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Inhaltsverzeichnis

Analytische Geometrie

Die Punkte $A(4\mid0\mid0),$ $B(4\mid4\mid0),$ $C(0\mid4\mid0),$ $F(4\mid4\mid3)$ und $H(0\mid0\mid3)$ sind Eckpunkte des abgebildeten Quaders. Die Gerade $h$ verläuft durch $B$ un $F.$

Quader

Abb. 1

a)

1)

Begründe, dass das Dreieck $ABC$ rechtwinklig und gleichschenklig ist. Gib den Flächeninhalt dieses Dreiecks an.

(3 BE)

$\,$

2)

Gib eine Gleichung der Geraden $g$ an, die durch $A$ und $C$ verläuft. Begründe, dass diese Gerade windschief zur Geraden $h$ ist.

(3 BE)

$\,$

3)

Bestimme den Abstand von $g$ zur Geraden durch $B$ und $H.$

(5 BE)

$\,$

4)

Berechne den Flächeninhalt des Dreiecks $ACH.$

(3 BE)

b)

Die Punkte der Geraden $h$ lassen sich durch $P_t(4\mid4\mid t)$ mit $t \in \mathbb{R}$ darstellen. Für jeden Wert von $t$ liegen $A,$ $C$ und $P_t$ in der Ebene

$E_t:\, t \cdot x_1+ t \cdot x_2− 4 \cdot x_3− 4 \cdot t = 0.$

$\,$

1)

Ermittle diejenigen Werte von $t,$ für die die zugehörige Ebene $E_t$ mit der $x_1x_2$ -Ebene einen Winkel der Größe $60^{\circ}$ einschließt.

(4 BE)

$\,$

Der abgebildete Quader wird durch eine der Ebenen $E_t$ in zwei Teilkörper zerlegt. Die Seiten der Schnittfigur dieser Ebene und des Quaders sind in der Abbildung gestrichelt dargestellt.

$\,$

2)

Beschreibe, wie man mithilfe der Abbildung den Wert von $t$ ermitteln kann.

(3 BE)

$\,$

3)

Es ist $t = 6.$ Berechne das Volumen desjenigen der beiden Teilkörper, zu dem der Punkt $B$ gehört, und erläutere dein Vorgehen.

(5 BE)

$\,$

Es gibt Werte von $t,$ für die die Schnittfigur des Quaders und der Ebene $E_t$ die Form eines Dreiecks hat.

$\,$

4)

Gib alle diese Werte von $t$ an und beschreibe in Abhängigkeit von $t$ die Lage der Eckpunkte des Dreiecks.

(4 BE)

c)

Es sei jetzt $t \gt 3.$ $Q_t$ sei der Schnittpunkt von $E_t$ mit der Strecke $\overline{EF}$ und $R_t$ sei der Schnittpunkt von $E_t$ mit der Strecke $\overline{FG}.$

$\,$

1)

Berechne die Koordinaten von $Q_t.$
[Zur Kontrolle: $Q_t(4\mid \frac{12}{t}\mid 3)$ ]

(4 BE)

$\,$

2)

Gib die Koordinaten von $R_t$ an und berechne die Länge der Strecke $\overline{Q_tR_t}$ in Abhängigkeit von $t.$

(3 BE)

d)

Die folgende Aussage stellt die Lösung einer Aufgabe im Zusammenhang mit den bisher betrachteten geometrischen Objekten dar:

$\left| \dfrac{t\cdot 4+t\cdot 4 -4\cdot 0 -4\cdot t}{\sqrt{t^2+t^2+16}}\right| =2$ $\quad\Leftrightarrow\quad$ $t=-2\sqrt{2}$ $\quad\lor\quad$ $t=2\sqrt{2}$

Formuliere eine dazu passende Aufgabenstellung.

(3 BE)

Bildnachweise [nach oben]

[1]

© - SchulLV.

a)

1)

$\blacktriangleright$ Rechtwinkligkeit und Gleichschenkligkeit begründen

Alle Seitenflächen eines Quaders sind mindestens Rechtecke. Da $A,$ $B$ und $C$ Eckpunkte einer gemeinsamen Seitenfläche des Quaders und $\overline{AB}$ und $\overline{BC}$ zwei der Kanten sind, muss das Dreieck $ABC$ im Punkt $B$ einen rechten Winkel besitzen.
Die Länge der Seite $\overline{AB}$ ergibt sich mithilfe des zugehörigen Verbindungsvektors und seinem Vektorbetrag zu:

$\left|\overrightarrow{AB} \right| = 4$

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Für $\overline{BC}$ gilt analog:

$\left|\overrightarrow{BC} \right| = 4$

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Das Dreieck $ABC$ ist also gleichschenklig.

$\blacktriangleright$ Flächeninhalt angeben

Aufgrund des rechten Winkels ergibt sich der Flächeninhalt zu:

$\begin{array}[t]{rll} A_{ABC}&=& \frac{1}{2}\cdot 4\cdot 4 \\[5pt] &=& 8 \end{array}$

Das Dreieck $ABC$ hat einen Flächeninhalt von $8\,\text{FE}.$

$\,$

2)

$\blacktriangleright$ Geradengleichung angeben

$g: \quad \overrightarrow{x} = ...$

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$\blacktriangleright$ Windschiefe Lage begründen

$g$ verläuft durch die Diagonale $\overline{AC}$ einer Seitenfläche des Quaders. $h$ verläuft entlang der Kante $\overline{BF},$ die senkrecht zu dieser Seitenfläche steht. $g$ und $h$ können also nicht parallel verlaufen. Da $B$ ein weiterer Eckpunkt der Seitenfläche ist, in der $A$ und $C$ liegen, können $g$ und $h$ keine gemeinsamen Punkte besitzen. Sie müssen also windschief sein.

$\,$

3)

$\blacktriangleright$ Abstand bestimmen

1. Schritt: Gleichung einer Hilfsebene bestimmen

Ein Normalenvektor einer Ebene $H_E,$ die zu beiden Geraden parallel ist, kann mithilfe des Kreuzprodukts der beiden Richtungsvektoren bestimmt werden:

$\overrightarrow{n} = 4\cdot \pmatrix{3\\3\\ 8}$

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Mithilfe einer Punktprobe mit den Koordinaten von $A$ kannst du nun eine Koordinatengleichung der Ebene $H$ aufstellen, in der $g$ liegt und die gleichzeitig parallel zu der Geraden durch $B$ und $H$ ist.

$d=12$

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$H:\quad 3x_1 +3x_2 +8x_3 =12$

2. Schritt: Abstand bestimmen

Da $g$ in $H_E$ liegt und die Gerade durch $B$ und $H$ parallel zur Ebene $H_E$ liegt, entspricht der Abstand der beiden Geraden genau dem Abstand eines beliebigen Punkts auf der Geraden zur Ebene $H_E.$
Mit der Hesseschen Normalenform von $H_E$ folgt für den Abstand eines Punkts $P(x_1\mid x_2\mid x_3)$ zu $H_E:$

$d(P,H_E)&=...$

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Für $B$ folgt:

$d(B,H_E)\approx 1,33$

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Die Gerade $g$ und die Gerade durch $B$ und $H$ haben einen Abstand von ca. $1,33\,\text{LE}.$

$\,$

4)

$\blacktriangleright$ Flächeninhalt berechnen

Da die Seitenfläche, deren Diagonale $\overline{AC}$ ist, wegen Teilaufgabe a1) ein Quadrat ist, sind die beiden Punkte $A$ und $C$ gleichweit von $H$ entfernt. Bei $ACH$ handelt es sich also um ein gleichschenkliges Dreieck mit der Basis $\overline{AC}.$
Die Höhe $h$ des Dreiecks entspricht also dem Abstand von $H$ zum Mittelpunkt $M$ der Strecke $\overline{AC}.$ Mit der Mittelpunktsformel erhältst du die Koordinaten von $M:$

$\overrightarrow{OM} = \pmatrix{2\\2\\0}$

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Für die Höhe des Dreiecks folgt dann:

$h_{ACH} =\sqrt{17}$

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Die Länge der Basis $\overline{AC}$ ist:

$\left|\overrightarrow{AC} \right|=\sqrt{32}$

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Der Flächeninhalt des Dreiecks ergibt sich daher zu:

$A_{ACH}\approx 11,66$

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Der Flächeninhalt des Dreiecks $ACH$ beträgt ca. $11,66\,\text{FE}.$

b)

1)

$\blacktriangleright$ Parameterwert bestimmen

Ein Normalenvektor von $E_t$ ist $\overrightarrow{n_t}=\pmatrix{t\\t\\-4},$ einer der $x_1x_2$ -Ebene ist $\overrightarrow{n_3}= \pmatrix{0\\0\\1}.$
Einsetzen in die Formel für den Schnittwinkel zweier Ebenen liefert:

$\begin{array}[t]{rll} t_1&=& -2\sqrt{6}\\[5pt] &\approx& -4,90 \\[10pt] t_2&=& 2\sqrt{6}\\[5pt] &\approx& 4,90 \\[10pt] \end{array}$

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Für $t=\pm 2\sqrt{6}\approx \pm 4,90$ schließen $E_t$ und die $x_1x_2$ -Ebene einen Winkel der Größe $60^{\circ}$ ein.

$\,$

2)

$\blacktriangleright$ Vorgehen beschreiben

Der Abbildung lässt sich entnehmen, dass der Mittelpunkt der Strecke $\overline{EF}$ in der Ebene $E_t$ liegt. Die Koordinaten dieses Mittelpunkts können anhand der Koordinaten von $F$ ermittelt werden.
Anschließend kann man mit den Koordinaten des Mittelpunkts eine Punktprobe in der Ebenengleichung von $E_t$ durchführen und so aus der resultierenden Gleichung $t$ bestimmen.

$\,$

3)

$\blacktriangleright$ Volumen berechnen

Für $t=6$ liegt der Punkt $P_t$ außerhalb des Quaders. Bei dem beschriebenen Teilkörper handelt es sich daher um den Stumpf einer dreiseitigen Pyramide. Da Grund- und Deckfläche des Stumpfs in gegenüberliegenden Seiten des Quaders liegen, entspricht die Höhe $h$ dem Abstand der beiden Punkte $B$ und $F$ , also $h=3.$
Die Grundfläche des Pyramidenstumpfs ist das Dreieck $ABC,$ dessen Flächeninhalt bereits berechnet wurde:

$G = 8$

Die Deckfläche ist das rechtwinklige und gleichschenklige Dreieck mit den Mittelpunkten der beiden Seiten $\overline{EF}$ und $\overline{FG}$ und $F$ als Eckpunkte. Der Flächeninhalt kann daher wie folgt berechnet werden:

$\begin{array}[t]{rll} D&=& \frac{1}{2}\cdot 2\cdot 2 \\[5pt] &=& 2 \\[5pt] \end{array}$

Insgesamt ergibt sich das Volumen des Pyramidenstumpfs mit der entsprechenden Formel:

$V= 14$

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Das Volumen des Teilkörpers, der $B$ enthält, beträgt $14\,\text{VE}.$

$\,$

4)

$\blacktriangleright$ Parameterwerte angeben

Der Verlauf der Ebene wird durch den Punkt $P_t$ bestimmt. Dieser bewegt sich abhängig von $t$ entlang der Geraden $h.$ Es ist angegeben, dass die Punkte $A$ und $C$ in jeder der Ebenen $E_t$ liegen. Sie bilden in jedem Fall zwei Eckpunkte der Schnittfigur.
Liegt der Punkt $P_t$ innerhalb des Quaders, also auf der Strecke zwischen $B$ und $F,$ so handelt es sich bei der Schnittfigur um das Dreieck $ACP_t.$
Dies ist wegen der Koordinaten von $P_t(4\mid4\mid t)$ der Fall für $0\lt t \leq 3,$ da die Grundfläche des Quaders in der $x_1x_2$ -Ebene liegt.
Für $-3\leq t \lt 0$ liegt der dritte Schnittpunkt der Ebene auf der Würfelkante $\overline{DH}.$ In diesem Fall handelt es sich bei der Schnittfigur ebenfalls um ein Dreieck mit den Eckpunkten $A$ und $C$ und dem dritten Eckpunkt auf der Kante $\overline{DH}.$
Für $t=0$ liegt die gesamte Grundfläche des Quaders in der Ebene, wodurch die Schnittfigur ein Quadrat wäre. Dieser Wert muss also ausgeschlossen werden.
Insgesamt handelt es sich bei der Schnittfigur des Quaders und der Ebene $E_t$ um ein Dreieck für $-3 \leq t \lt 0$ und $0\lt t \leq 3.$

c)

1)

$\blacktriangleright$ Koordinaten berechnen

Die Strecke $\overline{EF}$ liegt aufgrund der Quadereigenschaften parallel zu $\overline{AB}.$ Zusammen mit den Koordinaten von $F$ ergeben sich für die Punkte $S_y$ auf der Strecke $\overline{EF}$ die Koordinaten $S_y(4\mid y\mid 3)$ mit $0\leq y\leq 4.$ Einsetzen in die Ebenengleichung von $E_t$ liefert:

$y = \frac{12}{t}$

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Die Koordinaten des Schnittpunkts von $\overline{EF}$ und $E_t$ lauten $Q_t(4\mid \frac{12}{t}\mid 3).$

$\,$

2)

$\blacktriangleright$ Koordinaten angeben

Analog zur letzten Teilaufgabe, können die Koordinaten der Punkte auf der Strecke $\overline{FG}$ als $(x\mid 4\mid 3)$ mit $0\leq x\leq 4$ angegeben werden.
Einsetzen in die Ebenengleichung liefert:

$x=\frac{12}{t}$

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Die Koordinaten lauten also $R_t(\frac{12}{t}\mid 4\mid 3).$

$\blacktriangleright$ Länge der Strecke berechnen

Mit dem Vektorbetrag des entsprechenden Verbindungsvektors folgt:

$\overline{Q_tR_t} = \sqrt{2}\cdot \left|4-\frac{12}{t} \right|$

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Die Länge der Strecke $\overline{Q_tR_t}$ beträgt $\sqrt{2}\cdot \left|4-\frac{12}{t} \right|\,\text{LE}.$

d)

$\blacktriangleright$ Aufgabenstellung formulieren

Im linken Teil der Äquivalenzumformung wird mithilfe der Hesseschen Normalenform von $E_t$ der Abstand von $B$ zu $E_t$ mit $2$ gleichgesetzt. Die dabei entstandene Gleichung wird nach $t$ aufgelöst und liefert zwei Lösungen. Eine mögliche Aufgabenstellung wäre:

Berechne diejenigen Werte von $t,$ für die der Punkt $B$ zur Ebene $E_t$ einen Abstand von $2$ Längeneinheiten hat.