Analysis 2

Auf einer Waldfläche wurden neue Fichten gepflanzt. Alle Fichten hatten zum Zeitpunkt der Pflanzung eine Höhe von $50\,\text{cm}.$

Betrachtet wird die Rate des Höhenwachstums der Fichten in Abhängigkeit von der Zeit.
Diese Wachstumsrate wird durch die Funktion $w$ mit

$w(t)=60\cdot\mathrm e^{-\frac{1}{3000}\cdot(t-40)^2}$ und $t\geq0$

modellhaft beschrieben. Dabei ist $t$ die seit der Pflanzung vergangene Zeit in Jahren und $w(t)$ die Wachstumsrate in der Einheit Zentimeter pro Jahr $\left(\frac{\text{cm}}{\text{a}}\right).$ Die Abbildung zeigt den Graphen von $w.$

Grafik eines mathematischen Diagramms mit einer grünen Kurve, die die Beziehung zwischen y und t darstellt.

a1)

Zeige rechnerisch, dass die Wachstumsrate $40$ Jahre nach Pflanzung am größten ist. Berechne den Zeitraum, in dem die Fichten mehr als $50\frac{\text{cm}}{\text{a}}$ wachsen.

(5 P)

a2)

Ein bestimmter Wert der Wachstumsrate wiederholt sich nach genau $30$ Jahren.
Berechne die beiden zugehörigen Zeitpunkte.
Veranschauliche den Sachverhalt in der obigen Abbildung.

(4 P)

a3)

Geben sie die Bedeutung des Terms $\frac{1}{100}\cdot\left(50+\displaystyle\int_{0}^{60}w(t) \mathrm dt\right)$ im Sachzusammenhang an und begründe deine Angabe.
Skizziere die Höhe der Fichten in Abhängigkeit von der Zeit für die ersten $160$ Jahre nach der Pflanzung.

(5 P)

In einem anderen Modell wird die Höhe der Fichten in Abhängigkeit von der Zeit mit Hilfe der Funktion $h$ mit

$h(t)=50\cdot\dfrac{\mathrm e^{\frac{1}{10}\cdot t}}{\mathrm e^{\frac{1}{10}\cdot t}+99}$ und $t\geq0$

beschrieben. Dabei ist $t$ die seit der Pflanzung vergangene Zeit in Jahren und $h(t)$ die Höhe in der Einheit Meter. Der Graph von $h$ hat genau einen Wendepunkt $W.$

b1)

Bestimme die Koordinaten von $W.$

$\left[\text{Zur Kontrolle:} \,\ W(10\ln(99)\mid25)\right]$

(3 P)

b2)

Eine Zeitschrift aus dem Jahr $1911$ enthält folgenden Textabschnitt:

"Von unseren einheimischen Bäumen steht die Fichte hinsichtlich ihres Höhenwachstums obenan, und zwar mit 37 Zentimetern durchschnittlich im Jahre. Doch sind von Forstbeamten Ausnahmen beobachtet worden, in denen Fichten in einem Jahre bis zu 150 Zentimeter ihrer Länge zusetzen."

(Quelle: Walther Kabel: Wachstumsgeschwindigkeit bei Pflanzen. In: Das Buch für Alle. Jahrgang 1911, Heft 1, Union Deutsche Verlagsgesellschaft. Stuttgart 1911, S. 23.)

Vergleiche die durch die Funktion $h$ bestimmte maximale Wachstumsgeschwindigkeit mit der entsprechenden Angabe in diesem Textabschnitt.

(3 P)

b3)

Gib eine Gleichung der Tangente an den Graphen von $h$ im Punkt $W$ an.
Die Höhe der Fichten kann im Zeitintervall von $40$ bis $50$ Jahren nach Pflanzung näherungsweise durch diese Tangente beschrieben werden.
Bestimme die maximale prozentuale Abweichung im Vergleich zur Beschreibung mit Hilfe von $h.$

(4 P)

Um den Verkaufswert eines Baumstamms zu bestimmen, wird dessen Durchmesser in einer Höhe von $1,3\,\ \text{m}$ verwendet. Dieser wird als Brusthöhendurchmesser (BHD) bezeichnet.

Für einen BHD ab $15\,\ \text{cm}$ kann der Verkaufspreis von Fichtenstämmen in Abhängigkeit vom BHD näherungsweise mithilfe einer quadratischen Funktion bestimmt werden. Die Tabelle stellt für drei BHD den jeweiligen Preis dar.
Ermittle den Preis für einen Fichtenstamm mit einem BHD von $66\,\ \text{cm}.$

Tabelle mit BHD und Preisen für verschiedene Größen: 15cm, 40cm und 60cm.

(4 P)

Der BHD einer Fichte in Abhängigkeit von der Zeit $t$ wird durch die Funktion $d$ mit

$d(t)=0,7\cdot\dfrac{\mathrm e^{\frac{t+125}{40}}}{\mathrm e^{\frac{t+125}{40}}+250}\quad$ und $t\geq15$

modelliert. Dabei ist $t$ die seit der Pflanzung vergangene Zeit in Jahren und $d(t)$ der BHD in Metern.

d1)

Begründe, dass der BHD im Modell stets geringer als $70\,\ \text{cm}$ ist.

(2 P)

d2)

Zeichne für den Zeitraum zwischen 15 und 80 Jahren nach der Pflanzung einen Graphen, der den BHD in Abhängigkeit von der Höhe darstellt.
Verwende für die Höhe der Fichte das Modell aus der Aufgabe b).

(4 P)

Ein Fichtenstamm hat einen BHD von $40\,\ \text{cm}.$ Sein Volumen vom Boden bis zu einer Höhe von $1,3\,\ \text{m}$ beträgt $0,17\,\ \text{m}^3.$ Es soll davon ausgegangen werden, dass der Durchmesser des Stamms mit zunehmender Höhe linear abnimmt. Berechne den Durchmesser des Stamms in einer Höhe von $15\,\ \text{m}.$

(6 P)

a1)

Maximum

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keyboard $\to$ Math2 $\to$ $\frac{d}{d \Box}\Box$

$\(w$

Das notwendige Kriterium ist $\(w$

$t=40$

Vollständige Lösung anzeigen

Das hinreichende Kriterium für ein Maximum ist $\(w$

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keyboard $\to$ Math2 $\to$ $\frac{d}{d \Box}\Box$

$\(w$

$\(w$ $=-\frac{1}{25}\lt0$

Das Maximum von $w(t)$ liegt bei $t=40.$

Wachstumszeitraum

Für $w(t)\gt50$ werden die Werte berechnet, für die $w(t)=50$ gilt:

$\pm23,39+40= t$

Vollständige Lösung anzeigen

$t_1\approx63,39\quad t_2\approx16,61$

Im ungefähren Zeitraum zwischen $16,61$ und $63,39$ Jahren liegt das Wachstum über $50\,\ \frac{\text{cm}}{\text{a}}.$

a2)

Es soll $w(t)=w(t+30)$ gelten.

$t_1=25$

Vollständige Lösung anzeigen

Die Zeitpunkte liegen bei $25$ und $55$ Jahren.

Grafik mit einer grünen Kurve, die eine mathematische Beziehung zwischen y und t zeigt. Gezeichnet auf einem Gitter.

a3)

Mit dem Term lässt sich die Höhe der Fichte nach $60$ Jahren in Metern berechnen.
Der Wert des Integrals gibt den Zuwachs der Fichte im Intervall von $0$ bis $60$ Jahren an, der mit der Ausgangsgröße von $50\,\ \text{cm}$ addiert wird. Durch die Multiplikation mit $\frac{1}{100}$ wird der Wert in Meter umgerechnet.

Diagramm zeigt eine grüne Kurve über Zeit t und y-Werte mit einer horizontalen Linie.

Der Graph schneidet die $y-$ Achse über $(0\mid0),$ da die Fichte bei der Pflanzung schon $50\,\ \text{cm}$ groß ist.
Bei $t=40$ befindet sich ein Wendepunkt, da dort das Maximum des Wachstums in $\frac{\text{cm}}{\text{a}}$ liegt.
Der Graph besitzt eine waagerechte Asymptote, da die Fichte zwar immer weiter wächst, doch eine bestimmte Höhe nie überschreitet.

b1)

Die notwendige Bedingung für einen Wendepunkt ist $\(h$

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keyboard $\to$ Math2 $\to$ $\frac{d}{d \Box}\Box$

$t=10\ln(99)$

Da der Graph von $h$ laut Aufgabenstellung nur einen Wendepunkt besitzt, setzt man die Koordinate für $t$ in $h(t)$ ein.

$h(10\ln(99))=25$

Der Wendepunkt liegt bei $W(10\ln(99)\mid25).$

b2)

Beim Wendepunkt besitzt $h$ das größte Wachstum. Um den Wert zu berechnen wird der $x-$ Wert von $W$ in $\(h$ eingesetzt.

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keyboard $\to$ Math2 $\to$ $\frac{d}{d \Box}\Box$

$\(h$

Somit erreicht die Fichte, deren Wachstum mit $h$ definiert wird, nur ein Wachstum von $125\frac{\text{cm}}{\text{a}}$ und liegt damit unter dem maximalen Wachstum von $150\frac{\text{cm}}{\text{a}}$ , welches in der Zeitschrift angegeben ist.

b3)

Die Steigung der Tangente am Punkt $W$ wird mit $\(h$ berechnet.
Nutze dafür die Solve-Funktion deines CAS-Taschenrechners
$\(h$

Die bekannten Werte werden in die Tangentengleichung eingesetzt.

$25-\dfrac{25}{2}\ln(99)= n$

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Die Tangentengleichung lautet $g(t)=\dfrac{5}{4}t+25-\dfrac{25}{2}\ln(99).$

Da die Tangente die Höhe der Fichte im Intervall $[40;50]$ näherungsweise beschreibt, lässt sich die maximale Abweichung mit folgender Formel berechnen.

$a(t)=\dfrac{\vert h(t)-g(t)\vert}{h(t)}$

Die Abweichung wird an einem der beiden Randstellen am größten sein.

$a(40)\approx0,012\quad\gt\quad a(50)\approx0,0023$

Die maximale Abweichung beträgt ca. $1,2\,\ \%.$

$p(x)=ax^2+bx+c$

Gegeben sind $p(15)=6,25, \,\ p(40)=100$ und $p(60)=250$

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menu $\to$ 3: Algebra $\to$ 7

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keyboard $\to$ Math1 $\to$ $\{^{\Box}_{\Box}$

$p(x)=\dfrac{1}{12}x^2-\dfrac{5}{6}x(+0)$

$p(66)=308$

Der Preis für einen BHD von $66$ beträgt $308$ Euro.

d1)

Da $\mathrm e^{\frac{t+125}{40}}+250\gt\mathrm e^{\frac{t+125}{40}}$ ist $0,7\cdot\dfrac{\mathrm e^{\frac{t+125}{40}}}{\mathrm e^{\frac{t+125}{40}}+250}\lt0,7.$

Der BHD ist also immer kleiner als $70\,\ \text{cm}.$