Analysis 2

Gegeben ist die Schar der in $\mathbb{R}$ definierten Funktionen $f_a$ mit $f_a(x) = \dfrac{1}{a^3}x^3 - \dfrac{1}{a}x^2 + x$ und $a \in \mathbb{R}^+.$

a1)

Berechne die Stellen, an denen der Graph von $f_4$ eine Steigung von $-\dfrac{1}{4}$ hat.

(3 BE)

a2)

Bestimme den Wert von $a$ so, dass der Punkt $(2\mid 2)$ auf dem Graphen von $f_a$ liegt.

(2 BE)

a3)

Ermittle die Koordinaten der gemeinsamen Punkte der Graphen von $f_1$ und $f_2.$ Weise nach, dass es genau einen Punkt gibt, der auf jedem Graphen der Schar liegt.

(5 BE)

a4)

Die Gleichung $f_a(x) = 0$ hat in Abhängigkeit von $a$ die Lösungen:

$0$ und $\dfrac{a^2 + \sqrt{a^3(a - 4)}}{2}$ und $\dfrac{a^2 - \sqrt{a^3(a - 4)}}{2}.$

Gib die Anzahl der Nullstellen von $f_a$ in Abhängigkeit von $a$ an und begründe deine Angabe anhand der obigen Terme.

(4 BE)

a5)

Der Graph jeder Funktion $f_a$ hat genau einen Wendepunkt.

Bestimme den Wert von $a$ zu dem Wendepunkt mit der größten $y$ -Koordinate.

(5 BE)

a6)

Im Folgenden gilt $0 \lt a \lt 4.$

Abbildung 1 zeigt beispielhaft den Graphen einer Funktion $f_a$ sowie die Gerade $g$ mit der Gleichung $y = x,$ die den Graphen in den Punkten $O(0\mid 0)$ und $P(u_a\mid f_a(u_a))$ schneidet.

Abb. 1

Die Gerade $g$ , die $x$ -Achse und die Gerade mit der Gleichung $x = u_a$ begrenzen ein rechtwinkliges Dreieck.

Die folgenden Schritte stellen die Lösung einer Aufgabe dar:

$f_a(x) = x \Leftrightarrow x = 0 \lor x = a^2$
$\dfrac{1}{2} \cdot a^2 \cdot f_a(a^2) = 3 \cdot \displaystyle\int_0^{a^2} (x - f_a(x)) \, dx$ $\Leftrightarrow a = 2$

Erläutere die Schritte und interpretiere die Lösung $a = 2$ geometrisch.

(5 BE)

Für ein Umweltschutzprojekt sollen zwei Unterwasserdrohnen $U_1$ und $U_2$ in einem See Messungen in unterschiedlichen Tiefen vornehmen. Sie bewegen sich nur in vertikaler Richtung, d. h. senkrecht zur Wasseroberfläche des Sees. Ihre Geschwindigkeiten lassen sich für $0 \leq t \leq 30$ mithilfe der in $\mathbb{R}$ definierten Funktionen $v$ bzw. $w$ beschreiben, wobei gilt:

$v(t) = -\dfrac{6}{25} \cdot t \cdot (4t - 25) \cdot \mathrm e^{-\frac{1}{5}t}$

$w(t) = \dfrac{1}{216} t^3 - \dfrac{1}{6} t^2 + t$

Dabei ist $t$ die seit Beobachtungsbeginn vergangene Zeit in Minuten, $v(t)$ die Geschwindigkeit von $U_1$ in Meter pro Minute und $w(t)$ die Geschwindigkeit von $U_2$ in Meter pro Minute. Wenn die Geschwindigkeit in diesem Modell negativ ist, sinkt die Unterwasserdrohne. Wenn die Geschwindigkeit positiv ist, steigt die Unterwasserdrohne.

b1)

Bestimme die Koordinaten des Tiefpunktes des Graphen von $v$ und interpretiere die Werte im Sachkontext.

(3 BE)

b2)

Mit $\(v$ wird die erste Ableitungsfunktion von $v$ bezeichnet.

Innerhalb eines bestimmten Zeitraums gilt für jeden Zeitpunkt $t$ die folgende Aussage: $v(t) \lt 0$ und $\(v$

Interpretiere dies in Bezug auf die Bewegung von $U_1$ in diesem Zeitraum.

(2 BE)

b3)

Im Beobachtungszeitraum beträgt der geringste Abstand von $U_1$ zur Wasseroberfläche des Sees 10 Meter.

Ermittle den Abstand von $U_1$ zur Wasseroberfläche zu Beobachtungsbeginn.

(5 BE)

b4)

$U_2$ ist zu Beobachtungsbeginn 5 Meter tiefer als $U_1$ und steigt langsamer als $U_1.$ Der Graph in Abbildung 2 zeigt für die ersten Minuten des Beobachtungszeitraums die zeitliche Entwicklung des vertikalen Abstands der beiden Unterwasserdrohnen zueinander. Im dargestellten Bereich hat der Graph nur einen Hochpunkt $H(t_H \mid y_H).$

Abb. 2

Erläutere, wie man $t_H$ anhand der Graphen von $v$ und $w$ ermitteln kann, und gib einen Term zur Berechnung von $y_H$ an.

(6 BE)

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a1)

Mit dem CAS folgt für die erste Ableitung von $f_4:$

$\(f$

Für die gesuchten Stellen folgt somit:

$\(\begin{array}[t]{rll} f$

Mit dem solve-Befehl des CAS ergibt sich $x_1=4$ und $x_2=\frac{20}{3}.$

a2)

$\begin{array}[t]{rll} f_a(2)&=&2 \\[5pt] \dfrac{1}{a^3}\cdot2^3-\dfrac{1}{a}\cdot2^2+2&=&2 &\quad \scriptsize \mid\;-2 \\[5pt] \dfrac{8}{a^3}-\dfrac{4}{a}&=&0 &\quad \scriptsize \mid\;\cdot a^3 \\[5pt] 8-4a^2&=&0 &\quad \scriptsize \mid\;-8 \\[5pt] -4a^2&=&-8 &\quad \scriptsize \mid\;:(-4) \\[5pt] a^2&=&2 &\quad \scriptsize \mid\;\sqrt{\;} \\[5pt] a_1&=&\sqrt{2} \\[5pt] a_2&=&-\sqrt{2} \end{array}$

Da $a\gt0$ gilt, folgt somit $a=\sqrt{2}.$

a3)

Koordinaten der gemeinsamen Punkte ermitteln

Gleichsetzen von $f_1(x)$ und $f_2(x)$ liefert:

Rechenweg anzeigen

$\dfrac{7}{8}x^3 - \dfrac{1}{2}x^2=0$

Mit dem solve-Befehl des CAS folgt:

$\begin{array}[t]{rll} x_1&=&0 \\[5pt] x_2&=&\dfrac{4}{7} \end{array}$

Einsetzen in z.B. $f_1(x)$ liefert:

$\begin{array}[t]{rll} f_1(0)&=&0^3-0^2+0 \\[5pt] &=&0 \end{array}$

$\begin{array}[t]{rll} f_1\left(\dfrac{4}{7}\right)&=&\left(\dfrac{4}{7}\right)^3-\left(\dfrac{4}{7}\right)^2+\dfrac{4}{7} \\[5pt] &=&\dfrac{64}{343}-\dfrac{16}{49}+\dfrac{4}{7} \\[5pt] &=&\dfrac{148}{343} \end{array}$

Die Koordinaten der gemeinsamen Punkte der Graphen von $f_1$ und $f_2$ sind somit gegeben durch $(0\mid0)$ und $\left(\dfrac{4}{7}\,\bigg \vert \,\dfrac{148}{343}\right).$

Nachweisen, dass es genau einen gemeinsamen Punkt der Schar gibt

Nach den Werten von eben kommen nur die Stellen $x_1=0$ und $x_2=\frac{4}{7}$ infrage. Da $f_a(x)=\frac{1}{a^3} x^3-\frac{1}{a} x^2+x$ $=x\cdot\left(\frac{1}{a^3} x^2-\frac{1}{a} x+1\right)$ gilt, folgt mit dem Satz des Nullprodukts unabhängig von $a,$ dass $f_a(0)=0$ gilt. Einsetzen von $x_2=\frac{4}{7}$ in z.B. $f_3(x)$ liefert:

$\begin{array}[t]{rll} f_3\left(\dfrac{4}{7}\right)&=&\dfrac{1}{3^3}\cdot\left(\dfrac{4}{7}\right)^3-\dfrac{1}{3}\cdot\left(\dfrac{4}{7}\right)^2+\dfrac{4}{7} \\[5pt] &=&\dfrac{64}{343\cdot27}-\dfrac{16}{49\cdot3}+\dfrac{4}{7} \\[5pt] &=&\dfrac{4348}{9261}\neq\dfrac{151}{343} \end{array}$

Somit existiert nur ein Punkt, welcher auf jedem Graphen der Schar liegt.

a4)

Wenn $a \gt 4$ gilt, ist der Term unter der Wurzel im Zähler der letzten beiden Nullstellen positiv und es gibt somit zwei weitere Nullstellen außer $x = 0.$ Damit hat $f_a$ drei Nullstellen.

Für $a = 4$ ist der Term unter der Wurzel null und die beiden letzten Nullstellen fallen zusammen zu einer, das heißt $f_a$ besitzt zwei Nullstellen.

Für $0 \lt a \lt 4$ ist der Term unter der Wurzel negativ und $f_a$ besitzt somit nur eine Nullstelle.

a5)

Mit dem CAS ergibt sich:

$\(f$

Die notwendige Bedingung $\(f$ für Wendestellen liefert mit dem solve-Befehl des CAS:

$x=\dfrac{a^2}{3}$

Da der Graph jeder Funktion $f_a$ laut Aufgabenstellung genau einen Wendepunkt besitzt, kann auf die Überprüfung der hinreichenden Bedingung verzichtet werden.

Für die $y$ -Koordinaten der Wendepunkte folgt:

Rechenweg anzeigen

$f_a\left(\dfrac{a^2}{3}\right) = -\dfrac{2}{27}a^3+\dfrac{1}{3}a^2$

Die Wendepunkte liegen also auf dem Graphen der Funktion $g(a)=-\dfrac{2}{27}a^3+\dfrac{1}{3}a^2.$ Für die ersten beiden Ableitungen von $g$ folgt mit dem CAS:

$\(g$

1. Schritt: Notwendige Bedingung für Extremstellen anwenden

$\(g$

Mit dem solve-Befehl des CAS ergibt sich:

$\begin{array}[t]{rll} a_1&=&0 \\[5pt] a_2&=&3 \end{array}$

2. Schritt: Hinreichende Bedingung für Extremstellen überprüfen

$\(\begin{array}[t]{rll} g$

Somit besitzt $g$ an der Stelle $a=3$ einen Hochpunkt, das heißt für $a=3$ wird die $y$ -Koordinate des Wendepunkts der Schar $f_a$ maximal.

a6)

Schritte erläutern

Im ersten Schritt wird die Gleichung $f_a(x) = x$ gelöst, was die Schnittpunkte der Funktion $f_a$ mit der Geraden $g$ liefert.
Im zweiten Schritt wird der Inhalt der Fläche des rechtwinkligen Dreiecks mit dem dreifachen Inhalt der Fläche, die die beiden Graphen von $g$ und $f_a$ miteinander einschließen, gleichgesetzt. Diese Gleichheit ist für den Wert $a=2$ erfüllt.

Lösung geometrisch interpretieren

Für $a=2$ beträgt das Verhältnis des rechtwinkligen Dreiecks zur eingeschlossenen Fläche zwischen den beiden Graphen $1:3.$

b1)

Koordinaten des Tiefpunktes bestimmen

Für die ersten beiden Ableitungen von $v$ folgt mit dem CAS:

$\(v$

$\( v$

1. Schritt: Notwendige Bedingung für Extremstellen anwenden

$\(v$

Da die $\mathrm e$ -Funktion stets ungleich null ist, ergeben sich die Nullstellen von $\(v$ als die der Gleichung $24t^{2} - 390t + 750=0.$ Mit dem CAS ergibt sich:

$\begin{array}[t]{rll} t_1&\approx&2,23 \\[5pt] t_2&\approx&14,02 \end{array}$

2. Schritt: Hinreichende Bedingung für Extremstellen überprüfen

$\(v$

Der Graph von $v$ besitzt somit bei $t\approx14,02$ einen Tiefpunkt. Für dessen $y$ -Koordinate folgt:

$v(14,02)\approx -6,33$

Für die Koordinaten des gesuchten Tiefpunktes folgt somit ca. $(14,02\mid-6,33).$

Werte im Sachkontext interpretieren

Nach ca. $14,02$ Minuten sinkt die Unterwasserdrohne $U_1$ mit einer Geschwindigkeit von $6,33\;\frac{\text{m}}{\text{min}}$ am schnellsten.

b2)

Die Bedingung $v(t) \lt 0$ bedeutet, dass die Drohne $U_1$ sinkt, während $\(v$ bedeutet, dass sie nach oben beschleunigt wird. Insgesamt bewegt sich $U_1$ in diesem Zeitraum also immer weiter nach unten, allerdings mit immer niedrigerer Geschwindigkeit.

b3)

Der Zeitpunkt, zu dem die Unterwasserdrohne $U_1$ den geringsten Abstand zur Wasseroberfläche besitzt, ist die Stelle an der die Stammfunktionen von $v$ einen Hochpunkt haben, das heißt $v$ muss dort eine Nullstelle besitzen. Da die $\mathrm e$ -Funktion stets ungleich null ist, liefert $v(t)=0$ nach dem Satz des Nullprodukts die Gleichung $6 t-\dfrac{24}{25} t^2=0.$ Mit dem CAS ergibt sich:

$\begin{array}[t]{rll} t_1&=&0 \\[5pt] t_2&=&6,25 \end{array}$

Es gilt $v(t)>0$ für $0\lt t \lt 6,25$ und $v(t)\lt 0$ für $6,25\lt t \leq 30.$

$U_1$ hat somit 6,25 Minuten nach Beobachtungsbeginn den kleinsten Abstand zur Wasseroberfläche.

Der Abstand von $U_1$ zur Wasseroberfläche zu Beobachtungsbeginn in Metern lässt sich wie folgt berechnen:

$10+\displaystyle \int_0^{6,25} v(t) d t \approx 31,7$

Zu Beobachtungsbeginn hat $U_1$ einen Abstand von $31,7\,\text{m}$ zur Wasseroberfläche.

b4)

Bei der $t$ -Koordinate $t_S$ des einzigen Schnittpunkts der Graphen von $v$ und $w$ innerhalb der ersten Minuten wechselt $w(t)\lt v(t)$ zu $v(t)\lt w(t).$ Somit nimmt der vertikale Abstand von $U_1$ und $U_2$ bis zum Zeitpunkt $t_S$ zu und danach wieder ab. Folglich ist $t_H=t_S.$

$y_H=5+\displaystyle \int_0^{t_S}(v(t)-w(t))\; \mathrm d t$

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