Analytische Geometrie

Die Abbildung zeigt den Würfel $EFGHPQRS$ mit $E\,(0\mid0\mid0)$ und $R \, (5\mid5\mid5)$ in einem kartesischen Koordinatensystem. Die Ebene $T$ schneidet die Kanten des Würfels unter anderem in den Punkten $A \, (5\mid0\mid1)$ , $B \, (2\mid5\mid0)$ , $C \, (0\mid5\mid2)$ und $D \, (1\mid0\mid5).$

Abb. 1

a1)

Gib die Koordinaten der Punkte $G$ und $S$ an.

(2 BE)

a2)

Zeichne das Viereck $ABCD$ in die Abbildung ein.

(2 BE)

a3)

Zeige, dass das Viereck $ABCD$ ein Trapez ist, bei dem zwei gegenüberliegende Seiten gleich lang sind.

(3 BE)

a4)

Bestimme den Flächeninhalt des Vierecks $ABCD.$

(4 BE)

b1)

Ermittle eine Gleichung der Ebene $T$ in Koordinatenform.
[zur Kontrolle: $T:5x_1+4x_2+5x_3=30$ ]

(4 BE)

b2)

Die Ebene $T$ schneidet die Kante $\overline{PS}$ des Würfels im Punkt $Z.$
Bestimme die Koordinaten des Punktes $Z.$

(4 BE)

Die Ebene $T‘$ wird durch die Gleichung $-5x_1 +4x_2 +5x_3 -5=0$ beschrieben.

c1)

Berechne die Größe des Winkels unter dem sich $T$ und $T‘$ schneiden.

(3 BE)

c2)

Es gibt eine reelle Zahl $a,$ so dass die Ebene $T‘$ aus der Ebene $T$ durch Spiegelung an der Ebene mit der Gleichung $x_1=a$ hervorgeht.
Bestimme diese Zahl $a.$

(4 BE)

Betrachtet wird die Schar der Geraden

$g_a:\overrightarrow{x}=\pmatrix{2,5\\0\\3,5}+r\cdot\pmatrix{0\\-10b\\\frac{2}{b}}$ mit $b\in \mathbb R^+$ und $r\in \mathbb R.$

c3)

Begründe, dass keine Gerade der Schar in der Ebene mit der Gleichung $x_3=3,5$ liegt.

(2 BE)

c4)

Untersuche, ob die Schnittgerade von $T$ und $T‘$ zur betrachteten Schar gehört.

(4 BE)

Bestimme die Gleichung einer Kugel mit dem Radius $\sqrt{\frac{33}{2}},$ auf deren Oberfläche die Punkte $P,$ $Q,$ $R$ und $S$ liegen.

(4 BE)

Die Spitze einer Pyramide mit der Grundfläche $ABCD$ liegt auf der Strecke $\overline{QR}.$
Untersuche, ob die Höhe dieser Pyramide $2$ sein kann.

(4 BE)

a1)

$\blacktriangleright$ Koordinaten angeben

$G(5\mid 5\mid 0)$ und $S(0\mid 5\mid 5)$

a2)

$\blacktriangleright$ Viereck einzeichnen

Abb. 1: Viereck $ABCD$ in grün

a3)

$\blacktriangleright$ Trapezform mit zwei gleich langen Seiten zeigen

In der Abbildung von oben kannst du erkennen, dass die beiden parallelen Seiten des Trapezes vermutlich die beiden Seiten $\overline{DA}$ und $\overline{CB}$ sind. Für die zugehörigen Verbindungsvektoren folgt:

$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{DA} &=& \pmatrix{4\\0\\-4} \\[5pt] \overrightarrow{CB} &=& \pmatrix{2\\0\\-2} \end{array}$

Es gilt $\overrightarrow{DA} = 2\cdot \overrightarrow{CB}.$ Die beiden Vektoren $\overrightarrow{DA}$ und $\overrightarrow{CB}$ sind also linear abhängig und damit parallel zueinander. Daher sind auch die zugehörigen Vierecksseiten $\overline{DA}$ und $\overline{CB}$ parallel zueinander. Es handelt sich bei dem Viereck $ABCD$ daher um ein Trapez.
Gefordert ist nun noch zu zeigen, dass die beiden anderen gegenüberliegenden Seiten gleich lang sind. Die Länge der Seiten $\overline{DC}$ und $\overline{AB}$ kannst du mithilfe des Vektorbetrags berechnen.

$\begin{array}[t]{rll} \overline{DC}&= \sqrt{35} \\[10pt] \overline{AB}&= \sqrt{35} \\[10pt] \end{array}$