Analysis 2

Gegeben ist die Schar der in $\mathbb{R}$ definierten Funktionen $f_r$ mit $f_r(x)=-\frac{1}{r}\cdot x^2+\frac{4}{r}\cdot x +2$ und $r\in \mathbb{R}\setminus \{0\}.$

Skizziere in einem Koordinatensystem den Graphen von $f_6$ über dem Intervall $[−3; 7].$

(2 BE)

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Betrachtet wird der folgende Term:

$\displaystyle\int_{-2}^{0}f_6(x)\;\mathrm dx +4\cdot 2 + \displaystyle\int_{4}^{6}f_6(x)\;\mathrm dx$

Markiere in deiner Skizze zu Teilaufgabe a1) ein Flächenstück, dessen Inhalt mit dem gegebenen Term berechnet werden kann, und ordne jedem Summanden des Terms einen passenden Teil dieses Flächenstücks zu. Gib den Inhalt des Flächenstücks an.

(4 BE)

$\,$

Zeige, dass jede Funktion der Schar an der Stelle $2$ ein Extremum hat.
Gib in Abhängigkeit von $r$ an, ob es sich um ein Minimum oder ein Maximum handelt, und nenne den zugehörigen Funktionswert.

(4 BE)

$\,$

Ermittle die Anzahl der Nullstellen von $f_r$ in Abhängigkeit von $r.$

(4 BE)

Für $r\gt -2$ und $r\neq 0$ sind $A_r(2-\sqrt{4+2r}\mid 0),$ $B_r(2+\sqrt{4+2r}\mid 0)$ und $C(4\mid 2)$ Punkte des Graphen von $f_r.$

$\,$

Es soll untersucht werden, für welche Werte von $r$ das Dreieck $A_rB_rC$ einen rechten Winkel bei $C$ hat. Jeder der beiden folgenden Ansätze liefert die gesuchten Werte von $r:$

$(1)$

$\pmatrix{-\sqrt{4+2r}-2\\-2}\circ\pmatrix{\sqrt{4+2r}-2 \\ -2}$ $= 0$

$(2)$

$\dfrac{2}{2+\sqrt{4+2r}} \cdot \dfrac{2}{2-\sqrt{4+2r}} = -1$

Erläutere die beiden Ansätze und gib einen entsprechenden Wert für $r$ an.

(5 BE)

$\,$

Der Graph der Funktion $f_r$ schließt gemeinsam mit der $x$ -Achse eine Fläche $F_r$ ein. Ermittle einen Wert für $r,$ für den der Flächeninhalt der Fläche $F_r$ viermal so groß ist wie der Flächeninhalt des Dreiecks $A_rB_rC.$

(3 BE)

Im Folgenden sollen für den Flug von Papierfliegern drei mögliche Typen von Flugkurven betrachtet werden. Diese sind in der Abbildung schematisch dargestellt.

Abb. 1

Wird die Größe der betrachteten Papierflieger vernachlässigt, können die Flugkurven bei Verwendung eines Koordinatensystems, dessen $x$ -Achse entlang des horizontalen Bodens und dessen $y$ -Achse durch den Abwurfpunkt $A$ verläuft, modellhaft mithilfe von Funktionen beschrieben werden. Der $x$ -Wert soll im Folgenden der horizontalen Entfernung des Papierfliegers vom Abwurfpunkt $A$ entsprechen, der zugehörige Funktionswert der Flughöhe (jeweils in Metern).

Ein Papierflieger bewegt sich entlang einer Flugkurve vom Typ $P.$
Diese kann für $x \geq 0$ mithilfe der gegebenen Funktion $f_4$ beschrieben werden. Weise nach, dass die Flugweite etwa $5,46\,\text{m}$ beträgt.

(2 BE)

Im Folgenden wird ein Papierflieger betrachtet, der sich entlang einer Flugkurve des Typs $S$ bewegt. Diese kann im ersten Teil mit Hilfe der Funktion $f_4$ beschrieben werden, im zweiten Teil ab einer horizontalen Entfernung von $0,5\,\text{m}$ vom Abwurfpunkt mithilfe einer Funktion $s$ mit $s(x)=\dfrac{a}{x-1,5}+b$ und $a,b\in \mathbb{R}.$
Dabei weist die Flugkurve bis zum höchsten Punkt keinen Knick auf. Der Papierflieger steigt, bis er einen Steigungswinkel mit einer Größe von $85^{\circ}$ erreicht und stürzt dann vertikal ab.

$\,$

Bestimme die Werte von $a$ und $b.$

(3 BE)

$\,$

Im Folgenden ist $a=-0,75$ und $b=1,6875.$

Berechne die horizontale Entfernung $e$ vom Abwurfpunkt, in der der Papierflieger den Steigungswinkel mit einer Größe von $85^{\circ}$ erreicht.
[Zur Kontrolle: $e\approx 1,24$ ]

(3 BE)

$\,$

Ist ein Kurvenstück Graph einer in $[x_0;x_1]$ mit $x_0,x_1\in\mathbb{R}$ definierten Funktion $h$ mit erster Ableitungsfunktion $h′,$ so gilt für die Länge $L$ des Kurvenstücks:

$L= \displaystyle\int_{x_0}^{x_1}\sqrt{1+(h‘(x))^2}\;\mathrm dx$

Ermittle die Länge der beschriebenen Flugkurve vom Typ $S.$

(5 BE)

Die größten Flugweiten erzielen Papierflieger mit der Flugkurve des Typs $G.$ Eine solche Flugkurve lässt sich im ersten Teil mithilfe der Funktion $f_4$ beschreiben. Ab einem bestimmten Punkt kann weitere Verlauf der Flugkurve bis zum Boden durch eine Gerade dargestellt werden. Der Übergang vom ersten zum zweiten Teil der Flugkurve erfolgt ohne Knick. Die Flugweite beträgt $17,6\,\text{m}.$ Ermittle, in welcher Höhe der gekrümmte Teil der Flugkurve in den geradlinigen übergeht.

(5 BE)

Bildnachweise [nach oben]

[1]

$\blacktriangleright$ Graphen skizzieren

Abb. 1: Graph von $f_6$

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$\blacktriangleright$ Flächenstück markieren und zuordnen

$A_1:\quad \displaystyle\int_{-2}^{0}f_6(x)\;\mathrm dx$

$A_2:\quad 4\cdot 2$

$A_3:\quad \displaystyle\int_{4}^{6}f_6(x)\;\mathrm dx$

Abb. 2: Flächenstück

$\blacktriangleright$ Flächeninhalt angeben

Zur Berechnung der Integrale kannst du dein CAS verwenden.

$\blacktriangleright$ TI nspire CAS

menu $\to$ 4: Analysis $\to$ 3: Integral

$\blacktriangleright$ Casio Classpad II

keyboard $\to$ Math2 $\to$ $\int_{\Box}^{\Box}\Box$

$A= \frac{112}{9}$

Vollständige Lösung anzeigen

Der Flächeninhalt des Flächenstücks beträgt $\frac{112}{9}\,\text{FE}.$

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$\blacktriangleright$ Extremum nachweisen

Die erste Ableitungsfunktion von $f_r$ ist:

$f_r‘(x)= -\frac{2}{r}\cdot x +\frac{4}{r}$

Es gilt:

$\begin{array}[t]{rll} f_r‘(2)&=& -\frac{2}{r}\cdot 2 +\frac{4}{r} \\[5pt] &=& 0 \end{array}$

Das notwendige Kriterium für Extremstellen ist für $f_r$ also für alle $r\in \mathbb{R}\setminus\{0\}$ erfüllt.
Die zweite Ableitungsfunktion von $f_r$ ist:

$f_r‘‘(x)= -\frac{2}{r}$

Es gilt:

Für $r\gt 0$ ist $f_r‘‘(2) \lt 0 .$ Das Extremum von $f_r$ an der Stelle $2$ ist dann ein Maximum.
Für $r\lt 0$ ist $f_r‘‘(2) \gt 0 .$ Das Extremum von $f_r$ an der Stelle $2$ ist dann ein Minimum.

Für den Funktionswert gilt:

$f_r(2)= \frac{4}{r}+2$

Vollständige Lösung anzeigen

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$\blacktriangleright$ Anzahl der Nullstellen ermitteln

Mit dem solve-Befehl das CAS erhältst du folgende Nullstellen:

$\begin{array}[t]{rll} x_1&=& 2-\sqrt{2\cdot (r+2)} \\[5pt] x_2&=& 2+\sqrt{2\cdot (r+2)} \\[5pt] \end{array}$

Vollständige Lösung anzeigen

$f_r$ hat keine Nullstelle, wenn der Radikand negativ ist, also für $r\lt -2.$
$f_r$ hat genau eine Nullstelle, wenn der Radikand Null ist, also für $r=-2.$
$f_r$ hat zwei Nullstellen, wenn der Radikand positiv ist, also für $r\gt -2.$

$\blacktriangleright$ Ansätze erläutern

(1)

Es werden Vektoren verwendet, um das Dreieck zu modellieren. Es ist $\overrightarrow{CA_r} = \pmatrix{-\sqrt{4+2r}-2 \\ -2}$ und $\overrightarrow{CB_r}= \pmatrix{\sqrt{4+2r}-2 \\ -2}.$ Diese Vektoren verlaufen entlang der beiden Dreiecksseiten $\overline{CA_r}$ und $\overline{CB_r}.$ Ist ihr Skalarprodukt Null, so stehen diese Vektoren und damit auch die zugehörigen Dreiecksseiten senkrecht aufeinander. Das Dreieck besitzt dann bei $C$ einen rechten Winkel. Daher wird das Skalarprodukt der beiden Vektoren mit Null gleichgesetzt.

(2)

Die beiden Dreiecksseiten $\overline{CA_r}$ und $\overline{CB_r}$ liegen jeweils auf einer Geraden. Diese Geraden schneiden sich im Punkt $C.$ Schneiden sie sich senkrecht, so besitzt das Dreieck bei $C$ einen rechten Winkel.

Die Steigungen $m_1$ der Gerade durch die Punkte $C$ und $A_r$ kann mithilfe des Differenzenquotienten der jeweiligen Koordinaten bestimmt werden:

$m_1 = \dfrac{2-0}{4- \left(2-\sqrt{4+2r}\right) }$

Analoges gilt für die Steigung $m_2$ der Geraden durch $C$ und $B_r.$ Damit zwei Geraden senkrecht zueinander verlaufen, muss für ihre Steigungen $m_1\cdot m_2 = -1$ gelten. Daher wird das Produkt der beiden Differenzenquotienten in diesem Ansatz mit $-1$ gleichgesetzt.

$\blacktriangleright$ Wert angeben

Mit dem solve-Befehl des CAS folgt beispielsweise:

$r=2$

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$\,$

$\blacktriangleright$ Parameterwert ermitteln

1. Schritt: Flächeninhalt des Dreiecks bestimmen

Die Punkte $A_r$ und $B_r$ liegen auf der $x$ -Achse. Wählt man die zugehörige Seite als Grundseite, entspricht die Höhe der $y$ -Koordinate von $C:$

$\begin{array}[t]{rll} g &=& 2\cdot\sqrt{4+2r} \\[5pt] h &=& 2 \end{array}$

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Der Flächeninhalt des Dreiecks $A_rB_rC$ beträgt daher:

$A_{A_rB_rC} = 2\cdot\sqrt{4+2r}$

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2. Schritt: Parameter bestimmen

Das Flächenstück, das der Graph von $f_r$ mit der $x$ -Achse einschließt, kann mithilfe eines Integrals bestimmt werden. Die Integrationsgrenzen sind die Nullstellen, die du bereits bestimmt hast. Mit dem solve-Befehl und dem Integral-Befehl deines CAS folgt dann:

$\begin{array}[t]{rll} r_1&=& -2 \\[5pt] r_2&=& -\frac{1}{2} \\[5pt] r_3&=& 1 \end{array}$

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Da $r\gt -2$ vorausgesetzt ist, sind mögliche Lösungen $r_2=-\frac{1}{2}$ und $r_3=1.$

$\blacktriangleright$ Flugweite nachweisen

Die Flugweite entspricht dem horizontalen Abstand des Punkts, in dem der Flieger auf dem Boden landet, zum Abwurfpunkt $A,$ also der positiven Nullstelle von $f_4.$
Die Nullstellen von $f_r$ wurden bereits ermittelt:

$\begin{array}[t]{rll} x_1&=&2-\sqrt{12} \lt 0 \\[10pt] x_2&\approx& 5,46 \\[10pt] \end{array}$

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Die Flugweite beträgt also ca. $5,46\,\text{m}.$

$\blacktriangleright$ Parameterwerte bestimmen

Der Graph von $f_4$ muss an der Stelle $x=0,5$ knickfrei in den Graphen von $s$ übergehen. Daraus ergeben sich folgende Bedingungen:

$f_4(0,5)=s(0,5)$
$f_4‘(0,5)=s‘(0,5)$

Dieses Gleichungssystem kannst du mit deinem CAS lösen und erhältst:

$a=-0,75$ und $b=1,6875$

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$\blacktriangleright$ Entfernung berechnen

Ein Steigungswinkel von $85^{\circ}$ entspricht laut der Formel für den Steigungswinkel einem Steigungswert von $\tan 85^{\circ}.$
Da der Punkt mit der gesuchten Steigung das Ende der Flugbahn des Papierfliegers beschreibt, bevor er vertikal abstürzt, muss er auf dem Graphen von $s$ liegen.
Gesucht ist also $e$ mit $s‘(e)= \tan 85^{\circ}.$ Verwende den Ableitungs- und den solve-Befehl deines CAS:

$\blacktriangleright$ TI nspire CAS

menu $\to$ 4: Analysis $\to$ 1: Ableitung

$\blacktriangleright$ Casio Classpad II

keyboard $\to$ Math2 $\to$ $\frac{d}{d \Box}\Box$

Du erhältst:

$\begin{array}[t]{rll} s‘(x)&=& \tan 85^{\circ} &\quad \scriptsize \mid\; CAS \\[5pt] x_1&\approx& 1,24 \\[5pt] x_2&\approx& 1,76 \end{array}$

Es ist also $e \approx 1,24.$

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$\blacktriangleright$ Länge der Flugkurve ermitteln

Die Flugkurve vom Typ $S$ wird für $0\leq x \leq 0,5$ durch die Funktion $f_4$ und für $0,5\leq x\leq 1,24$ durch die Funktion $s$ mit $a=-0,75$ und $b=1,6875$ beschrieben.
Die Länge der Flugkurve muss daher in zwei Teilen berechnet werden. Mithilfe des Ableitungs- und dem Integralbefehl des CAS ergibt sich:

$\begin{array}[t]{rll} L_f&\approx& 0,66 \\[10pt] L_s&\approx& 2,32 \\[10pt] \end{array}$

Vollständige Lösung anzeigen

Zum Schluss stürzt der Fliefer vertikal ab und legt dabei noch einmal eine Strecke zurück:

$s(1,24)\approx 4,57$

Insgesamt legt der Flieger bei einer Flugbahn vom Typ S vom Abwurfpunkt bis zum Auftreffen auf dem Boden folgende Strecke zurück:

$L\approx 7,55\,\text{[m]}$

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Die Flugkurve vom Typ S ist ca. $7,55\,\text{m}$ lang.

$\blacktriangleright$ Höhe des Übergangs ermitteln

Bezeichne die Gerade, die den zweiten Teil der Flugkurve vom Typ G beschreibt, mit $g.$ Gesucht ist die $y$ -Koordinate des Punkts $P(x_P\mid y_P),$ in dem der Graph von $f_4$ ohne Knick in den von $g$ übergeht.
Für $g$ und $P$ gelten folgende Bedingungen:

Da die Flugweite $17,6\,\text{m}$ beträgt, muss $g$ bei $x=17,6$ eine Nullstelle besitzen.
Da es keinen Knick gibt, muss die Steigung der Geraden $g$ der Steigung des Graphen von $f_4$ an der Stelle $x_P$ entsprechen.
Der Punkt $P$ muss sowohl auf dem Graphen von $f_4$ als auch auf der Geraden $g$ liegen.