Analytische Geometrie

Auf einem anderen Flug fliegt die Drohne entlang der Geraden mit Dabei gibt die Zeit in Sekunden nach dem Durchfliegen des Punktes an. Die Drohne kann Signale von einer Sendeanlage mit den Koordinaten und der Reichweite oder von einer Sendeanlage mit den Koordinaten und der Reichweite empfangen.

Gegeben ist die Gleichung

  Koordinaten bestimmen Die Grundfläche besitzt die Form eines Rechteckes. Daraus folgt, dass die Verschiebungsvektoren und parallel zueinander sind und die gleiche Länge besitzen müssen. Somit folgt mit den jeweiligen Ortsvektoren und den Verschiebungsvektoren folgende Gleichung: Damit besitzt der vierte Eckpunkt die Koordinaten .

  Entfernung ermitteln Für die Position der Drohne nach Sekunden folgt: Die Drohne befindet sich somit nach Sekunden an dem Punkt . Damit folgt für die Entfernung der Drohe zum Punkt nach Sekunden mit dem Satz des Pythagoras: Somit beträgt die Entfernung der Drohne zum Punkt .

  Steigungswinkel berechnen Der Steigungswinkel der Flugbahn ist der Winkel zwischen der Geraden und der -Ebene. Für den Normalenvektor der -Ebene gilt . Mit der Formel für den Winkel zwischen einer Ebene und einer Geraden folgt: Somit beträgt der Steigungswinkel etwa .

  Flächeninhalt berechnen Das Haus ist quaderförmig und besitzt eine Höhe von . Außerdem liegt die Grundfläche des Hauses in der -Ebene. Somit folgt, dass die Eckpunkte der Dachfläche den Eckpunkten der Grundfläche entsprechen, welche genau in -Richtung verschoben wurden. Somit folgen die Punkte und . Da die Seitenfläche die Form eines Rechtecks besitzt, folgt für den Flächeninhalt: Somit beträgt der Flächeninhalt der Seitenfläche etwa .

  Auftreffpunkt der Drohne untersuchen Die Fläche liegt in einer Ebene, welche als Spannvektoren die Verbindungsvektoren zwischen den Punkten und als Stützvektor den Ortsvektor zu einem beliebigen Punkt besitzt. Eine mögliche Ebenengleichung in Parameterform lautet wie folgt: Somit folgt, dass die Fläche in der Ebene liegt. Für den Schnittpunkt der Ebene und der Flugbahn der Drohne folgt durch Gleichsetzen: Für die Koordinaten des Schnittpunktes folgt mit der Geradengleichung, welche die Flugbahn der Drohne beschreibt: Der Schnittpunkt der Flugbahn der Drohne und der Ebene besitzt somit die Koordinaten . Somit kann der Schnittpunkt nicht in der Fläche liegen, da die -Koordinate des Schnittpunktes beträgt und alle Punkte in der Fläche maximal als -Koordinate besitzen können. Deshalb wird die Drohne die Fläche nicht treffen.

  Abstand berechnen Die Geradengleichung der Geraden , welche durch die Punkte und verläuft, lautet in Parameterform beispielsweise: Somit gilt . Der Abstand zweier Geraden kann mit einer Hilfsebene bestimmt werden. Für die Hilfsebene welche den Stützvektor der Geraden enthält und als Richtungsvektoren die Richtungsvektoren der Geraden folgt: Die Ebene ist parallel zu der Geraden und enthält die Gerade . Für den Normalenvektor der Ebene folgt mit den Richtungsvektoren: Für die Ebenengleichung in Koordinatenform folgt mit dem Normalenvektor und dem Stützvektor der Ebene: Da die Gerade parallel zu der Ebene ist, genügt es den Abstand der Ebene zu einem beliebigen Punkt auf der Geraden zu bestimmen. Mit dem Stützvektor der Geraden und der Hesseschen Normalform folgt für den Abstand der Geraden zur Geraden : Somit beträgt der Abstand den die Flugbahn der Drohne zur Gerade besitzt etwa .

  Koordinaten eines Punktes bestimmen Die Drohne verlässt den Sendebereich der Sendeanlange , falls der Abstand der Drohne zu der Sendeanlange größer als ist. Somit gilt für den Zeitpunkt, zudem die Drohne den Sendebereich der Sendeanlange verlässt, dass der Abstand genau beträgt. Damit folgt mit der Geradengleichung und den Koordinaten der Sendeanlage folgende Gleichung: Damit folgt für die Koordinaten des Punktes : Somit folgt für den Punkt .   Sendebereich überprüfen Die Drohne ist an dem Punkt bereits im Sendebereich der Sendeanlage , falls der Abstand des Punktes zur Sendeanlage kleiner gleich der Reichweite von ist. Für den Abstand folgt: Somit beträgt der Abstand etwa und ist damit kleiner als die Reichweite von . Das bedeutet, dass sich die Drohne bereits im Sendebereich von befindet.

  Koordinaten eines Punktes bestimmen Die Drohne verlässt den Sendebereich der Sendeanlange , falls der Abstand der Drohne zu der Sendeanlange größer als ist. Somit gilt für den Zeitpunkt, zudem die Drohne den Sendebereich der Sendeanlange verlässt, dass der Abstand genau beträgt. Damit folgt mit der Geradengleichung und den Koordinaten der Sendeanlage folgende Gleichung: Damit folgt für die Koordinaten des Punktes : Somit folgt für den Punkt .   Sendebereich überprüfen Die Drohne ist an dem Punkt bereits im Sendebereich der Sendeanlage , falls der Abstand des Punktes zur Sendeanlage kleiner gleich der Reichweite von ist. Für den Abstand folgt: Somit beträgt der Abstand etwa und ist damit kleiner als die Reichweite von . Das bedeutet, dass sich die Drohne bereits im Sendebereich von befindet.

  Lösung untersuchen Durch Einsetzen des Vektors folgt: Somit ist der Vektor eine Lösung der Gleichung.

  Lösungsmenge geometrisch interpretieren Das Kreuzprodukt zweier Vektoren ist genau dann gleich dem Nullvektor, falls die Vektoren linear abhängig sind. Somit folgt daraus, dass es für jede Lösung ein gibt, so dass folgende Gleichung erfüllt ist: Daraus folgt, dass jede Lösung auf der folgenden Gerade liegt: Somit lässt sich die Lösungsmenge geometrisch als Gerade interpretieren.

  Koordinaten bestimmen Die Grundfläche besitzt die Form eines Rechteckes. Daraus folgt, dass die Verschiebungsvektoren und parallel zueinander sind und die gleiche Länge besitzen müssen. Somit folgt mit den jeweiligen Ortsvektoren und den Verschiebungsvektoren folgende Gleichung: Damit besitzt der vierte Eckpunkt die Koordinaten .

  Entfernung ermitteln Für die Position der Drohne nach Sekunden folgt: Die Drohne befindet sich somit nach Sekunden an dem Punkt . Damit folgt für die Entfernung der Drohe zum Punkt nach Sekunden mit dem Satz des Pythagoras: Somit beträgt die Entfernung der Drohne zum Punkt .

  Steigungswinkel berechnen Der Steigungswinkel der Flugbahn ist der Winkel zwischen der Geraden und der -Ebene. Für den Normalenvektor der -Ebene gilt . Mit der Formel für den Winkel zwischen einer Ebene und einer Geraden folgt: Somit beträgt der Steigungswinkel etwa .

  Flächeninhalt berechnen Das Haus ist quaderförmig und besitzt eine Höhe von . Außerdem liegt die Grundfläche des Hauses in der -Ebene. Somit folgt, dass die Eckpunkte der Dachfläche den Eckpunkten der Grundfläche entsprechen, welche genau in -Richtung verschoben wurden. Somit folgen die Punkte und . Da die Seitenfläche die Form eines Rechtecks besitzt, folgt für den Flächeninhalt: Somit beträgt der Flächeninhalt der Seitenfläche etwa .

  Auftreffpunkt der Drohne untersuchen Die Fläche liegt in einer Ebene, welche als Spannvektoren die Verbindungsvektoren zwischen den Punkten und als Stützvektor den Ortsvektor zu einem beliebigen Punkt besitzt. Eine mögliche Ebenengleichung in Parameterform lautet wie folgt: Somit folgt, dass die Fläche in der Ebene liegt. Für den Schnittpunkt der Ebene und der Flugbahn der Drohne folgt durch Gleichsetzen: Für die Koordinaten des Schnittpunktes folgt mit der Geradengleichung, welche die Flugbahn der Drohne beschreibt: Der Schnittpunkt der Flugbahn der Drohne und der Ebene besitzt somit die Koordinaten . Somit kann der Schnittpunkt nicht in der Fläche liegen, da die -Koordinate des Schnittpunktes beträgt und alle Punkte in der Fläche maximal als -Koordinate besitzen können. Deshalb wird die Drohne die Fläche nicht treffen.

  Abstand berechnen Die Geradengleichung der Geraden , welche durch die Punkte und verläuft, lautet in Parameterform beispielsweise: Somit gilt . Der Abstand zweier Geraden kann mit einer Hilfsebene bestimmt werden. Für die Hilfsebene welche den Stützvektor der Geraden enthält und als Richtungsvektoren die Richtungsvektoren der Geraden folgt: Die Ebene ist parallel zu der Geraden und enthält die Gerade . Für den Normalenvektor der Ebene folgt mit den Richtungsvektoren: Für die Ebenengleichung in Koordinatenform folgt mit dem Normalenvektor und dem Stützvektor der Ebene: Da die Gerade parallel zu der Ebene ist, genügt es den Abstand der Ebene zu einem beliebigen Punkt auf der Geraden zu bestimmen. Mit dem Stützvektor der Geraden und der Hesseschen Normalform folgt für den Abstand der Geraden zur Geraden : Somit beträgt der Abstand den die Flugbahn der Drohne zur Gerade besitzt etwa .

  Koordinaten eines Punktes bestimmen Die Drohne verlässt den Sendebereich der Sendeanlange , falls der Abstand der Drohne zu der Sendeanlange größer als ist. Somit gilt für den Zeitpunkt, zudem die Drohne den Sendebereich der Sendeanlange verlässt, dass der Abstand genau beträgt. Damit folgt mit der Geradengleichung und den Koordinaten der Sendeanlage folgende Gleichung: Damit folgt für die Koordinaten des Punktes : Somit folgt für den Punkt .   Sendebereich überprüfen Die Drohne ist an dem Punkt bereits im Sendebereich der Sendeanlage , falls der Abstand des Punktes zur Sendeanlage kleiner gleich der Reichweite von ist. Für den Abstand folgt: Somit beträgt der Abstand etwa und ist damit kleiner als die Reichweite von . Das bedeutet, dass sich die Drohne bereits im Sendebereich von befindet.

  Zeit bestimmen Der Abstand einer Ebenen und einer Geraden kann durch die Hessesche Normalform bestimmt werden. Ein Normalenvektor der Ebene lautet und der Parameter der Ebenengleichung . Ein allgemeiner Punkt auf der Geraden besitzt die Koordinaten . Somit folgt mit der Hesseschen Normalform und folgende Gleichung: Mit dem Solve-Befehl des CAS folgt: und Hierbei ist gegeben, dass die Drohne auf den Luftraum zufliegt. Somit ist die geringste Zeit gesucht, für welche die Gleichung gilt. Somit folgt, dass Sekunden nach dem Durchfliegen des Punktes die Drohne nur noch einen Abstand von besitzt.

  Lösung untersuchen Durch Einsetzen des Vektors folgt: Somit ist der Vektor eine Lösung der Gleichung.

  Lösungsmenge geometrisch interpretieren Das Kreuzprodukt zweier Vektoren ist genau dann gleich dem Nullvektor, falls die Vektoren linear abhängig sind. Somit folgt daraus, dass es für jede Lösung ein gibt, so dass folgende Gleichung erfüllt ist: Daraus folgt, dass jede Lösung auf der folgenden Gerade liegt: Somit lässt sich die Lösungsmenge geometrisch als Gerade interpretieren.