Analysis 1

Gegeben ist die Schar der in $\mathbb{R}$ definierten Funktionen $f_a$ mit

$f_a(x)=\mathrm e^x \cdot(x-a)^2$ mit $a \in \mathbb{R} .$

Der Graph von $f_a$ wird mit $G_a$ bezeichnet. Jeder Graph der Schar hat genau einen Hochpunkt und genau einen Tiefpunkt. Die Abbildung 1 zeigt $G_{\frac{3}{2}}$ .

Funktionenschar Exponentialfunktion Mathe Abi Hessen 2023

Abbildung 1

a1)

$G_{\frac{3}{2}}$ nimmt in einem seiner Wendepunkte seine kleinste Steigung an.

Bestimme diese Steigung rechnerisch.

(4 P)

a2)

$G_a$ hat mit jeder der beiden Koordinatenachsen genau einen gemeinsamen Punkt.

Gib die Koordinaten dieser Punkte an.
Begründe anhand des Funktionsterms, dass der gemeinsame Punkt mit der $x$ -Achse der Tiefpunkt von $G_a$ ist.

(3 P)

a3)

Es gibt einen positiven Wert von $a,$ für den $G_a$ und die Koordinatenachsen eine Fläche mit dem Inhalt 3 einschließen.

Bestimme diesen Wert von $a.$

(3 P)

a4)

Für jeden Wert von $a$ mit $a \neq 0$ schließt die Gerade durch die beiden Extrempunkte von $G_a$ mit den Koordinatenachsen ein Dreieck ein.

Berechne denjenigen Wert von $a,$ für den dieses Dreieck gleichschenklig ist.

(5 P)

Betrachtet wird die Schar der in $\mathbb{R}$ definierten Funktionen $f_{a, b}$ mit

$f_{a, b}(x)=\mathrm e^x \cdot\left((x-a+b)^2-b\right)$ mit $a, b \in \mathbb{R}.$

Es gilt $f_{a, 0}(x)=f_a(x).$ Der Graph von $f_{a, b}$ wird mit $G_{a, b}$ bezeichnet.

b1)

Für positive Werte von $b$ hat $G_{a, b}$ zwei Schnittpunkte mit der $x$ -Achse. Für jeden Wert von $a$ wird der Abstand dieser beiden Schnittpunkte betrachtet.

Zeige rechnerisch, dass dieser Abstand unabhängig von $a$ ist.

(3 P)

Erhöht man im Term von $f_{a,b}$ den Wert von $b$ um 1, so erhält man einen Term der ersten Ableitungsfunktion von $f_{a,b}.$ Es gilt also $\(f_{a,b}$

b2)

Die Abbildung 2 zeigt für einen bestimmten Wert von $a$ die Graphen zweier Funktionen der Schar, bei denen sich die Werte von $b$ um 1 unterscheiden.

Entscheide, welcher der beiden Graphen $\text{I}$ und $\text{II}$ zum größeren Wert von $b$ gehört, und begründe deine Entscheidung.

Abbildung 2

(3 P)

b3)

Für jeden Wert von $a$ gilt $f_{a, 0}(a)=0 \wedge f_{a, 1}(a)=0 \wedge f_{a, 2}(a) \neq 0.$

Gib die Bedeutung dieser Tatsache für die Graphen der Funktionen $f_{a,-1}$ an.

(3 P)

Der Schalldruckpegel (im Folgenden vereinfacht als Lautstärke bezeichnet) von Wecktönen kann durch Funktionen beschrieben werden.
Die Lautstärke eines bestimmten Wecktons wird durch die in $[0 ; 4]$ definierte Funktion $h$ mit

$h(x)= \begin{cases}-8 x^2+25 x & \text {für } 0 \leq x \leq 2 \\ -8 x^2+57 x-64 & \text {für } 2 \lt x \leq 4\end{cases}$

beschrieben. Dabei ist $x$ die seit Beginn des Wecktons vergangene Zeit in Sekunden und $h(x)$ die Lautstärke in Dezibel. Die Abbildung 3 zeigt einen Teil des Graphen von $h$ .

Lautstärke - Schleswig-Holstein Abi CAS 2023

Abbildung 3

c1)

Zeige, dass der Graph von $h$ bei $x=2$ keinen Sprung aufweist, und zeichne den vollständigen Graphen von $h$ in die Abbildung 3.

(4 P)

c2)

Berechne den Zeitpunkt, zu dem der Weckton die größte Lautstärke hat, und gib diese Lautstärke an.

(4 P)

c3)

Berechne unter Verwendung der folgenden Information die durchschnittliche Lautstärke des Wecktons von $h.$

Der durchschnittliche Funktionswert von $h$ im Intervall $[a;b]$ stimmt mit der Höhe eines Rechtecks überein, das die beiden folgenden Eigenschaften hat:

Das Rechteck hat die Breite $b - a.$

Das Rechteck hat den gleichen Inhalt wie die Fläche, die für $a\leq x \leq b$ zwischen dem Graphen von $h$ und der $x$ -Achse liegt.

(4 P)

c4)

Dem Graphen von $h$ ist zu entnehmen, dass der Weckton innerhalb der ersten zwei Sekunden bestimmte Lautstärken zweimal annimmt. Zwei Zeitpunkte mit gleicher Lautstärke haben jeweils einen bestimmten Abstand.

Bestimme rechnerisch den größten dieser Abstände.

(4 P)

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a1)

1. Schritt: Ableitungen bestimmen

Mit dem CAS können die ersten beiden Ableitungen von $f_{\frac{3}{2}}$ bestimmt werden:

$\(\begin{array}[t]{rll} f_{\frac{3}{2}}$

$\( f_{\frac{3}{2}}$

Vollständige Ableitung anzeigen

2. Schritt: Notwendige Bedingung für Wendestellen anwenden

$\( f_{\frac{3}{2}}$

Rechnung anzeigen

Mit dem solve-Befehl des CAS folgen die Wendestellen mit $x_1\approx -1,914$ und $x_2\approx 0,914.$

Da in der Aufgabenstellung gegeben ist, dass es mehrere Wendepunkte gibt, kann auf die Anwendung der hinreichenden Bedingung verzichtet werden.

3. Schritt: Steigung bestimmen

$\( f_{\frac{3}{2}}$

Rechenweg anzeigen

$\( f_{\frac{3}{2}}$

Der Graph $G_{\frac{3}{2}}$ nimmt somit an der Wendestelle $x=0,914$ seine kleinste Steigung von etwa $-2,067$ an.

a2)

Koordinaten angeben

Gemeinsamen Punkt mit der $x$ -Achse bestimmen:

Aus $f_a(x)=0$ folgt mit dem solve-Befehl des CAS $x=a.$

Gemeinsamen Punkt mit der $y$ -Achse bestimmen:

$\begin{array}[t]{rll} f_a(0)&=& \mathrm e^0\cdot (0-a)^2 &\\[5pt] &=& a^2 &\\[5pt] \end{array}$

Die Koordinaten der gemeinsamen Punkte folgen also mit $P_x(a \mid 0)$ und $P_y(0\mid a^2).$

Begründung

Wegen $\mathrm e^x\gt 0$ und $(x-a)^2\geq 0$ gilt für den gesamten Definitionsbereich von $f_a$ :

$f_a(x) \geq 0$

Da es laut Aufgabenstellung genau einen Tiefpunkt gibt, entspricht dieser somit dem Punkt $P_x(a\mid 0).$

a3)

Es soll gelten:

$\begin{array}[t]{rll} \displaystyle\int_{0}^{a}f_a(x)\;\mathrm dx&=& 3& \\[5pt] \displaystyle\int_{0}^{a}\mathrm e^x\cdot (x-a)^2\;\mathrm dx&=& 3 & \\[5pt] \end{array}$

Mit dem solve-Befehl des CAS ergibt sich $a\approx1,76.$

a4)

1. Schritt: Extrempunkte bestimmen

Notwendige Bedingung für Extremstellen anwenden:

$\( f_a$

Vollständigen Rechenweg anzeigen

Mit dem Satz vom Nullprodukt folgt $x-a=0$ und $x-a+2=0$ und somit $x_1=a$ und $x_2=a-2.$

Da in der Aufgabenstellung gegeben ist, dass es genau zwei Extrempunkte gibt, kann auf das Anwenden der hinreichenden Bedingung verzichtet werden.

Für die $y$ -Koordinate des Hochpunkts gilt:

$\begin{array}[t]{rll} f_a(a-2)&=& \mathrm e^{a-2}\cdot (a-2-a)^2& \\[5pt] &=& 4\mathrm e^{a-2} \end{array}$

Die Koordinaten der Extrempunkte sind somit gegeben durch $H(a-2 \mid 4\mathrm e^{a-2})$ und $T(a \mid 0).$

2. Schritt: Steigung der Geraden bestimmen

Die Steigung $m$ der Gerade durch die beiden Extrempunkte ist gegeben durch:

$\begin{array}[t]{rll} m&=& \dfrac{f_a(a-2)-f_a(a)}{(a-2)-a} & \\[5pt] &=& \dfrac{4\mathrm e^{a-2}-0}{-2} & \\[5pt] &=& -2\mathrm e^{a-2} \end{array}$

3. Schritt: Gleichschenkligkeit prüfen

Das Dreieck ist genau dann gleichschenklig, wenn gilt:

$\begin{array}[t]{rll} m&=& -1& \\[5pt] -2\mathrm e^{a-2}&=& -1&\quad \scriptsize \mid\; CAS\\[5pt] a&\approx& 1,3 & \\[5pt] \end{array}$

b1)

1. Schritt: Schnittstellen mit der $x$ -Achse berechnen

Rechenweg anzeigen

$x=\pm\sqrt{b}+a-b$

In Abhängigkeit von $a$ und $b$ sind die Schnittstellen des Graphen von $f_{a,b}$ mit der $x$ -Achse somit gegeben durch $x_1=a-b-\sqrt{b}$ und $x_2=a-b+\sqrt{b}.$

2. Schritt: Abstand berechnen

$|x_1-x_2|=2\sqrt{b}$

Rechenweg anzeigen

Somit ist der Abstand der beiden Schnittpunkte unabhängig von $a.$

b2)

Die Nullstelle von $\text{I}$ entspricht der Extremstelle von $\text{II}$ und deutet somit darauf hin, dass der Graph $\text{I}$ zur Ableitungsfunktion von der in Graph $\text{II}$ dargestellten Funktion gehört.

Umgekehrt kommt Graph $\text{II}$ nicht als Ableitungsfunktion von Graph $\text{I}$ infrage, da an der Stelle, an der Graph $\text{I}$ einen Tiefpunkt hat, der Graph $\text{II}$ keine Nullstelle besitzt.

Graph $\text{I}$ gehört folglich zum größeren Wert von $b.$

b3)

Wegen $\(f_{a,b}$ gilt:

$\(f_{a,-1}$

Der Graph von $f_{a,-1}$ besitzt an der Stelle $x=a$ also eine waagerechte Tangente. Zudem gilt:

$\(f_{a,-1}$

Somit sind die notwendige und hinreichende Bedingung für Wendestellen des Graphen von $F_{a,-1}$ erfüllt.

Die Graphen der Funktionenschar $f_{a,-1}$ besitzen somit an der Stelle $x=a$ einen Wendepunkt mit waagerechter Tangente, also einen Sattelpunkt.

c1)

Zeigen, dass der Graph keinen Sprung aufweist

Für die Annäherungen von beiden Seiten an $x=2$ muss gelten:

$\begin{array}[t]{rll} -8\cdot 2^2 +25\cdot 2 &=& -8\cdot 2^2 +57\cdot 2 -64 \\[5pt] 18 &=& 18 \end{array}$

Da die Funktionswerte von $h$ für $x=2$ also von beiden Seiten gleich sind folgt, dass der Graph von $h$ keinen Sprung an der Stelle $x=2$ aufweist.

Vollständigen Graphen zeichnen

c2)

Zeitpunkt berechnen

Dem Graphen kann entnommen werden, dass die größte Lautstärke für $2\lt x \leq 4$ erzielt wird.

Für $2\lt x \leq 4$ gilt für die erste Ableitung von $h:$

$\(h$

Mit der notwendigen Bedingung für Extremstellen und dem solve-Befehl des CAS folgt für $2\lt x \leq 4:$

$\(\begin{array}[t]{rll} h$

Die größte Lautstärke wird somit nach etwa 3,57 Sekunden erreicht.

Lautstärke angeben

Einsetzen von $x=3,57$ in die Funktionsgleichung von $h$ liefert:

$h(3,57) = -8\cdot 3,57^2 + 57\cdot 3,57 -64 \approx 37,5$

Die größte Lautstärke des Wecktons beträgt somit etwa 37,5 Dezibel.

c3)

1. Schritt: Fläche zwischen dem Graphen von $\boldsymbol{h}$ und der $\boldsymbol{x}$ -Achse bestimmen

Rechenweg anzeigen

$\displaystyle\int_{0}^{4}h(x)\;\mathrm dx \approx 93,34$

2. Schritt: Höhe des Rechtecks bestimmen

Die Breite des Rechtecks ist gegeben durch $b-a=4-0=4.$

Da das Rechteck den gleichen Inhalt wie die Fläche zwischen dem Graphen von $h$ und der $x$ -Achse besitzt, folgt die Höhe $h_R$ mit:

$\begin{array}[t]{rll} 4\cdot h_R&\approx& 93,34 &\quad \scriptsize \mid\; :4 \\[5pt] h_R&\approx& 23,34 \end{array}$

Die durchschnittliche Lautstärke des Wecktons beträgt somit etwa 23,34 Dezibel.

c4)

Dem Graphen von $h$ kann entnommen werden, dass der Abstand zwischen zwei Punkten mit gleichem Funktionswert im Bereich $0\leq x\leq 2$ für $f(2)$ am größten ist.

An der Stelle $x=2$ gilt:

$h(2)= -8\cdot 2^2 +25\cdot 2 = 18$

Für den Zeitpunkt, zu dem die Lautstärke genauso hoch ist wie 2 Sekunden nach dem Start des Wecktons, gilt:

$\begin{array}[t]{rll} -8\cdot x^2 +25\cdot x &=& 18 &\quad \scriptsize \mid\; CAS \\[5pt] x_1 &=& 1,13\\[5pt] x_2 &=& 2 \end{array}$

Der größte Abstand zwischen den beiden Zeitpunkten mit gleicher Lautstärke beträgt somit $2-1,13=0,87$ Sekunden.

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