Analysis 2

Auf einer Autobahn entsteht morgens an einer Baustelle häufig ein Stau, der sich dann wieder vollständig auflöst.

An einem bestimmten Tag entsteht der Stau um 06:00 Uhr und löst sich bis 10:00 Uhr vollständig auf. Für diesen Stau kann mithilfe der in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $f$ mit

$f(x)$ $= x \cdot(8-5 x)$ $\cdot\left(1-\dfrac{x}{4}\right)^2$ $=-\dfrac{5}{16} x^4$ $+3 x^3$ $-9 x^2+8 x$

für $0\leq x\leq 4$ beschrieben werden, wie stark die Staulänge zunimmt bzw. abnimmt. Dabei gibt $x$ die nach 06:00 Uhr vergangene Zeit in Stunden und $f(x)$ die momentane Änderungsrate der Staulänge in Kilometer pro Stunde an. Die Abbildung 1 zeigt den Graphen von $f.$

Abbildung 1

a1)

Nenne die Zeitpunkte, zu denen die momentane Änderungsrate der Staulänge den Wert null hat.

(3 P)

a2)

Es gilt $f(2)\lt 0.$ Gib die Bedeutung dieser Tatsache im Sachzusammenhang an.

(1 P)

a3)

Bestimme rechnerisch den Zeitpunkt, zu dem die Staulänge am stärksten zunimmt.

(5 P)

a4)

Gib den Zeitpunkt an, zu dem der Stau am längsten ist. Begründe deine Angabe.

(2 P)

a5)

Begründe, dass die folgende Aussage richtig ist:

Die Staulänge kann für jeden Zeitpunkt von 06:00 Uhr bis 10:00 Uhr durch die Funktion $s$ mit $s(x)= -\dfrac{1}{16} x^5 +\dfrac{3}{4} x^4 -3 x^3+4 x^2$ angegeben werden.

(2 P)

a6)

Berechne die Zunahme der Staulänge von 06:30 Uhr bis 08:00 Uhr und bestimme für diesen Zeitraum die durchschnittliche Änderungsrate der Staulänge.

(3 P)

Für einen anderen Tag wird die momentane Änderungsrate der Staulänge für den Zeitraum von 06:00 Uhr bis 10:00 Uhr durch den in der Abbildung 2 gezeigten Graphen dargestellt. Dabei gibt $x$ wieder die nach 06:00 Uhr vergangene Zeit in Stunden und $y$ die momentane Änderungsrate der Staulänge in Kilometer pro Stunde an.

Abbildung 2

b1)

Der Stau entsteht erneut um 6:00 Uhr, löst sich aber bis 10:00 Uhr nicht vollständig auf.
Begründe anhand von Abbildung 2, dass es einen Zeitpunkt gibt, an dem die Staulänge größer als 2 Kilometer ist.

(3 P)

b2)

Um 07:30 Uhr hat der Stau eine bestimmte Länge. Es gibt einen anderen Zeitpunkt, zu dem der Stau die gleiche Länge hat.
Markiere diesen Zeitpunkt in der Abbildung 2, begründe deine Markierung und veranschauliche deine Begründung in der Abbildung 2.

(3 P)

Betrachtet wird die Schar der in $\mathbb{R}$ definierten Funktionen $h_k$ mit

$h_k(x)=(x-3)^k+1$ und $k \in \mathbb{N}\setminus\{0\}.$

c1)

Skizziere die Graphen von $h_1$ und $h_2$ in einem gemeinsamen Koordinatensystem.

(3 P)

c2)

Gib das Verhalten von $h_k$ für $x \rightarrow-\infty$ für gerade Werte und für ungerade Werte von $k$ an.

(2 P)

c3)

Es gibt genau zwei Punkte, die alle Graphen der Schar gemeinsam haben.
Ermittle die Koordinaten dieser beiden Punkte.

(3 P)

c4)

Untersuche, für welche Werte von $k$ die Funktion $h_k$ Nullstellen besitzt, und bestimme diese Nullstellen.

(4 P)

c5)

Die erste Ableitungsfunktion von $h_k$ wird mit $\(h_k$ bezeichnet. Die Graphen von $h_k$ und $\(h_k$ werden in der Abbildung 3 für $k=4$ beispielhaft für gerade Werte von $k$ gezeigt.
Für jeden geraden Wert von $k$ mit $k \geq 4$ werden die Punkte

$P\left(4 \mid h_k(4)\right),$ $Q\left(4 \mid h_k^{\prime}(4)\right),$ $R\left(2 \mid h_k(2)\right)$ und $S\left(2 \mid h_k^{\prime}(2)\right)$

betrachtet. Diese Punkte sind jeweils Eckpunkte eines Vierecks.
Begründe, dass jedes dieser Vierecke ein Trapez ist.
Beweise, dass jedes dieser Trapeze den Flächeninhalt $2k$ besitzt.

Abbildung 3

(6 P)

Weiter lernen mit SchulLV-PLUS!

monatlich kündbarSchulLV-PLUS-Vorteile im ÜberblickDu hast bereits einen Account?

a1)

Aus $f(x)=0$ folgt mit dem Satz vom Nullprodukt:

$x_1=0,$ $x_2=1,6$ und $x_3=4$

Dies entspricht den Zeitpunkten 06:00 Uhr, 07:36 Uhr und 10:00 Uhr.

a2)

Um 08:00 Uhr nimmt die Staulänge ab.

a3)

1. Schritt: Ableitung bilden

$f(x)= x \cdot(8-5 x) \cdot\left(1-\dfrac{x}{4}\right)^2$ $= \left(8x-5 x^2\right) \cdot\left(1-\dfrac{x}{4}\right)^2$

Mit der Produktregel folgt:

Rechenweg anzeigen

$\( f$

2. Schritt: Notwendige Bedingung für Extremstellen anwenden

$\(\begin{array}[t]{rll} f$

Nach dem Satz vom Nullprodukt muss $1-\frac{x}{4} = 0$ oder $5x^2- 16x + 8 = 0$ sein.

Aus $1-\frac{x}{4} = 0$ folgt $x_1=4.$ Weiterhin folgt mit der $pq$ -Formel:

Rechenweg anzeigen

$\begin{array}[t]{rll} 5x^2- 16x + 8 &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; :5\\[5pt] & ... & \\[5pt] x_2 &=& \frac{8-\sqrt{24}}{5} \approx 0,62 \\[5pt] x_3 &=& \frac{8+\sqrt{24}}{5} \approx 2,58 \end{array}$

In Verbindung mit der Abbildung 1 ergibt sich, dass $f$ bei $x_2\approx 0,62$ sein Maximum annimmt. Damit nimmt die Staulänge etwa 0,62 Stunden nach 06:00 Uhr am stärksten zu.

a4)

Der Stau ist um 07:36 Uhr am längsten.

Die Länge des Staus nimmt genau dann zu, wenn $f(x) \gt 0.$
Dies ist zwischen der ersten und zweiten Nullstelle der Fall. Bis 07:36 Uhr nimmt die Staulänge daher zu und ab 07:36 Uhr bis 10:00 Uhr nimmt sie dann wieder ab.

a5)

Die Funktion $f$ modelliert die Änderungsrate der Staulänge im Zeitraum von 06:00 Uhr bis 10:00 Uhr. Die Staulänge wird also durch die Stammfunktion von $f$ beschrieben, die für $x=0$ den Wert null annimmt.

$\(\begin{array}[t]{rll} s$

Zudem gilt:

$s(0)$ $=-\dfrac{1}{16} \cdot 0^5 +\dfrac{3}{4} \cdot 0^4 -3 \cdot 0^3+4 \cdot 0^2$ $= 0$

Somit kann die Staulänge zu jedem Zeitpunkt von 06:00 Uhr bis 10:00 Uhr durch die Funktion $s$ angegeben werden.

a6)

Zunahme der Staulänge berechnen

$s(2)-s(0,5)\approx 2\;[\text{km}] - 0,7\;[\text{km}]$ $= 1,3 \;[\text{km}]$

Die Länge des Staus hat zwischen 06:30 Uhr und 08:00 Uhr damit um ca. $1,3\;[\text{km}]$ zugenommen.

Durchschnittliche Änderungsrate bestimmen

$\dfrac{s(2)-s(0,5)}{2-0,5} \approx\frac{1,3\;\text{km}}{1,5\;\text{h}} \approx 0,9\frac{\text{km}}{\text{h}}.$

b1)

Der Inhalt der Fläche, die der Graph mit der $x$ -Achse im Bereich $0\leq x \leq 2,2$ einschließt, entspricht der Länge in Kilometer, um die der Stau in den ersten $2,2$ Stunden wächst.

Der Abbildung lässt sich durch Zählen der Kästchen entnehmen, dass diese Fläche größer als $2\,\text{FE}$ ist. Der Stau nimmt in den ersten 2,2 Stunden also um mehr als $2\,\text{km}$ zu und ist somit zu einem Zeitpunkt größer als $2\,\text{km}.$

b2)

Die Länge des Staus wird durch den Inhalt der Fläche, die der Graph im Intervall $[0;b]$ mit der $x$ -Achse einschließt, beschrieben. Ist der Flächeninhalt der Flächen, die der Graph mit der $x$ -Achse für $1,5\leq x\leq a$ oberhalb der $x$ -Achse und $a\leq x \leq b$ unterhalb der $x$ -Achse einschließt, gleich groß, so entspricht $b$ dem gesuchten Zeitpunkt.

c1)

Graphenschar - Schleswig-Holstein Abi 2023

c2)

Für alle Werte von $k$ ist der Term von $h_k$ jeweils ein Polynom, wobei $x^k$ der Summand mit dem größten Exponenten ist. Somit gilt $\lim\limits_{x\to-\infty} h_k(x)=-\infty$ wenn $k$ ungerade ist und $\lim\limits_{x\to-\infty} h_k(x)=\infty$ wenn $k$ gerade ist.

c3)

Damit ein Punkt auf allen Graphen der Schar liegt, muss Einsetzen des $x$ -Wertes in die Funktionsgleichung von $h_k(x)$ unabhängig von dem Wert von $k$ denselben $y$ -Wert ergeben. Insbesondere muss damit der Wert von $(x-3)^k$ für alle $k$ derselbe sein. Da $0^k=0$ und $1^k=1$ für alle $k$ gilt, und die Graphen der Schar laut Aufgabenstellung genau zwei Punkte gemeinsam haben, folgt für deren $x$ -Werte:

$\begin{array}[t]{rll} x-3&=&0 &\quad \scriptsize \mid\;+3 \\[5pt] x&=&3 \end{array}$

$\begin{array}[t]{rll} x-3&=&1 &\quad \scriptsize \mid\;+3 \\[5pt] x&=&4 \end{array}$

Einsetzen der $x$ -Werte in die Funktionsgleichung der Schar liefert $h_k(3)$ $= 0^k+1$ $= 1$ und $h_k(4)$ $= 1^k+1$ $= 2,$ sodass die beiden gemeinsamen Punkte die Koordinaten $P_1(3\mid 1)$ und $P_2(4\mid 2)$ besitzen.

c4)

$\begin{array}[t]{rll} h_k(x) &=& 0 \\[5pt] (x-3)^k +1 &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; -1 \\[5pt] (x-3)^k &=& -1 \end{array}$

Die Gleichung kann nur für ungerade Werte von $k$ erfüllt werden. Dann muss zudem $x-3 =-1$ gelten, also $x=2.$

Die Funktion $h_k$ besitzt nur für ungerade $k$ eine Nullstelle, undzwar $x=2.$

Für ungerade $k$ besitzt $h_k$ keine Nullstellen.

c5)

Trapezform begründen

Die Punkte $P$ und $Q,$ sowie die Punkte $R$ und $S$ haben jeweils übereinstimmende $x$ -Koordinaten. Damit sind die Seiten $\overline{PQ}$ und $\overline{RS}$ parallel.

Flächeninhalt beweisen

Die Höhe der Trapeze beträgt in jedem Fall $h=4-2 = 2.$

Bei geradem $k$ folgt für die Flächeninhalte der Trapeze damit:

Rechenweg anzeigen

$\begin{array}[t]{rll} A_{k}&=& 2\cdot\dfrac{\vert\overline{PQ}\vert+\vert\overline{RS}\vert}{2} \\[5pt] & ... & \\[5pt] &=& 2k \;[\text{FE}] \\[10pt] \end{array}$

Weiter lernen mit SchulLV-PLUS!

monatlich kündbarSchulLV-PLUS-Vorteile im ÜberblickDu hast bereits einen Account?