Analysis 2

Gegeben ist die Schar der in $\mathbb{R}$ definierten Funktionen $f_k$ mit $f_k(x) = (x - 3) \cdot \left(x^2 - k \cdot x - \dfrac{k}{2}\right)$ und $k \in \mathbb{R}$ . Der Graph von $f_k$ wird mit $G_k$ bezeichnet. Die Abbildung zeigt $G_1$ .

a1)

Bestimme für $G_6$ die Koordinaten der Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen sowie die Koordinaten der Extrempunkte. Skizziere $G_6$ in der Abbildung.

(8 BE)

a2)

Ermittle die Koordinaten der Punkte, durch die alle Graphen der Schar verlaufen.

(4 BE)

a3)

Zeige, dass $G_k$ für jeden Wert von $k$ genau zwei Extrempunkte hat.

(5 BE)

Graph einer Funktion mit Achsenbeschriftung und einem Kurvenverlauf.

Abb. 1:

a4)

Jeder Graph $G_k$ hat einen Wendepunkt. Ermittle alle Werte von $k$ , für die der Wendepunkt von $G_k$ auf einer Koordinatenachse liegt.

(4 BE)

a5)

Für alle Graphen der Schar wird jeweils die Tangente im Wendepunkt betrachtet. Jede dieser Tangenten schließt mit der $x$ -Achse einen Winkel ein. Bestimme die Größe des kleinsten dieser Winkel.

(5 BE)

a6)

$G_6$ schließt für $0 \leq x \leq 3$ ein Flächenstück mit der $x$ -Achse und der Geraden $x = 0$ ein. Für $3 \leq x \leq 6$ schließt $G_6$ ein zweites Flächenstück mit der $x$ -Achse und der Geraden $x = 6$ ein. Rotieren diese beiden Flächenstücke um die $x$ -Achse, so entstehen zwei Körper. Bestimme die Volumina der beiden Körper.

(2 BE)

a7)

Beurteile die folgende Aussage: „Rotieren zwei Flächenstücke gleichen Inhalts um die $x$ -Achse, so stimmen die Volumina der beiden entstehenden Körper überein.“

(3 BE)

Die Funktion $f_1$ beschreibt nun für $0 \leq x \leq 3$ die momentane Änderungsrate der Wassermenge in einer großen Regentonne. Dabei steht $x$ für die Zeit in Stunden nach Beobachtungsbeginn um $12:00 \,\text{Uhr}$ und $f_1(x)$ für die momentane Änderungsrate in $\frac{m^3}{h}$ .

b1)

Berechne das Integral $\displaystyle\int_{0}^{3}f_1(x)\;\mathrm dx$ und interpretiere den Integralwert im Sachzusammenhang.

(2 BE)

b2)

Um $12:15 \,\text{Uhr}$ enthält die Regentonne $0,8 m^3$ Wasser. Bestimme die maximale Wassermenge, die sich in der Zeit zwischen $12:00 \,\text{Uhr}$ und $15:00 \,\text{Uhr}$ in der Regentonne befindet.

(4 BE)

Betrachtet werden nun zwei zu Beginn der Beobachtung leere Regentonnen $T_1$ und $T_2$ . Die Funktionen $f_{k_1}$ und $f_{k_2}$ mit $k_1 \lt k_2$ beschreiben für $0 \leq x \leq 3$ die momentanen Änderungsraten der Wassermenge der Tonne $T_1$ bzw. $T_2$ . Bestimme den Zeitpunkt, für den der Füllmengenunterschied zwischen den beiden Tonnen maximal ist.

(3 BE)

a1)

$\blacktriangleright$ Koordinaten der Schnittpunkte mit den Achsen bestimmen

Mit dem solve-Befehl des CAS erhältst du:

$\begin{array}[t]{rll} f_6(x) &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; CAS \\[5pt] x_1 &=& 3 − 2\sqrt{3} \\[5pt] x_2 &=& 3 \\[5pt] x_3 &=& 3 +2\sqrt{3} \\[5pt] \end{array}$

Der Graph $G_6$ schneidet die $x$ -Achse in den drei Punkten $( 3 − 2\sqrt{3} \mid 0),$ $(3\mid 0)$ und $( 3 + 2\sqrt{3}\mid 0).$

Mit dem CAS folgt $f_6(0)= 9.$

Der Graph $G_6$ schneidet die $y$ -Achse im Punkt $(0\mid 9).$

$\blacktriangleright$ Koordinaten der Extrempunkte bestimmen

Mithilfe des CAS lassen sich die Ableitungsfunktionen von $f_6$ definieren:

$\blacktriangleright$ TI nspire CAS

menu $\to$ 4: Analysis $\to$ 1: Ableitung

$\blacktriangleright$ Casio Classpad II

keyboard $\to$ Math2 $\to$ $\frac{d}{d \Box}\Box$

Für Extremstellen gilt das notwendige Kriterium $f_6‘(x)=0.$ Mit dem solve-Befehl des CAS ergibt sich:

$\begin{array}[t]{rll} f_6‘(x) &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; CAS \\[5pt] x_1 &=& 1 \\[5pt] x_2 &=& 5 \end{array}$

Für das hinreichende Kriterium mithilfe der zweiten Ableitungsfunktion erhält man ebenfalls mit dem CAS:

$\begin{array}[t]{rll} f_6‘‘(1) &=& -12 \lt 0 \\[5pt] f_6‘‘(5) &=& 12 \gt 0 \end{array}$

Vervollständigung der Koordinaten:

$\begin{array}[t]{rll} f_6(1) &=& 16 \\[5pt] f_6(5) &=& -16 \end{array}$

Der Graph $G_6$ besitzt zwei Extrempunkte, einen Hochpunkt mit den Koordinaten $H(1\mid 16)$ und einen Tiefpunkt mit den Koordinaten $T(5\mid -16).$

a2)

$\blacktriangleright$ Koordinaten aller gemeinsamen Punkte ermitteln

Für zwei Werte $k_1,k_2\in \mathbb{R}$ mit $k_1\neq k_2$ folgt:

$\begin{array}[t]{rll} f_{k_1}(x) &=& f_{k_2}(x) &\quad \scriptsize \mid\; CAS \\[5pt] x_1 &=& -0,5 \\[5pt] x_2 &=& 3 \end{array}$

Vervollständigung der Koordinaten für $k\in \mathbb{R}:$

$\begin{array}[t]{rll} f_k(-0,5) &=& −0,875 \\[5pt] f_k(3) &=& 0 \end{array}$

Alle Graphen $G_k$ mit $k\in \mathbb{R}$ verlaufen durch die Punkte $(-0,5\mid -0,875)$ und $(3\mid 0).$

a3)

$\blacktriangleright$ Anzahl der Extrempunkte zeigen

1. Schritt: Ableitungsfunktionen bilden

$\begin{array}[t]{rll} f_k(x) &=& ... \\[10pt] f_k‘(x) &=& ... \\[10pt] f_k‘‘(x) &=& ... \\[5pt] &=& 6x - 6-2k \\[10pt] \end{array}$

Vollständige Lösung anzeigen

2. Schritt: Notwendiges Kriterium für Extremstellen anwenden

$\begin{array}[t]{rll} f_k‘(x) &= 0 \\[5pt] x_1 &= 1+\frac{k}{3} - \frac{ \sqrt{36 +4k^2 -6k}}{6} \\[5pt] x_2 &= 1+\frac{k}{3} + \frac{ \sqrt{36 +4k^2 -6k}}{6} \\[5pt] \end{array}$

Vollständige Lösung anzeigen

Für alle $k\in\mathbb{R}$ ist $x_1\neq x_2.$ Für jeden Graphen $G_k$ erhält man mit dem notwendigen Kriterium für Extremstellen zwei mögliche Extremstellen.
Für das hinreichende Kriterium folgt:

$\begin{array}[t]{rll} f_k‘‘(x_1)& \lt 0 \\[10pt] f_k‘‘(x_2)& \gt 0 \\[10pt] \end{array}$

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An beiden Stellen $x_1 = 1+\frac{k}{3} - \dfrac{ \sqrt{36 +4k^2 -6k}}{6}$ und $x_2= 1+\frac{k}{3} +\dfrac{ \sqrt{36 +4k^2 -6k}}{6}$ ist also auch das hinreichende Kriterium für Extremstellen erfüllt. Jeder Graph $G_k$ hat also genau zwei Extrempunkte.

a4)

$\blacktriangleright$ Werte ermitteln

Für eine Wendestelle $x_W$ von $f_k$ muss die notwendige Bedingung $f_k‘‘(x_W)=0$ erfüllt sein.

$\begin{array}[t]{rll} f_k‘‘(x) &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; CAS \\[5pt] x &=& \dfrac{k+3}{3} \end{array}$

Da dies die einzige Lösung der Gleichung $f_k‘‘(x)=0$ ist und in der Aufgabenstellung angegeben ist, dass jeder Graph $G_k$ einen Wendepunkt besitzt, muss es sich bei $x_W =\frac{k+3}{3}$ um die Wendestelle handeln.
Damit der Wendepunkt auf der $y$ -Achse liegt, muss $x_W = 0$ sein:

$\begin{array}[t]{rll} x_W &=& 0 \\[5pt] \frac{k+3}{3} &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; CAS \\[5pt] k &=& -3 \end{array}$

Damit der Wendepunkt auf der $x$ -Achse liegt, muss $y_k = 0$ sein, also $f_k(x_W) =0.$

$\begin{array}[t]{rll} y_W &=& 0 \\[5pt] k_1 &=& 6 \\[5pt] k_2 &=& −\frac{3}{8}\left(\sqrt{57} + 5\right) \\[5pt] k_3 &=& \frac{3}{8}\left(\sqrt{57} - 5\right) \\[5pt] \end{array}$

Vollständige Lösung anzeigen

Für $k_0 = -3,$ $k_1 = 6,$ $k_2 = −\frac{3}{8}\left(\sqrt{57} + 5\right)$ und $k_3 = \frac{3}{8}\left(\sqrt{57} - 5\right)$ liegt der Wendepunkt von $G_k$ auf einer der Koordinatenachsen.

a5)

$\blacktriangleright$ Größe des kleinsten Winkels bestimmen

Die Größe des Winkels, den die Wendetangente von $G_k$ mit der $x$ -Achse einschließt, hängt von der Steigung der Wendetangente ab, also von der Steigung des Graphen $G_k.$

$f_k‘\left(\frac{k+3}{3}\right) = -\frac{k^2}{3}+\frac{k}{2} -3.$

Der kleinste eingeschlossene Winkel liegt für das $k$ mit der betragsmäßig kleinsten Steigung vor. Bestimme also das globale Minimum von:

$w(k) = \left|-\frac{k^2}{3}+\frac{k}{2} -3 \right|$

Mit dem solve-Befehl des CAS erhält man mit dem notwendigen Kriterium für Extremstellen von $w:$

$\begin{array}[t]{rll} w‘(k) &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; CAS \\[5pt] k &=& \frac{3}{4} \end{array}$

Für das hinreichende Kriterium folgt:

$w‘‘\left( \frac{3}{4}\right) = \frac{2}{3} \gt 0$

An der Stelle $k=\frac{3}{4}$ befindet sich also ein lokales Minimum von $w.$ Da das die einzige Extremstelle von $w$ ist, befindet sich dort auch das globale Minimum.

Die Größe des zugehörigen Schnittwinkels beträgt:

$\begin{array}[t]{rll} \tan \alpha &=& w\left(\frac{3}{4}\right) &\quad \scriptsize \mid\;\tan^{-1} \\[5pt] \alpha &\approx& 70,4^{\circ} \end{array}$

Der kleinste Winkel, den eine Wendetangente von $G_k$ mit der $x$ -Achse einschließt, ist ca. $70,4^{\circ}$ groß.

a6)

$\blacktriangleright$ Volumina bestimmen

$\blacktriangleright$ TI nspire CAS

menu $\to$ 4: Analysis $\to$ 3: Integral

$\blacktriangleright$ Casio Classpad II

keyboard $\to$ Math2 $\to$ $\int_{\Box}^{\Box}\Box$

$\begin{array}[t]{rll} V_1 &\approx& 1388,67\\[10pt] V_2 &\approx& 1388,67\\[10pt] \end{array}$

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a7)

$\blacktriangleright$ Aussage beurteilen

Betrachtet man beispielsweise das Flächenstück, das von der Gerade mit der Gleichung $y=1,$ der $x$ -Achse und den Geraden zu $x=0$ und $x=1$ eingeschlossen wird, dann handelt es sich dabei um ein Quadrat mit der Seitenlänge $1.$ Dann ist das Volumen des Körpers, der durch Rotation um die $x$ -Achse entsteht:

$V_3 = \pi$

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Eine Fläche, die inhaltsgleich zu dieser ist, ist die Fläche, die von den Geraden zu $y=4$ und $y=3$ sowie $x=0$ und $x=1$ begrenzt wird. Dabei handelt es sich ebenfalls um ein Quadrat mit der Seitenlänge $1.$
Rotiert diese Fläche um die $x$ -Achse, so kann ihr Volumen aus der Differenz der beiden Teilvolumina berechnet werden:

$V_4 = 7\pi \neq \pi$

Vollständige Lösung anzeigen

Die beiden Flächenstücke sind also inhaltsgleich, die Volumina, die bei deren Rotation um die $x$ -Achse entstehen, sind allerdings verschieden.
Die in der Aufgabe angegebene Aussage ist also falsch.

b1)

$\blacktriangleright$ Integral berechnen und interpretieren

$\displaystyle\int_{0}^{3}f_1(x)\;\mathrm dx = 0$

Zwischen $12:00$ Uhr und $15:00$ Uhr fließt genau so viel Wasser in die Tonne hinein, wie abfließt.

b2)

$\blacktriangleright$ Maximale Wassermenge bestimmen

$f_1$ beschreibt die momentane Änderungsrate der Wassermenge in der Regentonne. Die Menge des Wassers in der Regentonne $x$ Stunden nach $12:00$ Uhr, wird daher durch eine Stammfunktion $F_1$ von $f_1$ beschrieben.
Bestimme also zunächst die Stelle, in der $F_1$ ihr lokales Maximum für $0\leq x \leq 3$ annimmt.
Für eine lokale Extremstelle von $F_1$ gilt das notwendige Kriterium $f_1(x)=0.$

$\begin{array}[t]{rll} f_1(x) &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; CAS\\[5pt] x_1 &=& −0,3660 \\[5pt] x_2 &\approx& 1,3660 \\[5pt] x_3 &=& 3 \end{array}$

Mit dem CAS folgt für das hinreichende Kriterium für Extremstellen:

$\begin{array}[t]{rll} f_1‘(−0,3660) &\approx& 5,83 \gt 0 \\[5pt] f_1‘(1,3660 ) &\approx& -2,83 \lt 0\\[5pt] f_1‘(3) &=& 5,5 \gt 0 \end{array}$

Vom Beginn der Beobachtung an bis zum lokalen Maximum ist $f_1$ positiv, sodass die Wassermenge zunimmt. Nach dem lokalen Maximum bis zum Beobachtungsende nimmt die Wassermenge wiederum nur ab. Die größte Wassermenge befindet sich also bei $x\approx 1,3660$ in der Tonne. Diese lässt sich wie folgt berechnen:

$\begin{array}[t]{rll} V &\approx& 0,8 + \displaystyle\int_{0,25}^{1,3660}f_1(x)\;\mathrm dx \\[5pt] &\approx& 2,2201\\[5pt] \end{array}$

Die maximale Wassermenge zwischen $12:00$ Uhr und $15:00$ Uhr beträgt ca. $2,2\,\text{m}^3.$

$\blacktriangleright$ Zeitpunkt mit dem maximalen Unterschied berechnen

Gesucht ist der Zeitpunkt mit dem maximalen Füllmengenunterschied $d$ der beiden Tonnen. Die Änderungsrate des Füllmengenunterschieds wird durch $d_{k_1;k_2}‘(x) = f_{k_2}(x) -f_{k_1}(x)$ beschrieben.
Das notwendige Kriterium für ein lokales Extremum von $d$ ist $d_{k_1;k_2}‘(x) = 0.$ Mit dem CAS folgt:

$\begin{array}[t]{rll} d_{k_1;k_2}‘(x) &=& 0 \\[5pt] f_{k_2}(x) -f_{k_1}(x) &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; CAS \\[5pt] x &=& 3 \end{array}$

Zu Beginn waren die beiden Tonnen gleich gefüllt. Da die einzige mögliche Extremstelle mit $x=3$ auch gleichzeitig eines der Intervallränder ist, muss sich hier die Stelle mit dem maximalen Füllmengenunterschied befinden.
Um $15:00$ Uhr ist der Füllmengenunterschied der beiden Regentonnen also maximal.