Analysis 1

Gegeben ist die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f$ mit $f(x)=x \cdot \mathrm{e}^{-\frac{1}{2} x^{2}+\frac{1}{2}}.$

Der Graph von $f$ ist symmetrisch bezüglich des Koordinatenursprungs.

Die folgende Abbildung zeigt diesen Graphen ohne das zugrunde liegende Koordinatensystem.

Funktionsgraph - Schleswig-Holstein Abi 2022 (Analysis)

a1)

Berechne den Funktionswert $f(1)$ sowie die mittlere Steigung des Graphen von $f$ über dem Intervall $[0 ; 1].$

(3 P)

a2)

Prüfe, ob der Punkt $(0,5 \mid 0,5)$ auf dem Graphen von $f$ liegt.

(2 P)

a3)

Begründe, dass $f$ genau eine Nullstelle hat, und gib den Grenzwert von $f$ für $x \rightarrow+\infty$ an.

(2 P)

a4)

Zeige, dass $f^{\prime}(x)=\left(1-x^{2}\right) \cdot \mathrm{e}^{-\frac{1}{2} x^{2}+\frac{1}{2}}$ ein Term der ersten Ableitungsfunktion $f^{\prime}$ von $f$ ist.

(3 P)

a5)

Untersuche rechnerisch das Monotonieverhalten von $f.$

(4 P)

a6)

Ergänze in der obigen Abbildung die Koordinatenachsen und skaliere diese passend.

(2 P)

Interpretiere den folgenden Sachverhalt geometrisch:

Für jede Stammfunktion $F$ von $f$ und für jede reelle Zahl $w \gt 2022$ gilt

$F(w)-F(0) \approx \displaystyle\int_{0}^{2022} f(x)\, \mathrm{d} x.$

(3 P)

Betrachtet wird nun die Schar der in $\mathbb{R}$ definierten Funktionen $f_{a}$ mit $f_{a}(x)=x \cdot \mathrm e^{-\frac{1}{2} a \cdot x^{2}+\frac{1}{2}}$ und $a \in \mathbb{R}.$

c1)

Zeige, dass genau ein Graph der Schar den Punkt $(1 \mid 1)$ enthält, und gib den zugehörigen Wert von $a$ an.

(3 P)

c2)

Der Graph der Funktion $f_{0}$ ist eine Gerade. Gib die Steigung dieser Gerade und die Koordinaten ihres Schnittpunkts mit der $y$ -Achse an.

(2 P)

c3)

Die folgenden Aussagen gelten für alle reellen Zahlen $a, a_{1}$ und $a_{2}:$

$f_{a}(0)=0$

$f_{a}^{\prime}(0)=f_{0}^{\prime}(0)$

$f_{a_{1}}(x)=f_{a_{2}}(x) \Leftrightarrow a_{1}=a_{2} \vee x=0$

Gib an, was sich aus diesen Aussagen hinsichtlich des Verlaufs der Graphen der Schar folgern lässt.

(3 P)

Die Graphen der Schar lassen sich in die beiden folgenden Gruppen I und II einteilen:

$\text{I}\quad$ Der Graph hat genau zwei Extrempunkte.

$\text{II}\quad$ Der Graph hat keine Extrempunkte.

Die Abbildung 1 zeigt einen Graphen der Gruppe $\text{I},$ die Abbildung 2 einen Graphen der Gruppe $\text{II}.$

Abbildung 1

Abbildung 2

Die Extremstellen von $f_{a}$ sind genau die Lösungen der Gleichung $a \cdot x^{2}=1.$

d1)

Gib zu den beiden Gruppen $\text{I}$ und $\text{II}$ jeweils alle zugehörigen Werte von $a$ an und begründe deine Angabe.

(3 P)

d2)

Zeige, dass alle Extrempunkte der Graphen der Schar auf der Gerade mit der Gleichung $y=x$ liegen.

(4 P)

d3)

Für jeden positiven Wert von $a$ bilden der Hochpunkt $\left(v \mid f_{a}(v)\right)$ des Graphen von $f_{a}$ , der Punkt $\left(0 \;\bigg \vert\; \frac{2}{v}\right),$ der Koordinatenursprung und der Punkt $(v \mid 0)$ die Eckpunkte eines Vierecks.

Bestimme ausgehend von einer geeigneten Skizze denjenigen Wert von $a,$ für den das Viereck den Flächeninhalt $49$ hat.

(6 P)

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a1)

$f(1)= 1\cdot \mathrm e^{-\frac{1}{2}\cdot 1^2+\frac{1}{2}} = 1$

Für die mittlere Steigung ergibt sich:

$\frac{f(1)-f(0)}{1-0}=\frac{1-0\cdot \mathrm e^{-\frac{1}{2}\cdot 0^2+\frac{1}{2}}}{1-0}=1$

a2)

$f(0,5) = 0,5\cdot \mathrm e^{-\frac{1}{2}\cdot 0,5^2+\frac{1}{2}} \approx 0,73 \neq 0,5$

Da $f(0,5) \neq 0,5$ ist, liegt der Punkt $(0,5\mid 0,5)$ nicht auf dem Graphen von $f.$

a3)

Es gilt:

$\mathrm{e}^{-\frac{1}{2} x^{2}+\frac{1}{2}}>0$ für alle $x \in \mathbb{R}$

Mit dem Satz vom Nullprodukt folgt, dass $f(x)=0$ genau dann erfüllt ist, wenn $x=0$ ist. Daher existiert genau eine Nullstelle.

Für $x\to +\infty$ gilt $-\frac{1}{2}x^2 +\frac{1}{2}\to -\infty.$

Also folgt: Für $x\to +\infty$ gilt $\mathrm e^{-\frac{1}{2}x^2 +\frac{1}{2}} \to 0.$

Insgesamt gilt daher:

$\lim\limits_{x\to+\infty} f(x) = 0$

a4)

Anwenden der Produktregel:

$\begin{aligned} & f^{\prime}(x) \\[5pt] &=1\cdot \mathrm{e}^{-\frac{1}{2} x^{2}+\frac{1}{2}}+x \cdot\left(-\frac{1}{2} \cdot 2 x\right) \cdot \mathrm{e}^{-\frac{1}{2} x^{2}+\frac{1}{2}} \\[5pt] &=\mathrm{e}^{-\frac{1}{2} x^{2}+\frac{1}{2}}-x^{2} \cdot \mathrm{e}^{-\frac{1}{2} x^{2}+\frac{1}{2}} \\[5pt] &=\left(1-x^{2}\right) \cdot \mathrm{e}^{-\frac{1}{2} x^{2}+\frac{1}{2}} \end{aligned}$

a5)

Die Stellen, an denen sich das Monotonieverhalten von $f$ ändern kann, sind die Nullstellen von $\(f$

Es gilt $\mathrm{e}^{-\frac{1}{2} x^{2}+\frac{1}{2}}\gt 0.$ Für die Nullstellen von $\(f$ folgt:

$\(\begin{array}[t]{rll} f$

Es gilt Folgendes:

Für $x\lt -1$ gilt $\(f$ Hier ist $f$ also streng monoton fallend.
Für $-1 \lt x\lt 1$ gilt $\(f$ Hier ist $f$ also streng monoton steigend.
Für $x\gt 1$ gilt $\(f$ Hier ist $f$ also streng monoton fallend.

a6)

Mit Hilfe des Grenzwerts aus a3) lässt sich die $x$ -Achse als Asymptote einzeichnen.
Aus dem Monotonieverhalten von $f$ folgt, dass die Extrempunkte des Graphen bei $x=-1$ und $x=1$ liegen. Die $y$ -Achse muss also in der Mitte der beiden Extrempunkte eingezeichnet werden.
Außerdem gilt $f(1)=1.$ Damit lässt sich die Skalierung der Achsen eintragen.

Koordinatenachten - Schleswig-Holstein Abi 2022 (Analysis 1)

Für jede reelle Zahl $w \gt 2022$ stimmt der Inhalt des Flächenstückes zwischen dem Graphen von $f$ und der $x$ -Achse über dem Intervall $[0 ; w]$ ungefähr mit dem Inhalt des Flächenstückes überein, das zwischen dem Graphen von $f$ und der $x$ -Achse über dem Intervall $[0 ; 2022]$ liegt.

c1)

Einsetzen in die Funktionsgleichung:

$\begin{array}[t]{rll} f_a(1) &=& 1 \\[5pt] 1 \cdot \mathrm e^{-\frac{1}{2} a \cdot 1^{2}+\frac{1}{2}} &=& 1 \\[5pt] \mathrm e^{-\frac{1}{2} a +\frac{1}{2}}&=& 1 &\quad \scriptsize \mid\; \ln\\[5pt] -\frac{1}{2} a +\frac{1}{2} &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\;-\frac{1}{2} \\[5pt] -\frac{1}{2} a &=& -\frac{1}{2} &\quad \scriptsize \mid\;\cdot (-2) \\[5pt] a &=& 1 \end{array}$

Die Gleichung $f_a(1)=1$ hat genau eine Lösung. Daher enthält genau ein Graph der Schar den Punkt $(1\mid 1).$ Dies ist der Graph zu $f_a$ mit $a=1.$

c2)

$f_0(x) = x\cdot \mathrm e^{-\frac{1}{2} \cdot 0 \cdot x^{2}+\frac{1}{2}} = x\cdot \mathrm e^{\frac{1}{2}}.$

Die Steigung der Gerade ist $\mathrm e^{\frac{1}{2}}.$ Die Gerade schneidet die $y$ -Achse im Punkt $(0\mid 0).$

c3)

Alle Graphen der Schar verlaufen durch den Koordinatenursprung.
An der Stelle $x=0$ besitzen alle Graphen der Schar dieselbe Steigung.
Je zwei verschiedene Graphen der Schar schneiden sich nur an der Stelle $x=0.$

d1)

Die Extremstellen von $f_a$ sind laut Aufgabenstellung die Lösungen der Gleichung $a\cdot x^2 = 1.$

Um die Gleichung zu lösen, müsste durch $a$ geteilt werden. Für $a=0$ ist dies nicht möglich, wodurch die Gleichung dann keine Lösung hat.
Für $a\lt 0$ besitzt die Gleichung ebenfalls keine Lösung, da $x^2$ dann negativ sein müsste, was nicht möglich ist.
Für alle positiven Werte von $a$ hat die Gleichung genau zwei Lösungen. Insgesamt ergibt sich daraus:

Zu den Graphen $\text{I}$ gehören alle Graphen von $f_a$ mit $a\gt 0.$

Zu den Graphen $\text{II}$ gehören alle Graphen von $f_a$ mit $a\leq 0.$

d2)

Für die Extremstellen von $f_a$ gilt $a\cdot x^2=1.$ Daraus folgt bereits $x\neq 0.$ Die Gleichung kann daher wie folgt nach $a$ umgeformt werden:

$a= \frac{1}{x^2}$

Einsetzen in die Funktionsgleichung von $f_a$ liefert:

$y= f_{\frac{1}{x^2}}(x) = x \cdot \mathrm e^{-\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^2} \cdot x^{2}+\frac{1}{2}}$ $= x \cdot \mathrm e^{-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}} = x\cdot 1 = x$

Daher liegen alle Extrempunkte der Graphen von $f_a$ auf der Geraden mit der Gleichung $y=x.$

d3)

Skizze Trapez - Schleswig-Holstein Abi 2022 (Analysis 1)

Das Viereck hat also die Form eines Trapezes, bei dem die beiden zueinander parallelen Seiten die Längen $f_a(v)$ und $\frac{2}{v}$ haben und die Höhe $v$ beträgt.

Da $v$ eine Extremstelle von $f_a$ ist, gilt wegen d2) $f_a(v) = v.$

Mit der Formel für den Flächeninhalt eines Trapezes gilt:

$\begin{array}[t]{rll} A_T &=& \dfrac{\frac{2}{v} + f_a(v)}{2}\cdot v \\[5pt] &=& \dfrac{\frac{2}{v} + v}{2}\cdot v \\[5pt] &=&\frac{1}{2}\cdot \frac{2}{v}\cdot v+\frac{1}{2}\cdot v\cdot v \\[5pt] &=& 1+ \frac{1}{2}v^2 \end{array}$

Gleichsetzen mit $49$ liefert:

$\begin{array}[t]{rll} A_T &=& 49 \\[5pt] 1+ \frac{1}{2}v^2 &=& 49 &\quad \scriptsize \mid\; -1 \\[5pt] \frac{1}{2}v^2 &=& 48 &\quad \scriptsize \mid\;\cdot 2 \\[5pt] v^2 &=& 96 \end{array}$

Da $v$ eine Extremstelle von $f_a$ ist gilt ebenso $a\cdot v^2 = 1.$ Einsetzen von $v^2= 96$ ergibt:

$\begin{array}[t]{rll} a\cdot v^2 &=& 1 &\quad \scriptsize \mid\; v^2 =96 \\[5pt] a\cdot 96 &=& 1 &\quad \scriptsize \mid\;:96 \\[5pt] a&=& \frac{1}{96} \end{array}$

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