Stochastik

Die Sektoren des abgebildeten Glücksrads sind gleich groß und mit den Zahlen von 0 bis 9 durchnummeriert.

a1)

Das Glücksrad wird zwanzigmal gedreht. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeiten der folgenden Ereignisse $A, B$ und $C$ .

$A:$ „Es wird genau siebenmal eine ungerade Zahl erzielt."

$B:$ „Es wird weniger als neunmal eine ungerade Zahl erzielt."

$C:$ „Es wird mehr als siebenmal und höchstens zwölfmal eine ungerade Zahl erzielt.“

(5 P)

a2)

Das Glücksrad wird zweimal gedreht. Untersuche, ob die Ereignisse D und $E$ stochastisch unabhängig sind.

$D:$

„Die Summe der erzielten Zahlen ist kleiner als 4.“

$E:$

„Das Produkt der erzielten Zahlen ist 2 oder 3.“

(5 P)

Mit dem Glücksrad wird ein Spiel durchgeführt. Jede spielende Person darf das Glücksrad beliebig oft drehen. Beendet sie das Spiel selbst, bevor sie eine „0“ erzielt, so wird ihr die Summe der erzielten Zahlen in Euro ausgezahlt. Erzielt sie eine „0“, so ist das Spiel dadurch beendet und es erfolgt keine Auszahlung.

b1)

Eine erste Spielerin entscheidet sich vor dem Spiel dafür, das Glücksrad, sofern sie keine „0" erzielt, viermal zu drehen und danach das Spiel zu beenden.
Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sie eine Auszahlung erhält.

(2 P)

b2)

Bei einer zweiten Spielerin beträgt nach mehrmaligem Drehen des Glücksrads die Summe der erzielten Zahlen $60.$ Die Spielerin entscheidet sich nun, das Glücksrad genau ein weiteres Mal zu drehen.
Berechne in dieser Situation den Erwartungswert für die Auszahlung.

(3 P)

b3)

Wenn sich eine spielende Person vor dem Spiel dafür entscheidet, das Glücksrad, sofern sie keine „0“ erzielt, $n$ -mal zu drehen, dann kann der Erwartungswert für die Auszahlung mit dem Term $5 \cdot n \cdot 0,9^n$ berechnet werden.
Beurteile die folgende Aussage:

„Es gibt zwei aufeinanderfolgende, aber nicht drei aufeinanderfolgende Werte von $n,$ für die die Erwartungswerte für die Auszahlung übereinstimmen.“

(4 P)

Der Schüler Oskar legt einen zehnseitigen Spielwürfel mit den Ziffern 0 bis 9 auf den Tisch und behauptet, dass alle Zahlen des Würfels wie beim Glücksrad mit der gleichen Wahrscheinlichkeit auftreten. Die Schülerin Ronja würfelt mehrfach damit und vermutet, dass die Zahl 8 mit einer geringeren Wahrscheinlichkeit als von Oskar behauptet auftritt. Ronja plant einen Hypothesentest, um ihre Vermutung zu stützen.

c1)

Zunächst ermittelt Ronja die größte Anzahl $k,$ mit der die Zahl 8 bei 240 Durchführungen auftreten darf, damit ihre Vermutung auf einem Signifikanzniveau von $3\,\%$ noch gestützt wird.

Gib die zugehörige Nullhypothese an und entscheide, ob ein rechtsseitiger oder linksseitiger Hypothesentest vorliegt.
Ermittle die Anzahl $k.$

(6 P)

c2)

Schließlich hat Ronja, um ihre Vermutung zu stützen, einen einseitigen Hypothesentest mit einem Stichprobenumfang von $n=175$ und einem Signifikanzniveau von $r\,\%$ erstellt. Dabei hat sie den Verwerfungsbereich $V=\{0 ; 1 ; 2 ; \ldots ; 10\}$ erhalten.
Bestimme alle ganzen Zahlen, die Ronja für $r$ gewählt haben könnte, die zu dem ermittelten Verwerfungsbereich passen.

(4 P)

Ronja und Oskar haben ein Koordinatensystem gezeichnet und auf den Ursprung $(0 \mid 0)$ eine Spielfigur gestellt. Sie vereinbaren nun folgendes Spiel.

Das Glücksrad wird immer wieder gedreht. Tritt eine 7 , eine 8 oder eine 9 auf, so darf Oskar die Figur um zwei Einheiten nach oben (in $y$ -Richtung) bewegen.
Tritt eine der sieben anderen Zahlen auf, darf Ronja die Figur nur um eine Einheit nach rechts (in $x$ -Richtung) verschieben.
Das Spiel endet mit einem Sieg für Ronja, wenn die Figur die $x$ -Koordinate 6 erreicht hat. Oskar gewinnt, wenn die Figur die $y$ -Koordinate 6 erreicht hat.

d1)

Erläutere, warum die Figur bei diesem Spiel den Punkt $(6 \mid 6)$ nicht erreichen kann.

(2 P)

d2)

Gib an, wie oft Ronja und wie oft Oskar die Figur seit Spielbeginn bewegt haben, falls die Figur auf dem Punkt $P(2 \mid 2)$ steht.
Berechne, wie groß zu Spielbeginn die Wahrscheinlichkeit dafür ist, dass die Figur auf dem Punkt $P$ zum Stehen kommt.

(3 P)

d3)

Bestimme, wie groß zu Spielbeginn die Wahrscheinlichkeit dafür ist, dass Ronja gewinnt.

(6 P)

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a1)

Betrachtet wird die Zufallsgröße $X,$ die die zufällige Anzahl der erzielten ungeraden Zahlen bei zwanzig Drehungen des Glücksrades beschreibt. $X$ kann als binomialverteilt mit $n=20$ und $p=\frac{5}{10} =0,5$ betrachtet werden.

$\begin{array}[t]{rll} P(A)&=& P_{0,5}^{20}(X=7)\\[5pt] &=& B(0,5;20;7) \\[5pt] &\approx& 0,0739 \\[5pt] &=& 7,39\,\% \\[10pt] P(B) &=& P_{0,5}^{20}( X\lt 9) \\[5pt] &=& P_{0,5}^{20}(X\leq 8) \\[5pt] &=& F_{0,5}^{20}(8) \\[5pt] &\approx& 0,2517 \\[5pt] &=& 25,17\,\% \\[10pt] P(C)&=& P_{0,5}^{20}(7\lt X\leq12) \\[5pt] &=& P_{0,5}^{20}(X\leq12)-P_{0,5}^{20}(X\leq7) \\[5pt] &=& F_{0,5}^{20}(12)-F_{0,5}^{20}(7) \\[5pt] &\approx& 0,8684 - 0,1316 \\[5pt] &=& 73,68\,\% \end{array}$

a2)

Die beiden Ereignisse $D$ und $E$ sind stochastisch unabhängig, wenn $P(D\cap E) = P(D)\cdot P(E)$ gilt.

Zu Ereignis $D$ gehören insgesamt die folgenden zehn Ergebnisse:

$(0;0),$ $(0;1),$ $(0;2),$ $(0;3)$
$(1;0),$ $(1;1),$ $(1;2)$
$(2;0),$ $(2;1)$
$(3;0)$

Zu Ereignis $E$ gehören insgesamt die folgenden vier Ergebnisse:

$(1;2),$ $(1;3)$
$(2;1)$
$(3;1)$

Die Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisse ergibt sich zu:

$\frac{1}{10}\cdot \frac{1}{10} =\frac{1}{100}$

Mit der Pfadadditionsregel folgt:

$P(D) = 10\cdot \frac{1}{100} =0,1$

$P(E) = 4\cdot \frac{1}{100} = 0,04$

Die Schnittmenge der beiden Ereignisse $D$ und $E$ sind $(1;2)$ und $(2;1),$ somit gilt:

$P(D\cap E)$ $= 2\cdot \frac{1}{100}$ $= 0,02.$

Es folgt:

$P(D)\cdot P(E)$ $= 0,04\cdot 0,1$ $= 0,004 \neq P(D\cap E)$

Somit sind die Ereignisse $D$ und $E$ nicht stochastisch unabhängig.

b1)

Die Spielerin erhält eine Auszahlung, wenn in allen vier Drehungen keine Null erzielt wird.
Die Wahrscheinlichkeit, keine Null zu erzielen beträgt $\frac{9}{10}=0,9.$ Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Spielerin eine Auszahlung erhält, beträgt somit:

$0,9\cdot0,9\cdot0,9\cdot0,9$ $= 0,6561$ $= 65,61\,\%$

Mit einer Wahrscheinlichkeit von $65,61\,\%$ erhält die Spielerin eine Auszahlung.

b2)

$X:$ Wert der Auszahlung in Euro

Jede Zahl hat die gleiche Wahrscheinlichkeit, erzielt zu werden. Somit folgt:

$E(X)$ $= \frac{1}{10}\cdot 0+\frac{1}{10}\cdot61$ $+\frac{1}{10}\cdot 62+\frac{1}{10}\cdot 63$ $+\frac{1}{10}\cdot64+\frac{1}{10}\cdot65$ $+\frac{1}{10}\cdot66+\frac{1}{10}\cdot67$ $+\frac{1}{10}\cdot68+\frac{1}{10}\cdot69$ $= 58,5\,[€]$

b3)

Damit für zwei aufeinanderfolgende Werte von $n$ der Erwartungswert übereinstimmt, muss ein $n$ mit $5n\cdot0,9^n$ $= 5(n+1)\cdot0,9^{n+1}$ existieren. Es folgt:

Rechenweg anzeigen

$n=9$

Der Erwartungswert für die Auszahlung ist somit für $9$ und $10$ Drehungen gleichgroß. Da die Gleichung nur eine Lösung besitzt, kann es zudem keine drei aufeinanderfolgenden Werte für $n$ geben, für die das gilt. Somit ist die Aussage aus der Aufgabenstellung korrekt.

c1)

Art des Tests und Nullhypothese angeben

Ronja bestimmt die größte Anzahl $k,$ damit ihre Vermutung gerade noch gestützt wird. Ist die Anzahl, mit der die Zahl 8 auftritt höher, so kann ihre Vermutung nicht gestützt werden. Es handelt sich daher um einen linksseitigen Hypothesentest mit der Nullhypothese:

$H_0:\, p \geq \frac{1}{10}$

Anzahl $\boldsymbol{k}$ ermitteln

Betrachtet wird die Zufallsgröße $X,$ die die zufällige Anzahl angibt, mit der die Zahl 8 bei 240 Durchführungen auftritt.

$X$ kann als binomialverteilt mit $n=240$ und im Extremfall der Nullhypothese $p=0,1$ angenommen werden.

Gesucht ist das größte $k,$ sodass folgende Gleichung grade noch erfüllt ist:

$P(X\leq k) \leq 0,03$

Durch systematisches Ausprobieren ergibt sich mit dem Taschenrechner:

$P(X\leq 20) \approx 0,2295$

$P(X\leq 15) \approx 0,0279$

$P(X\leq 16) \approx 0,0475$

Das größte $k,$ bei dem Ronjas Vermutung noch gestützt wird, ist also $k=15.$

c2)

Betrachtet wird die Zufallsgröße $X,$ die die zufällige Anzahl angibt, mit der die Zahl 8 bei 175 Durchführungen auftritt.

$X$ kann als binomialverteilt mit $n=175$ und im Extremfall der Nullhypothese $p=0,1$ angenommen werden.

Aufgrund des Verwerfungsbereichs $V=\{0;1;2; ... ; 10\}$ sind ganze Zahlen $r$ gesucht, für die $k=10$ die größte Anzahl ist, sodass folgende Ungleichung erfüllt ist:

$P(X\leq k) \leq r\,\%$

Es gilt:

$P(X\leq 10)\approx 0,0318$

$P(X\leq 11) \approx 0,0587$

Das Signifikanzniveau muss zwischen diesen beiden Werten liegen. Als ganze Zahlen kommen also $r=4$ und $r=5$ infrage.

d1)

Da die Figur immer nur entweder in $x$ -Richtung oder in $y$ -Richtung verschoben wird, kann sie nicht in einem Zug die $x$ - und $y$ -Koordinate $6$ erreichen, wenn sie nicht eines von beidem vorher schon hatte.
Erreicht die Figur allerdings die $x$ -Koordinate $6$ oder die $y$ -Koordinate $6,$ dann ist das Spiel sofort beendet. Es findet also kein weiterer Zug mehr statt, mit dem die Figur auch in die andere Richtung bewegt werden könnte.

d2)

Wenn die Figur auf dem Punkt $P(2\mid 2)$ steht, hat Oskar die Figur seit Spielbeginn einmal bewegt und Ronja zweimal.

Gesucht ist also die Wahrscheinlichkeit dafür, dass bei drei Drehungen, genau einmal eine $7,$ $8$ oder $9$ auftritt. Diese ergibt sich wie folgt:

$P(P(2\mid 2)) = 3 \cdot 0,3\cdot 0,7^2 = 0,441$

Mit einer Wahrscheinlichkeit von $44,1\,\%$ kommt die Figur auf dem Punkt $P(2\mid 2)$ zum Stehen.

d3)

Damit Ronja gewinnt, muss sie die Figur sechsmal bewegen, während Oskar die Figur höchstens zweimal bewegen darf.

Wird mit $X$ die Anzahl der Drehungen beschrieben, bei denen Oskar die Figur bewegen darf, so gibt es drei Fälle, in denen Ronja gewinnt:

Oskar bewegt seine Figur gar nicht. Ronja gewinnt also, indem sechsmal hintereinander eine andere Zahl als $7,$ $8$ oder $9$ getroffen wird:
$P(X=0) = 0,7^6$
Oskar bewegt seine Figur einmal in sieben Drehungen, wobei er sie nicht in der letzten bewegt, da Ronja dann bereits bei der vorherigen Drehung gewonnen hätte:
$P(X=1) = 5\cdot 0,3\cdot 0,7^6$
Oskar bewegt seine Figur zweimal in acht Drehungen, wobei er sie nicht in der letzten Drehung bewegt, da Ronja dann bereits bei der vorherigen Drehung gewonnen hätte:
$P(X=2)= \pmatrix{7\\2}\cdot 0,3^2\cdot 0,7^6$

Insgesamt ergibt sich damit:

Rechenweg anzeigen

$P(X\leq 2)\approx 51,65\,\%$

Zu Beginn des Spiels gewinnt Ronja mit einer Wahrscheinlichkeit von ca. $51,65\,\%.$

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