendestelle erfüllt ist.

$\begin{array}[t]{rll} f‘‘(x) &=& - \frac{6}{1.000} x + \frac{1}{25} \\[5pt] &=& 0. \end{array}$

Diese Gleichung ist genau dann erfüllt, wenn $x = \frac{20}{3} \approx 6,67$ ist. Da $x=\frac{20}{3}$ nicht im Intervall $[0; \, 6]$ liegt, liegt die Wendestelle von $f$ auch nicht im Intervall $[0; \, 6].$

$\blacktriangleright$ Maximale Steigung im Intervall $\boldsymbol{[0; \, 6]}$ berechnen

Um die maximale Steigung des Graphen von $f$ im Intevall $[0; \, 6]$ zu ermitteln, machst du folgende Überlegung:

Es gibt nur eine Extremstelle im Intervall $[0; \, 6]$ , nämlich ein Minimum bei $1,4.$ Im Intervall $[0; \, 1,4]$ ist die Funktion demzufolge monoton fallend, deshalb kommt dieser Bereich für die Betrachtung der maximalen Steigung nicht infrage. Im Intervall ist die Funktion $[1,4; \, 6]$ monoton steigend. Im Intervall $[1,4; \, 6]$ gibt es keine Wendestelle, dementsprechend ist auch die Steigung der Funktion in diesem Intervall monoton steigend, d.h. je weiter du im Invervall $[1,4; \, 6]$ nach rechts gehst, desto stärker steigt die Funktion an. Demzufolge steigt der Graph auf dem rechten Rand des Intervalls, also bei $6$ , maximal.

Setze $x=6$ in $f‘$ ein, um die maximale Steigung zu bestimmen.

$\begin{array}[t]{rll} f‘(6) &=& - \frac{3}{1.000} \cdot 6^2 + \frac{1}{25} \cdot 6 - \frac{1}{20} \\[5pt] &=& \frac{41}{500}. \end{array}$

Die maximale Steigung im Intevall $[0;6]$ ist also $\frac{41}{500}.$

$\blacktriangleright$ Modellierung des Graphens ohne Wendestelle begründen

Nun musst du begründen warum für die Modellierung des Graphens im Intervall $[0;6]$ keine Wendestelle sinnvoll ist.

Spannst du ein Seil zwischen zwei Pfeilern, so entsteht zwischen den Pfeilern entweder ein lokales Minimum oder das Seil kann durch eine lineare Funktion beschrieben werden. Eine lineare Funktion liegt in diesem Fall nicht vor, deswegen betrachtest du nur den ersten Fall.

Zwischen dem Minimum und einem Ende des Seils steigt bzw. fällt die Funktion. Je näher du dich einem Ende des Seils näherst, desto stärker steigt bzw. fällt die Funktion, die den Verlauf des Seils beschreibt, denn je näher du entlang des Seils in Richtung eines Pfeilers gehst, desto größer wird die Spannung im Seil.

Eine Wendestelle ist eine Stelle maximalen Anstiegs oder Abfalls. Demzufolge ist die Modellierung des Seils durch einen Graphen mit einer Wendestelle nicht sinnvoll, denn innerhalb der Pfeiler gibt es im Seil keine Stelle maximalen Anstiegs bzw. Abfalls.

$\blacktriangleright$ Koeffizienten $\boldsymbol{a}$ und $\boldsymbol{b}$ berechnen

Die Funktion $g$ beschreibt den Verlauf des Seils zwischen den Punkten $A$ und $B$ , d.h. du kannst die zwei Koeffizienten $a$ und $b$ der Funktion $g$ durch die zwei Punkte $A$ und $B$ eindeutig bestimmen. Dafür setzt du die zwei Punkte in die Funktione $g$ ein, sodass ein lineares Gleichungssystem mit zwei Unbekannten und zwei Gleichungen entsteht. Löst du dieses Gleichungssystem, so musst du die gleichen Werte für $a$ und $b$ erhalten wie sie in der Aufgabenstellung vorgegeben sind.

$\begin{array}{} \text{I}\quad&g(-3)&=& a \cdot \mathrm e^{0,5 \cdot (-3)} + b \cdot \mathrm e^{-0,5 \cdot (-3)} &=& 0,2 \quad\\ \text{II}\quad&g(0)&=& a \cdot \mathrm e^{0,5 \cdot (0)} + b \cdot \mathrm e^{-0,5 \cdot (0)} &=& 0,9 \quad\\ \end{array}$

$\begin{array}{} \text{I}\quad& a \cdot \mathrm e^{-1,5} + b \cdot \mathrm e^{1,5} &=& 0,2 \quad \scriptsize\mid\;\text{Rechne: }\text{I}- \mathrm e^{1,5} \cdot \text{II}\\ \text{II}\quad& a + b &=& 0,9 \quad\\ \hline \text{III}\quad& a \cdot \mathrm e^{-1,5} - a \cdot \mathrm e^{1,5} &=& 0,2 - 0,9 \cdot \mathrm e^{1,5} \quad\\ \end{array}$

Bringe die Gleichung $\text{III}$ in dieselbe Form wie sie in der Aufgabenstellung gefordert ist.

$\begin{array}[t]{rll} a \cdot \mathrm e^{-1,5} - a \cdot \mathrm e^{1,5} &=& 0,2 - 0,9 \cdot \mathrm e^{1,5} \quad\\ a \cdot (\mathrm e^{-1,5} - \mathrm e^{1,5}) &=& 0,2 - 0,9 \cdot \mathrm e^{1,5} \quad\\ a \cdot \mathrm e^{-1,5} (1 - \mathrm e^{3}) &=& 0,2 - 0,9 \cdot \mathrm e^{1,5} \quad\\ a &=& \dfrac{0,2 \cdot \mathrm e^{1,5} - 0,9 \cdot \mathrm e^{3}}{1 - \mathrm e^{3}}. \end{array}$

Um nun $b$ zu berechnen, setzt du den gezeigten Wert für $a$ in Gleichung $\text{II}$ ein und löst die Gleichung nach $b$ auf.

$\begin{array}[t]{rll} 0,9 &=& \dfrac{0,2 \cdot \mathrm e^{1,5} - 0,9 \cdot \mathrm e^{3}}{1 - \mathrm e^{3}} + b \quad\\ b &=& 0,9 - \dfrac{0,2 \cdot \mathrm e^{1,5} - 0,9 \cdot \mathrm e^{3}}{1 - \mathrm e^{3}} \quad\\ &=& \dfrac{0,9 \cdot (1 - \mathrm e^{3})}{1 - \mathrm e^{3}} - \dfrac{0,2 \cdot \mathrm e^{1,5} - 0,9 \cdot \mathrm e^{3}}{1 - \mathrm e^{3}} \quad\\ &=& \dfrac{0,9 \cdot (1 - \mathrm e^{3} + \mathrm e^{3}) - 0,2 \cdot \mathrm e^{1,5}}{1 - \mathrm e^{3}} \quad\\ &=& \dfrac{0,9 - 0,2 \cdot \mathrm e^{1,5}}{1 - \mathrm e^{3}}. \end{array}$

Somit hast du die beiden Werte für die Koeffizienten $a$ und $b$ nachgewiesen.

$\blacktriangleright$ Winkel berechnen

Die beiden Seile treffen am nördlichen Pylon unter einem bestimmten Winkel aufeinander. Dieser gesuchte Winkel $\gamma$ entsteht durch die beiden Tangenten der Funktionen $f$ und $g$ im Punkt $B$ . Berechne also im ersten Schritt die Steigung der beiden Tangenten, indem du die beiden Funktionen $f$ und $g$ ableitest und $x=0$ einsetzt.

Die Ableitung von $f$ hast du schon in Aufgabenteil a) berechnet. Die Ableitung von $g$ ist

$\begin{array}[t]{rll} g‘(x) &=& 0,5 \cdot a \cdot \mathrm e^{0,5x} - 0,5 \cdot b \cdot \mathrm e^{-0,5x} \\[5pt] &=& 0,5 \cdot (a \cdot \mathrm e^{0,5x} - b \cdot \mathrm e^{-0,5x}) \end{array}$

mit $a = \dfrac{0,2 \cdot \mathrm e^{1,5} - 0,9 \cdot \mathrm e^{3}}{1 - \mathrm e^{3}}$ und $b = \dfrac{0,9 - 0,2 \cdot \mathrm e^{1,5}}{1 - \mathrm e^{3}}.$

Somit folgt für die Steigungen der beiden Tangenten

$\begin{array}[t]{rll} m_{f} &=& - \frac{3}{1.000} \cdot 0^2 + \frac{1}{25} \cdot 0 - \frac{1}{20} \\[5pt] &=& - \frac{1}{20}, \\[5pt] m_{g} &=& 0,5 \cdot (a \cdot \mathrm e^{0,5 \cdot 0} - b \cdot \mathrm e^{-0,5 \cdot 0}) \\[5pt] &=& 0,5 \cdot (a - b) \\[5pt] &\approx& 0,45 \end{array}$

Schneiden sich zwei Geraden mit den Steigungen $m_1$ und $m_2$ in einem Punkt, so gilt für den spitzen Schittwinkel

$\tan \alpha = \left| \dfrac{m_2-m_1}{1+m_1 m_2} \right|$

mit $0° \leq \alpha \lt 90°.$

Setze also die gegebenen Steigungen in die Formel ein. Beachte dabei, dass es sich bei dem gesuchten Winkel $\gamma$ offensichtlich um einen stumpfen Winkel handelt, sodass du dein Ergebnis noch von $180°$ abziehen muss, um den Auftreffwinkel der beiden Seile zu erhalten.

$\begin{array}[t]{rll} \tan \alpha &=& \left| \dfrac{m_g-m_f}{1+m_f m_g} \right| &\quad \\[5pt] &=& \left| \dfrac{0,45+0,05}{1-0,45 \cdot 0,05} \right| &\quad \\[5pt] &\approx& 0,51 \\[5pt] \alpha &\approx& \arctan (0,51) \\[5pt] &\approx& 27°. \end{array}$

Ziehe nun $\alpha$ von $180°$ ab, um den gesuchten Winkel $\gamma$ zu erhalten.

$\gamma = 180° - 27° = 153°.$

Der Winkel, unter dem die beiden Seile am nördlichen Pylonen auftreffen, ist also ungefähr $153°.$

$\blacktriangleright$ Verfahren für einen Kreisbogen beschreiben

Ein Kreisbogen ist ein Ausschnitt eines Kreises, der durch zwei Punkte auf dem Kreis begrenzt ist. In diesem Fall ist der Kreisbogen sogar ein Ausschnitt eines Halbkreises, der durch die allgemeine Kreisgleichung $r^2 = (x-x_m)^2 + (y - y_m)^2$ beschrieben werden kann. Dabei ist $r$ der Radius des Halbkreises, $x_m$ die $x$ -Koordinate und $y_m$ die $y$ -Koordinate des Mittelpunkts.

Gehe nun in folgenden Schritten vor, um herauszufinden, ob ein Kreisbogen existiert, der knickfrei im Punkt $P$ in die Funktion $g$ und im Punkt $Q$ in $f$ übergeht.

1.Schritt: Bestimme die Steigung der Tangente im Punkt $P$ und der Tangente im Punkt $Q$ .

2.Schritt: Setze die Koordinaten der beiden Punkte in die allgemeine Kreisgleichung ein und setze die Ableitung der allgemeinen Gleichungen mit den Steigungen der beiden Tangenten gleich, sodass ein lineares Gleichungssystem mit vier Gleichungen und drei Unbekannten entsteht.

3.Schritt: Überprüfe ob solche $r$ , $x_m$ und $y_m$ existieren, die diese vier Gleichungen erfüllen. Falls ja, so existiert ein Kreisbogen mit den geforderten Eigenschaften.