Stochastik

Vorbemerkung: Führe stets geeignete Zufallsgrößen und Namen für Ereignisse ein. Mache auch Angaben über die Verteilung der jeweiligen Zufallsgrößen.

Um die Wirksamkeit eines neuen Medikaments zu überprüfen, wurde in einer sehr umfangreichen, repräsentativen Studie ausschließlich an erkrankten Patienten die Reaktion auf das Medikament untersucht. Hierbei wurde einem Teil der Patienten das echte Medikament verabreicht, der andere Teil erhielt ein Placebo, also ein wirkungsloses Präparat.
$64\,\%$ der Patienten wurden mit dem echten Medikament behandelt. $12\,\%$ der Patienten wurden mit dem Placebo behandelt und geheilt. $68\,\%$ aller Patienten, die an der Studie teilgenommen haben, konnten geheilt werden.

Erstelle eine zu diesen Angaben passende Vierfeldertafel.
Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig auszuwählender geheilter Patient lediglich mit Placebos behandelt wurde.
Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass mehr als die Hälfte von fünf zufällig auszuwählenden Patienten geheilt wurden.
Gib die Bedeutung des folgenden Terms im Sachzusammenhang an.

$1-\sum\limits_{k=8}^{10}\pmatrix{10\\k}\cdot0,68^k\cdot0,32^{10-k}$

$1-\left(\pmatrix{10\\8}\cdot0,68^8\cdot0,32^2+\pmatrix{10\\9}\cdot0,68^9\cdot0,32^1+\pmatrix{10\\10}\cdot0,68^{10}\cdot0,32^0\right)$

(12P)

Aufgrund der Studie beschließt der kriminelle Internet-Medikamenten-Anbieter Harry Laim seine Lieferungen dieses Medikaments zu manipulieren, indem er Pakete, die jeweils $40$ Ampullen enthalten, mit je $32$ Ampullen des echten Medikaments und $8$ Placebo-Ampullen bestückt.

Ein Arzt hat ein solches Paket bei Harry Laim bestellt, um seine Patienten zu behandeln. Für die Behandlung seines ersten Patienten werden $5$ Ampullen benötigt. Zeige, dass die Wahrscheinlichkeit dafür, dem Paket zufällig $5$ Ampullen des echten Medikaments zu entnehmen, größer als $30\,\%$ ist.

Nach dem großen Erfolg seiner Internet-Betrügereien mit dem Verkauf an Ärzte beschließt Harry Laim, sein Geschäft auf die Belieferung von Kliniken auszuweiten. Eine Klinik bestellt eine Klinikpackung mit $10.000$ Ampullen. Harry Laim bestückt diese mit $8.000$ Ampullen des echten Medikaments und $2.000$ Placebo-Ampullen. Eine Krankenschwester entnimmt einer solchen, noch vollständigen Klinikpackung $150$ Ampullen. Verwende im Folgenden die Binomialverteilung.

Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Krankenschwester mindestens $25$ , aber höchstens $40$ Placebo-Ampullen entnimmt.
Berechne die Anzahl der Ampullen, die sie aus einer noch vollständigen Klinikpackung mindestens entnehmen muss, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mehr als $97,5\,\%$ mindestens eine Placebo-Ampulle zu erhalten.

(14P)

Harry Laim versendet auch Pakete an Besteller aus Nicht-EU-Ländern. Der Anteil der Placebo-Ampullen in diesen Nicht-EU-Paketen beträgt sogar $30\%$ . Für Besteller aus der EU bleibt er sicherheitshalber bei Paketen mit $20\,\%$ Placebo-Ampullen (EU-Pakete). Vor dem Versand eines Pakets, das in die EU versendet werden soll, stellt Harry Laim fest, dass es nicht gekennzeichnet ist. Er möchte vermeiden, dass er ein Nicht-EU-Paket in ein EU-Land versendet.

Entwickle ein Testverfahren, mit dem Harry Laim durch Entnahme und Prüfung von $100$ der $10.000$ Ampullen auf einem Signifikanzniveau von $1,5\,\%$ die Vermutung stützen kann, dass es sich um ein EU-Paket handelt.
Bestimme für den oben konzipierten Test die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 2. Art.

(10P)

Gegeben sind ein Zufallsexperiment und die Ereignisse $A$ und $B$ .
Es gilt $P(B)=0,32$ , $P_A(B)=0,4$ und $P_\overline{A}\overline{B}=0,7$ .
Berechne $P(A)$ .

(4P)

Tabelle zur Normalverteilung

2
3	z	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
4	0,0	0,5000	0,5040	0,5080	0,5120	0,5160	0,5199	0,5239	0,5279	0,5319	0,5359
5	0,1	0,5398	0,5438	0,5478	0,5517	0,5557	0,5596	0,5636	0,5675	0,5714	0,5753
6	0,2	0,5793	0,5832	0,5871	0,5910	0,5948	0,5987	0,6026	0,6064	0,6103	0,6141
7	0,3	0,6179	0,6217	0,6255	0,6293	0,6331	0,6368	0,6406	0,6443	0,6480	0,6517
8	0,4	0,6554	0,6591	0,6628	0,6664	0,6700	0,6736	0,6772	0,6808	0,6844	0,6879
9	0,5	0,6915	0,6950	0,6985	0,7019	0,7054	0,7088	0,7123	0,7157	0,7190	0,7224
10	0,6	0,7257	0,7291	0,7324	0,7357	0,7389	0,7422	0,7454	0,7486	0,7517	0,7549
11	0,7	0,7580	0,7611	0,7642	0,7673	0,7704	0,7734	0,7764	0,7794	0,7823	0,7852
12	0,8	0,7881	0,7910	0,7939	0,7967	0,7995	0,8023	0,8051	0,8078	0,8106	0,8133
13	0,9	0,8159	0,8186	0,8212	0,8238	0,8264	0,8289	0,8315	0,8340	0,8365	0,8389
14	1,0	0,8413	0,8438	0,8461	0,8485	0,8508	0,8531	0,8554	0,8577	0,8599	0,8621
15	1,1	0,8643	0,8665	0,8686	0,8708	0,8729	0,8749	0,8770	0,8790	0,8810	0,8830
16	1,2	0,8849	0,8869	0,8888	0,8907	0,8925	0,8944	0,8962	0,8980	0,8997	0,9015
17	1,3	0,9032	0,9049	0,9066	0,9082	0,9099	0,9115	0,9131	0,9147	0,9162	0,9177
18	1,4	0,9192	0,9207	0,9222	0,9236	0,9251	0,9265	0,9279	0,9292	0,9306	0,9319
19	1,5	0,9332	0,9345	0,9357	0,9370	0,9382	0,9394	0,9406	0,9418	0,9429	0,9441
20	1,6	0,9452	0,9463	0,9474	0,9484	0,9495	0,9505	0,9515	0,9525	0,9535	0,9545
21	1,7	0,9554	0,9564	0,9573	0,9582	0,9591	0,9599	0,9608	0,9616	0,9625	0,9633
22	1,8	0,9641	0,9649	0,9656	0,9664	0,9671	0,9678	0,9686	0,9693	0,9699	0,9706
23	1,9	0,9713	0,9719	0,9726	0,9732	0,9738	0,9744	0,9750	0,9756	0,9761	0,9767
24	2,0	0,9772	0,9778	0,9783	0,9788	0,9793	0,9798	0,9803	0,9808	0,9812	0,9817
25	2,1	0,9821	0,9826	0,9830	0,9834	0,9838	0,9842	0,9846	0,9850	0,9854	0,9857
26	2,2	0,9861	0,9864	0,9868	0,9871	0,9875	0,9878	0,9881	0,9884	0,9887	0,9890
27	2,3	0,9893	0,9896	0,9898	0,9901	0,9904	0,9906	0,9909	0,9911	0,9913	0,9916
28	2,4	0,9918	0,9920	0,9922	0,9925	0,9927	0,9929	0,9931	0,9932	0,9934	0,9936
29	2,5	0,9938	0,9940	0,9941	0,9943	0,9945	0,9946	0,9948	0,9949	0,9951	0,9952
30	2,6	0,9953	0,9955	0,9956	0,9957	0,9959	0,9960	0,9961	0,9962	0,9963	0,9964
31	2,7	0,9965	0,9966	0,9967	0,9968	0,9969	0,9970	0,9971	0,9972	0,9973	0,9974
32	2,8	0,9974	0,9975	0,9976	0,9977	0,9977	0,9978	0,9979	0,9979	0,9980	0,9981
33	2,9	0,9981	0,9982	0,9982	0,9983	0,9984	0,9984	0,9985	0,9985	0,9986	0,9986
34	3,0	0,9987	0,9987	0,9987	0,9988	0,9988	0,9989	0,9989	0,9989	0,9990	0,9990
35	3,1	0,9990	0,9991	0,9991	0,9991	0,9992	0,9992	0,9992	0,9992	0,9993	0,9993
36	3,2	0,9993	0,9993	0,9994	0,9994	0,9994	0,9994	0,9994	0,9995	0,9995	0,9995
37	3,3	0,9995	0,9995	0,9995	0,9996	0,9996	0,9996	0,9996	0,9996	0,9996	0,9997
38	3,4	0,9997	0,9997	0,9997	0,9997	0,9997	0,9997	0,9997	0,9997	0,9997	0,9998
39	3,5	0,9998	0,9998	0,9998	0,9998	0,9998	0,9998	0,9998	0,9998	0,9998	0,9998
40	3,6	0,9998	0,9998	0,9999	0,9999	0,9999	0,9999	0,9999	0,9999	0,9999	0,9999
41	3,7	0,9999	0,9999	0,9999	0,9999	0,9999	0,9999	0,9999	0,9999	0,9999	0,9999
42	3,8	0,9999	0,9999	0,9999	0,9999	0,9999	0,9999	0,9999	0,9999	0,9999	0,9999

$\blacktriangleright$ Vierfeldertafel erstellen

Du sollst eine Vierfeldertafel zur Medikamentenstudie erstellen. Hierzu betrachtest du die Ereignisse:

$A$ : Patient wird mit Medikament behandelt
$B$ : Patient wird geheilt

Die aus der Aufgabe bekannten Wahrscheinlichkeiten sind grün markiert. Die übrigen Wahrscheinlichkeiten kannst du berechnen, da die Summe der zweiten und dritten Spalte/Zeile jeweils die Vierte ergeben müssen.

	Geheilt	Nicht geheilt	Summe
Medikament	$56\%$	$8\%$	$64\%$
Placebo	$12\%$	$24\%$	$36\%$
Summe	$68\%$	$32\%$	$100\%$

$\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeit für einen mit dem Placebo geheilten Patienten bestimmen

Du suchst die Wahrscheinlichkeit, dass ein Patient mit dem Placebo behandelt worden ist unter der Bedingung, dass es sich um einen zufällig ausgewählten geheilten Patienten handelt. Verwende folgende Bezeichnungen:

$G:$ Ein betrachteter Patient wurde geheilt.
$P:$ Ein betrachteter Patient hat das Placebo bekommen.

Gesucht ist dann die bedingte Wahrscheinlichkeit $P(P\mid G).$ Dazu kannst du folgende Formel verwenden:

$P(A\vert B)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(B)}$

Die Wahrscheinlichkeiten des Schnittes $P(P\cap G)=12\%$ und von $P(G)=68\%$ kannst du der Vierfeldertafel entnehmen. Somit erhälst du:

$\begin{array}[t]{rll} P(P\mid G)&=&\dfrac{P(P\cap G)}{P(G)} \\[5pt] &=& \dfrac{0,12}{0,68} \approx 17,65\% \end{array}$

Ein zufällig ausgewählter geheilter Patient wurde mit $17,65\%$ Wahrscheinlichkeit lediglich mit dem Placebo behandelt.

$\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeit berechnen

Du sollst die Wahrscheinlichkeit dafür bestimmen, dass über die Hälfte von fünf zufällig ausgewählten Patienten geheilt wurde. Dadurch, dass es sich um eine „repräsentative“ Studie handelt, kannst du davon ausgehen, dass sehr viele Personen untersucht wurden und somit die Wahrscheinlichkeiten konstant bleiben. Die Wahrscheinlichkeit für einen geheilten Patienten beträgt $P(B)=68\%$ . Betrachtest du nun die binomialverteilte Zufallsvariable $X$ , welche die Anzahl der geheilte Personen angibt, kannst du diese Aufgabe unter Verwendung der Bernoulli-Formel lösen. Die Bernoulli-Formel für $k$ geheilte aus $n$ untersuchten Personen bei einer Wahrscheinlichkeit $p$ für eine geheilte Person ist:

$B_{n,p}(X=k)=\binom{n}{k}\cdot p^k\cdot (1-p)^{n-k}$

Mehr als die Hälfte von fünf Patienten bedeutet drei, vier oder fünf.

Somit ergibt sich:

$\begin{array}[t]{rll} B_{5,0.68}(X\geq 3)&=& \binom{5}{3}\cdot 0,68^3\cdot 0,32^{2}+\binom{5}{4}\cdot 0,68^4\cdot 0,32^{1}+\binom{5}{5}\cdot 0,68^5\cdot 0,32^{0} &\quad \scriptsize \; \\[5pt] &=& 10\cdot 0,68^3\cdot 0,32^{2}+5\cdot 0,68^4\cdot 0,32^{1}+ 1\cdot 0,68^5\cdot 0,32^{0}\\[5pt] &\approx& 0,8095=80,95\% \end{array}$

Mit einer Wahrscheinlichkeit von $80,95\%$ ist mehr als die Hälfte der ausgesuchten Patienten geheilt.

$\blacktriangleright$ Term im Sachzusammenhang interpretieren

Du sollst die Bedeutung des Terms $1-\sum_{k=8}^{10}\binom{10}{k}\cdot 0,68^k\cdot 0,32^{10-k}$ angeben. Betrachte zuerst die darin erscheinenden Wahrscheinlichkeiten $0,68$ und $0,32=1-0,68$ .
$0,68$ ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Patient geheilt wurde, $0,32$ die zugehörige Gegenwahrscheinlichkeit. Da noch ein Binomialkoeffizient verwendet wird, kannst du den Term schreiben als $1-B_{10,0.68}(X\geq 8)$ . Es handelt sich um die Gegenwahrscheinlichkeit davon, dass mindestens acht Patienten geheilt wurden. Somit gibt der Term die Wahrscheinlichkeit an, dass weniger als acht bzw. maximal sieben Patienten geheilt wurden: $B_{10,0.68}(X\leq 7)=1-B_{10,0.68}(X\geq 8)$

$\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeit für mehr als fünf Ampullen überprüfen

Du sollst überprüfen, ob die Wahrscheinlichkeit für eine Entnahme von fünf Ampullen Medikament mindestens $30\%$ beträgt. In einem Paket befinden sich $40$ Ampullen, $32$ davon mit dem echten Medikament und $8$ gefüllt mit einem Placebo. Betrachtest du die Zufallsvariable $X$ , welche die Anzahl der Ampullen mit Medikament angibt kannst du die Wahrscheinlichkeit berechnen, dabei ist zu beachten, dass es sich hierbei um ein Ziehen ohne zurücklegen handelt, $X$ ist also hypergeometrisch verteilt.
Für genau fünf Ampullen des Medikaments ergibt sich:

$\begin{array}[t]{rll} P(X=5)&=& \frac{32}{40}\cdot\frac{31}{39}\cdot\frac{30}{38}\cdot\frac{29}{37}\cdot\frac{28}{36} &\quad \scriptsize \; \\[5pt] &=& \frac{32!}{27!}\cdot\frac{35!}{40!} \\[5pt] &\approx& 0,3060 =30,60\% \end{array}$

Mit einer Wahrscheinlichkeit von $30,60\%$ enthalten alle gezogenen Ampullen des Medikament. Diese Wahrscheinlichkeit ist größer als die $30\%$ aus der Aufgabenstellung, die Aussage dort trifft also zu.

$\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeit für mindestens 25 und maximal 40 Placebo-Ampullen

Anstatt einem Karton mit $40$ Ampullen wird eine Klinkpackung mit $10.000$ Ampullen betrachtet, davon sind $2.000$ mit dem Placebo gefüllt. Durch die große Anzahl der Ampullen im Vergleich mit der gezogenen Proben ( $10.000$ zu $150$ ), kannst du von einer Binomialverteilung ausgehen. Betrachte eine Zufallsvariable $X$ , welche die Anzahl der Placebo Ampullen angibt. Die Wahrscheinlichkeit eine Ampulle mit dem Placebo zu ziehen ist konstant mit $p=\frac{2.000}{10.000}=0,2$ . Mit der Bernoulli-Formel für mindestens $25$ und maximal $40$ Placebo Ampullen ergibt sich:

$\begin{array}[t]{rll} P(25\leq X\leq 40)&=& \sum\limits_{k=25}^{40} \binom{150}{k}\cdot 0,2^k\cdot 0,8^{150-k} &\quad \scriptsize \end{array}$

Da diese Summe sehr aufwendig zu berechnen ist, wechselst du zur stetigen Normalverteilung. Um die Genauigkeit der Nährung zu gewährleisten, stellst du zwei Bedingungen an die Verteilung.

$n\cdot p =150\cdot 0,2=30>6$

$n\cdot (1-p)=150\cdot 0,8=120>6$

Somit ist die Nährung genau genug. Trotzdem vergrößerst du das Intervall der Berechnung um je $0,5$ an beiden Seiten. Zur Berechnung benötigst du den Erwartungswert $\mu$ und die Varianz $\sigma$ .

$\begin{array}[t]{rll} \mu&=& n\cdot p &\quad \scriptsize \; \\[5pt] &=& 150\cdot 0,2 \\[5pt] &=& 30 \end{array}$

$\begin{array}[t]{rll} \sigma&=& \sqrt{n\cdot p\cdot (1-p)} &\quad \scriptsize \; \\[5pt] &=& \sqrt{150\cdot 0,2\cdot 0,8} \\[5pt] &\approx& 4,90 \end{array}$

Zusammenfassend ergibt sich:

$\begin{array}[t]{rll} P(25\leq X\leq 40)&=& \sum\limits_{k=25}^{40} \binom{150}{k}\cdot 0,2^k\cdot 0,8^{150-k} &\quad \scriptsize \; \\[5pt] &\approx& \Phi\left(\frac{40+0,5-30}{4,90}\right)-\Phi\left(\frac{25-0,5-30}{4,90}\right) \\[5pt] &\approx& \Phi(2,14)-\Phi(-1,12) \\[5pt] &=& 0,9838-0,1314 \\[5pt] &=& 0,8524 =85,24\% \end{array}$

Die Krankenschwester entnimmt mit einer Wahrscheinlichkeit von $85,24\%$ zwischen $25$ und $40$ Placebo Ampullen.

$\blacktriangleright$ Anzahl der notwendigen Ampullen bestimmen

Du sollst bestimmen, wie viele Ampullen entnommen werden müssen, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens $97,5\%$ , mindestens eine Placebo Ampulle zu erhalten. Um die Rechnung zu vereinfachen betrachtest du das Gegenereignis, dass keine Ampulle mit einer Wahrscheinlichkeit von höchstens $2,5\%$ entnommen wird. Du erhälst mit der Bernoulli-Formel eine Ungleichung:

$\begin{array}[t]{rll} P(X=0)&\leq& 0,025 &\quad \scriptsize \; \\[5pt] 0,2^0\cdot 0,8^{n}&\leq & 0,025 &\quad \scriptsize \mid\; \ln\; \mid\; :\ln(0,8) \\[5pt] n&\geq& \frac{\ln(0,025)}{\ln(0,8)} \\[5pt] n&\geq & 16,53 \end{array}$

Da es sich um Ampullen handelt, ist ein ganzzahliges Ergebnis anzugeben. Es müssen mindestens 17 Ampullen gezogen werden. Die Drehung des „ $\leq$ “ folgt aus dem Teilen durch $\ln(0,8)$ , da dieser negativ ist.

$\blacktriangleright$ Testverfahren entwickeln

Du sollst ein Verfahren entwickeln, um zu überprüfen, ob es sich um ein EU-Paket handelt oder nicht. Das Signifikanzniveau soll $1,5\%$ betragen. Genauer prüfst du, ob die Wahrscheinlichkeit, dass es sich bei $20\%=0,2$ der Ampullen um ein Placebo handelt, zu treffen kann. Du erhälst eine Nullhypothese und eine Alternativhypothese. Da du überprüfen willst, ob maximal $20\%$ der Ampullen das Placebo enthalten ist dies deine Alternativhypothese.

$H_0:\, p_0=0,3$

$H_1:\, p=0,2$

Da $p\lt p_0$ liegt ein linksseitiger Test vor. Somit kannst du eine Bernoulli-Gleichung mit Variablem $k$ und $n=100$ aufstellen:

$\begin{array}[t]{rll} 0,015&\geq& \sum\limits_{i=0}^k \binom{100}{i}\cdot 0,3^i\cdot 0,7^{100-i} &\quad \scriptsize \; \\[5pt] 0,009 &\approx& \sum\limits_{i=0}^{19} \binom{100}{i}\cdot 0,3^i\cdot 0,7^{100-i} \\[5pt] 0,0165 &\approx& \sum\limits_{i=0}^{20} \binom{100}{i}\cdot 0,3^i\cdot 0,7^{100-i} \\[5pt] \end{array}$

Auf die Werte $19$ und $20$ kommst du durch systematisches Ausprobieren. Enthalten mehr als $19$ Ampullen ein Placebo handelt es sich beim einem Signifikanzniveau von $1,5\%$ nicht um ein EU-Paket. Für maximal $19$ ist davon auszugehen, dass es sich um ein EU-Paket handelt.

$\blacktriangleright$ Fehler 2. Art berechnen

Da die Wahrscheinlichkeit für die Alternativhypothese bekannt ist, kannst du den Fehler 2. Art $\beta$ (Nullhypothese wird beibehalten, obwohl sie falsch ist) bestimmen. Dazu berechnest du:

$\begin{array}[t]{rll} \beta&=& P(X\geq 20) & \\[5pt] &=& 1-P(X\leq 19) \; \\[5pt] &\approx& 0,5398 \end{array}$

$\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeit berechnen

Du sollst die Wahrscheinlichkeit $P(A)$ aus den gegebenen Wahrscheinlichkeiten bestimmen. Hierzu benötigst du die Formel von Bayes.

$\begin{array}[t]{rll} P(B)&=& P(A)\cdot P(B\vert A)+P(\bar{A})\cdot P(B\vert \bar{A}) & \; \\[5pt] 0,32 &=& P(A)\cdot P(B\vert A)+(1-P(A))\cdot (1-P(\bar{B}\vert \bar{A})) \\[5pt] &=& P(A)\cdot 0,4 + (1-P(A))\cdot 0,3 &\mid\; -0,3 \\[5pt] 0,02&=& 0,1\cdot P(A) &\mid\; :0,1 \\[5pt] P(A)&=& 0,2 \end{array}$

Somit beträgt die Wahrscheinlichkeit für $A$ $20\%$ .