Analytische Geometrie

Im Koordinatensystem ist der Streckenzug abgebildet, der aus den Strecken $\overline{A B},$ $\overline{B C}$ und $\overline{C D}$ besteht mit $A(11\mid 11\mid 0),$ $B(-11\mid 11\mid 28),$ $C(11\mid -11\mid 28)$ und $D(-11\mid -11\mid 0).$

Die Punkte $A,$ $B,$ $C$ und $D$ sind Eckpunkte eines Quaders, der gestrichelt dargestellt ist.

Quader - Schleswig-Holstein Abi 2022 (Analytische Geometrie)

a1)

Zeichne den Mittelpunkt $M$ der Strecke $\overline{A B}$ in die obige Abbildung und gib seine Koordinaten an.

(2 P)

a2)

Prüfe rechnerisch, ob der Punkt $N(-9\mid -11\mid 3)$ auf der Strecke $\overline{C D}$ liegt.

(5 P)

a3)

Berechne die Länge des abgebildeten Streckenzuges.

(3 P)

Die Ebene $E$ enthält die Punkte $A,$ $B$ und $C.$

b1)

Bestimme eine Gleichung von $E$ in Koordinatenform.

[Kontrolle: $\left.\quad 14 x_{1}+14 x_{2}+11 x_{3}=308\right]$

(4 P)

b2)

Der Abstand des Punktes $D$ von der Ebene $E$ wird mit $d$ bezeichnet.

Berechne den Wert von $d$ .
Begründe, dass der Term $\frac{d}{6} \cdot|\overrightarrow{A B} \times \overrightarrow{B C}|$ das Volumen der Pyramide $A B C D$ angibt.

(6 P)

b3)

Berechne die Größe $\varphi$ des Winkels, unter dem $E$ die $x_{1} x_{2}$ -Ebene schneidet.

(4 P)

Für jede reelle Z a h l $h$ wird der Punkt $P_{h}(0\mid 0\mid h)$ betrachtet.

c1)

Beschreibe die Lage des Punktes $P_{h}$ für $0 \lt h\lt 28.$

(2 P)

c2)

Bestimme die beiden Werte von $h,$ so dass ein Dreieck $B P_{h} C$ mit rechtem Winkel bei $P_{h}$ vorliegt, und gib alle Werte von $h$ an, für die sich ein stumpfwinkliges Dreieck $B P_{h} C$ ergibt.

(6 P)

c3)

Im Folgenden liegt der Punkt $P_{h}$ innerhalb des Quaders und hat von den drei Strecken $\overline{A B},$ $\overline{B C}$ und $\overline{C D}$ den gleichen Abstand. Das folgende Gleichungssystem liefert den Wert von $h:$

$\text{I}$

$\overrightarrow{O Q}=\left(\begin{array}{c}11 \\ 11 \\ 0\end{array}\right)+t \cdot\left(\begin{array}{c}-22 \\ 0 \\ 28\end{array}\right),$ $t \in[0 ; 1]$

$\text{II}$

$\overrightarrow{P_{h} Q} \circ \overrightarrow{A B}=0$

$\text{III}$

$\left|\overrightarrow{P_{h} Q}\right|=28-h$

Erläutere die Überlegungen, die diesem Vorgehen zur Bestimmung des Werts von $h$ zugrunde liegen.

(4 P)

Der Streckenzug wird schließlich zur Modellierung des abgebildeten Gebäudes verwendet.

Das Gebäude wird mit verschiedenen Blickrichtungen betrachtet.

d1)

Die folgenden Abbildungen stellen das Gebäude für zwei Blickrichtungen schematisch dar.

Mecklenburg-Vorpommern Abi 2022 Saarpolygon Abbildung 3

Mecklenburg-Vorpommern Abi 2022 Saarpolygon Abbildung 4

Gib zu jeder der beiden Abbildungen einen möglichen Vektor an, der die zugehörige Blickrichtung beschreibt.

(2 P)

d2)

Stelle das Gebäude schematisch für eine Betrachtung von oben dar.

(2 P)

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a1)

Mittelpunkt - Schleswig-Holstein Abi 2022 (Analytische Geometrie)

Die Koordinaten ergeben sich aus denen von $A$ und $B:$

$M\left(\frac{11+(-11)}{2}\,\bigg \vert\, \frac{11+11}{2}\,\bigg \vert\, \frac{0+28}{2}\right)$ $= M(0\mid 11\mid 14)$

a2)

Die Strecke $\overline{CD}$ ist Teil der Geraden $g_{CD}$ durch $C$ und $D$ mit:

$g_{CD}: \overrightarrow{x} =\overrightarrow{OC}+r \cdot \overrightarrow{C D}$ $=\pmatrix{11 \\ -11 \\ 28}+r \cdot\pmatrix{-22 \\ 0 \\ -28},$ $r\in \mathbb{R}$

Durch die Punktprobe mit $N$ ergibt sich:

Rechenweg anzeigen

$\pmatrix{-20 \\ 0 \\ -25} = r \cdot\pmatrix{-22 \\ 0 \\ -28}$

Daraus ergibt sich folgendes Gleichungssystem:

$\begin{array}{lrll} \text{I}\quad& -20 &=& -22r &\quad \scriptsize\mid\;:(-22)\\[5pt] & \frac{10}{11} &=& r\\[5pt] \text{II}\quad& 0 &=& 0r \\[5pt] & 0 &=& 0 \\[5pt] \text{III}\quad& -25 &=& -28r &\quad \scriptsize\mid\;:(-28) \\[5pt] & \frac{25}{28} &=& r \end{array}$

Die Gleichungen $\text{I}$ und $\text{III}$ stehen also im Widerspruch zueinander, sodass es keinen Wert für $r$ gibt, für den das Gleichungssystem erfüllt ist.

Der Punkt $N$ liegt also nicht auf der Geraden $g_{CD}$ und kann damit inbesondere nicht auf der Strecke $\overline{CD}$ liegen.

a3)

Die Länge des Streckenzugs ergibt sich aus den Beträgen der drei einzelnen Verbindungsvektoren:

Rechenweg anzeigen

$l\approx 102,33\,\text{[LE]}$

b1)

Mit dem Kreuzprodukt lässt sich ein Normalenvektor von $E$ berechnen. Das Kreuzprodukt kann mit dem Taschenrechner berechnet werden:

$\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{BC} = \pmatrix{-22 \\ 0 \\ 28} \times\pmatrix{22 \\ -22 \\ 0}$ $=\pmatrix{616 \\ 616 \\ 484}=44 \cdot\pmatrix{14 \\ 14 \\ 11}$

Als Normalenvektor kann also der gekürzte Vektor $\vec{n}=\pmatrix{14\\14\\11}$ verwendet werden.

Einsetzen in die allgemeine Ebenengleichung in Koordinatenform und Durchführen einer Punktprobe beispielsweise mit $A$ ergibt:

Rechenweg anzeigen

$e = 308$

Eine Gleichung von $E$ in Koordinatenform lautet also:

$E:\quad 14x_1 + 14x_2 +11x_3 = 308$

b2)

Abstand berechnen

Der Abstand eines Punkts zu einer Ebene lässt sich mit der entsprechenden Formel bzw. der Hesseschen Normalenform berechnen:

$d =\left|\dfrac{14 \cdot(-11)+14 \cdot(-11)+11 \cdot 0-308}{\sqrt{14^{2}+14^{2}+11^{2}}}\right|$ $=\dfrac{616}{\sqrt{513}} \approx 27,20$

Bedeutung des Terms begründen

Als Grundfläche der Pyramide $A B C D$ kann die Fläche des Dreiecks $A B C$ betrachtet werden. Ihr Inhalt ist $G=\frac{1}{2} \cdot|\overrightarrow{A B} \times \overrightarrow{B C}|.$ In der Pyramide ist die zugehörige Spitze dann der Punkt $D,$ die Höhe folglich $d$ und das Volumen $\frac{1}{3} \cdot G \cdot d=\frac{d}{6} \cdot|\overrightarrow{A B} \times \overrightarrow{B C}|$ .

b3)

Mit dem Normalenvektor $\pmatrix{0 \\ 0 \\ 1}$ der $x_{1} x_{2}$ -Ebene und der Formel für den Schnittwinkel zweier Ebenen ergibt sich

$\cos (\varphi)=\frac{\pmatrix{14 \\ 14 \\ 11}\circ\pmatrix{0 \\ 0 \\ 1}}{\pmatrix{14 \\ 14 \\ 11} \cdot\pmatrix{0 \\ 0 \\ 1}}=\frac{11}{\sqrt{513}}$ und damit $\varphi = \cos^{-1}\left(\frac{11}{\sqrt{513}}\right) \approx 60,94^{\circ}.$

c1)

$P_{h}$ liegt auf der $x_{3}$ -Achse im Bereich $0 \lt x_{3} \lt 28$ bzw. innerhalb des Quaders.

c2)

Parameterwerte für rechten Winkel bestimmen

Damit bei $P_h$ ein rechter Winkel vorliegt, muss das Skalarprodukt von $\overrightarrow{BP_h}$ und $\overrightarrow{P_hC}$ Null ergeben:

Mit $\overrightarrow{B P_{h}}=\pmatrix{11 \\ -11 \\ h-28}$ und $\overrightarrow{C P_{h}}=\pmatrix{-11 \\ 11 \\ h-28}$ gilt:

Rechenweg anzeigen

$\begin{array}[t]{rll} h_1 &=& 28-11 \cdot \sqrt{2} \\[5pt] h_2 &=& 28+ 11 \cdot \sqrt{2} \end{array}$

Für $h_1 = 28-11 \cdot \sqrt{2}$ und $h_2= 28 +11 \cdot \sqrt{2}$ besitzt das Dreieck $BP_hC$ bei $P_h$ einen rechten Winkel.

Parameterwerte für ein stumpfwinkliges Dreieck angeben

Je näher der Punkt $P_h$ an der Strecke $\overline{BC}$ liegt, desto stumpfer wird der Winkel bei $P_h.$
Da sich für $h_1$ und $h_2$ ein rechter Winkel ergibt, ist das Dreieck $BP_hC$ daher für alle reellen Zahlen $h$ mit $28-11 \cdot \sqrt{2}\lt h\lt 28+11 \cdot \sqrt{2}$ stumpfwinklig.

c3)

$\text{I}\quad$ $Q$ ist ein Punkt auf der Strecke $\overline{AB}.$

$\text{II}\;\;$ $\overline{P_{h}Q}$ ist senkrecht zu $\overline{A B},$ also ist $\left|\overline{P_{h} Q}\right|$ der Abstand von $P_{h}$ zu $\overline{A B}.$

$\text{III}\,$ Dieser Abstand stimmt mit $28-h,$ dem Abstand von $P_{h}$ zu $\overline{B C}$ , überein.

d1)

Die erste Abbildung zeigt eine seitliche Ansicht, also beispielsweise $\pmatrix{0\\1\\0}.$

Die zweite Abbildung zeigt eine seitliche Ansicht aus der Richtung einer Ecke, also beispielsweise $\pmatrix{1\\-1\\0}.$

d2)

Ansicht von oben - Schleswig-Holstein Abi 2022 (Analytische Geometrie)

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