Stochastik

Eine Gruppe von Bogenschützen schießt im Training regelmäßig auf die in der Abbildung dargestellte Scheibe.
Es soll angenommen werden, dass für jedes Mitglied der Gruppe die Anzahl der Treffer ins Zentrum durch eine binomialverteilte Zufallsgröße beschrieben werden kann. Die 18-jährige Nike trifft dabei das Zentrum der Scheibe mit einer Wahrscheinlichkeit von $70 \; \text{%}$ .

Grafik mit konzentrischen Kreisen, die ein Zentrum darstellen, beschriftet mit

a1)

Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass Nike in einer Serie von $20$ Schüssen das Zentrum

genau $14$ -mal trifft;
mindestens $10$ -mal trifft;
mit mehr als $60 \; \text{%}$ und weniger als $80 \; \text{%}$ ihrer Schüsse trifft.

(7 P)

a2)

Bestimme - beispielsweise durch systematisches Probieren - die Anzahl an Schüssen, die Nike mindestens abgeben muss, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mehr als $99 \; \text{%}$ mindestens zweimal das Zentrum zu treffen.

(4 P)

Nike und Victor trainieren oft gemeinsam. Die Wahrscheinlichkeiten in der abgebildeten Vierfeldertafel beruhen auf ihren bisherigen Trainingsergebnissen. Beschrieben wird eine Situation, in der beide jeweils einen Schuss abgeben.

	$V$
$N$	0,28	0,7
$\overline{N}$
	0,4	1

V: „Victor trifft ins Zentrum.“

N: „Nike trifft ins Zentrum.“

b1)

Vervollständige die Vierfeldertafel.

(3 P)

b2)

Zum Trainingsauftakt schießen die beiden jeweils einen Pfeil ab. Nur einer der beiden Pfeile landet im Zentrum. Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass dieser Pfeil von Nike abgeschossen wurde.

(4 P)

b3)

Für das Spiel „Treffer gewinnt“ vereinbaren Nike und Victor folgende Regeln:

Sie schießen abwechselnd, wobei Victor beginnt.
Wer zuerst das Zentrum trifft, gewinnt. Das Spiel ist damit sofort beendet.
Sollten beide jeweils dreimal am Zentrum vorbeischießen, so endet das Spiel ebenfalls und Victor ist Sieger.

Untersuche, wer von den beiden bei diesem Spiel die bessere Gewinnchance hat.

(4 P)

Für die Teilnahme an einem Wettbewerb testet Nike einen neuen Bogen. Nach einer ausreichenden Eingewöhnungsphase hat sie die Vermutung, mit dem neuen Bogen ihre bisherige Trefferquote ins Zentrum auf mehr als $70 \; \text{%}$ verbessern zu können.

c1)

Erstelle für eine Serie von $150$ Schüssen, die Nike mit dem neuen Bogen abgibt, einen Hypothesentest, der geeignet ist, ihre Vermutung auf einem Signifikanzniveau von $10 \; \text{%}$ zu stützen.

Gib die entsprechende Entscheidungsregel an.

(8 P)

c2)

Beschreibe den Fehler zweiter Art im Sachzusammenhang.

Bestimme dessen Wahrscheinlichkeit unter der Annahme, dass Nikes Trefferquote ins Zentrum mit dem neuen Bogen tatsächlich auf $75 \; \text{%}$ gestiegen ist.

(4 P)

In ihrem Köcher hat Nike $20$ Pfeile, von denen $17$ Pfeile rote Federn und zwei Pfeile blaue Federn haben. Einer der $20$ Pfeile hat goldene Federn. Nike schießt eine Serie von zehn Pfeilen. Dabei zieht sie vor jedem Schuss ohne hinzusehen einen Pfeil aus ihrem Köcher und schießt diesen ab.

d1)

Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass in der Serie alle Pfeile rote Federn haben.

(3 P)

d2)

Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Serie mindestens einen Pfeil jeder Federnfarbe enthält.

(3 P)

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a1)

Die Zufallsvariable $X$ ist $B_{20;0,7}$ -verteilt und beschreibt die Anzahl der Treffer ins Zentrum.

$P(X=14)\approx 0,1916\mathrel{\widehat{=}}19,16\,\%$

$P(X\geq10)=1-P(X\leq9)$ $\approx 1-0,0171=0,9829\mathrel{\widehat{=}}98,29\,\%$

Vollständigen Rechenweg anzeigen

$P(0,6\cdot20\lt X \lt 0,8\cdot20) \approx 53,48\,\%$

a2)

Die Zufallsvariable $X_n$ ist $B_{n;0,7}$ -verteilt und gibt an, wieviele Treffer ins Zentrum Nike bei $n$ Schüssen erziehlt.

Gesucht ist das kleinste $n,$ für das $P(X_n\geq2)=1-P(X_n\leq 1)\gt0,99$ gilt.

Systematisches Probieren mit dem CAS liefert:

$1-P(X_6\leq1)=0,9891$
$1-P(X_7\leq1)=0,9962$

Somit muss Nike mindestens 7 Schüsse abgeben, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens $99\,\%$ das Zentrum mindestens zweimal zu treffen.

b1)

	$N$	$\overline{N}$
$V$	0,28	0,12	0,4
$\overline{V}$	0,42	0,18	0,6
	0,7	0,3	1

b2)

Zunächst wird die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis $E:$ "Entweder Nike oder Victor trifft ins Zentrum" berechnet.

$P(E)=0,42+0,12=0,54$

Gesucht ist nun die bedingte Wahrscheinlichkeit, dass es sich bei der Person, die trifft, um Nike handelt.

$P_E(N)=\dfrac{P(N\cap E)}{P(E)}=\dfrac{0,42}{0,54}$ $\approx 0,7777\mathrel{\widehat{=}}77,78\,\%$

b3)

Zunächst wird die Gewinnwahrscheinlichkeit von Nike berechnet. Dazu werden folgende drei Wahrscheinlichkeiten addiert:

Wahrscheinlichkeit, dass Nike mit dem

ersten Schuss gewinnt: $0,6\cdot0,7\approx 0,42$
zweiten Schuss gewinnt: $(0,6\cdot0,3)\cdot(0,6\cdot0,7)\approx 0,0756$
dritten Schuss gewinnt: $(0,6\cdot0,3)\cdot(0,6\cdot0,3)\cdot(0,6\cdot0,7)$ $\approx0,0136$

Nikes Gewinnwahrscheinlichkeit beträgt damit:

$0,42+0,756+0,0136$ $=0,5092\gt0,5$

Somit hat Nike bessere Gewinnchancen als Victor.

c1)

Die Zufallsvariable $X_p$ ist $B_{150;p}$ -verteilt und gibt die Anzahl der Treffer ins Zentrum bei 150 Schüssen an.

Es soll die Hypothese $H_1: p\gt0,7$ gestützt werden. Die Nullhypothese ist damit $H_0: p\leq0,7.$

Es muss die kleinste Zahl $k$ bestimmt werden, für die $P(X_{0,7}\geq k)\leq0,1$ gilt:

Vollständigen Rechenweg anzeigen

$P(X_{0,7}\leq k-1)\geq 0,9$

Es gilt:

$P(X_{0,7}\leq111)=0,878$
$P(X_{0,7}\leq112)=0,911$

Somit ergibt sich $k-1=112$ und folglich $k=113.$

Trifft Nike $113$ mal oder öfter ins Zentrum, dann wird die Hypothese, dass sie mit einer Wahrscheinlichkeit von mehr als $70\,\%$ trifft, gestützt. Andernfalls wird die Hypothese abgelehnt.

c2)

Ein Fehler zweiter Art liegt vor, wenn Nike trotz der Tatsache, dass sie mit ihrem Bogen bessere Ergebnisse erzielen kann, bei 150 Schüssen höchstens 112 mal ins Zentrum trifft und somit die Vermutung nicht gestützt wird.

Der CAS liefert: $P(X_{0,75}\leq112)\approx 0,4937$

Die Wahrscheinlichkeit eines Fehlers zweiter Art liegt bei einer tatsächlichen Trefferquote von $75\,%$ bei $49,37\,\%.$

d1)

Die Zufallsvariable $X$ gibt die Anzahl der Pfeile mit roten Federn unter den $10$ gezogenen Pfeilen an. $X$ ist hypergeometrisch verteilt.

$P(X=10)=\dfrac{\pmatrix{17\\10}\cdot\pmatrix{3\\0}}{\pmatrix{20\\10}}$ $\approx 0,1053\mathrel{\widehat{=}}10,53\,\%$

d2)

Folgende Varianten sind möglich:

Die Serie enthält einen goldenen Pfeil, einen blauen Pfeil und acht rote Pfeile:

$p_1=\dfrac{\pmatrix{1\\1}\cdot\pmatrix{2\\1}\cdot\pmatrix{17\\8}}{\pmatrix{20\\10}}$ $\approx 0,2632\mathrel{\widehat{=}}26,32\%$

Die Serie enthält einen goldenen Pfeil, zwei blaue Pfeile und sieben rote Pfeile:

$p_2=\dfrac{\pmatrix{1\\1}\cdot\pmatrix{2\\2}\cdot\pmatrix{17\\7}}{\pmatrix{20\\10}}$ $\approx 0,1053\mathrel{\widehat{=}}10,53\%$

Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Serie mindestens einen Pfeil jeder Federnfarbe enthält, beträgt also ungefähr $26,32\%+10,53\%=36,85\%.$

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