Analysis 1

Trinkt man ein koffeinhaltiges Getränk (z.B. Kaffee, Cola, Energydrink), so wird darin enthaltenes Koffein vom Körper ins Blut aufgenommen und dort kontinuierlich wieder abgebaut.

Eine Person, in deren Körper kein Koffein enthalten ist, trinkt ein koffeinhaltiges Getränk. Berücksichtigt man sowohl den Aufnahme- als auch den Abbauvorgang, so wird die zeitliche Entwicklung der Koffeinkonzentration im Blut mithilfe der in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $h$ mit $h(t) = 0,01 \cdot e^{-0,003 \cdot t} \cdot (1 - e^{-0,07 \cdot t})$ für $t \geq 0$ beschrieben. Dabei ist $h(t)$ die Koffeinkonzentration in $\frac{\,\text{mg}}{\,\text{ml}}$ und $t$ die Zeit in Minuten, die seit dem Einsetzen des Aufnahmevorgangs vergangen ist.

a1)

Berechne den Zeitpunkt, zu dem die höchste Koffeinkonzentration erreicht wird, und gib diese Konzentration an.

(4 BE)

a2)

Zeichne den Graphen von $h$ über dem Intervall $[0;400]$ in ein Koordinatensystem und wähle hierfür folgenden Maßstab: $5\,\text{cm}$ auf der $t$ -Achse entsprechen $100\,\text{min}$ und $1\,\text{cm}$ auf der $y$ -Achse entspricht $0,001\frac{\,\text{mg}}{\,\text{ml}}$ .

(3 BE)

a3)

Bestimme mithilfe deiner Zeichnung die größte momentane Abnahmerate der Koffeinkonzentration.

(3 BE)

a4)

Untersuche rechnerisch, zu welchem Zeitpunkt die momentane Änderungsrate der Koffeinkonzentration maximal ist, und gib das Maximum an.

(4 BE)

a5)

Bestimme mithilfe einer Rechnung die Zeiträume ab dem Einsetzen des Aufnahmevorgangs, in denen die Koffeinkonzentration höchstens $0,007 \,\text{mg}$ beträgt.

(3 BE)

a6)

Berechne denjenigen Wert von $a \in \mathbb{R^+}$ , für den der Inhalt der Fläche, die der Graph von $h$ mit der $t$ -Achse und der Geraden mit der Gleichung $t = a$ einschließt, $0,7$ beträgt.
Beurteile die folgende Aussage: „Der Inhalt der betrachteten Fläche entspricht der Koffeinmenge, die im zugehörigen Zeitraum insgesamt ins Blut aufgenommen wird.“

(4 BE)

Untersuchung des Abbauvorgangs

Zur gesonderten Untersuchung des Abbauvorgangs soll nun davon ausgegangen werden, dass die Aufnahme von Koffein ins Blut bereits abgeschlossen ist und die Konzentration des Koffeins im Blut innerhalb von jeweils $240 \,\text{Minuten}$ um die Hälfte abnimmt.

b1)

Gib die Zeitdauer an, innerhalb derer die Koffeinkonzentration um $75\,\%$ abnimmt.

(2 BE)

b2)

Unter diesen Voraussetzungen lässt sich die zeitliche Entwicklung der Koffeinkonzentration mithilfe einer in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $f$ mit $f(t) = c \cdot e^{a \cdot t}$ mit $a \in \mathbb{R}$ und $c \in \mathbb{R^+}$ beschreiben. Dabei ist $f(t)$ die Koffeinkonzentration in $\frac{\,\text{mg}}{\,\text{ml}}$ und $t$ die Zeit in Minuten, die seit Beginn der Beobachtung dieser Konzentration vergangen ist. Begründe, dass $c$ die Koffeinkonzentration zu Beginn der Beobachtung angibt, und bestimme den passenden Wert von $a$ .

(3 BE)

Untersuchung des Aufnahmevorgangs

Berücksichtigt man nur den Aufnahmevorgang, lässt also den gleichzeitig erfolgenden Abbau von Koffein außer Acht, so kann die zeitliche Entwicklung der Koffeinkonzentration mithilfe einer in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $g_{b;k}$ mit $g_{b;k}(t) = k \cdot (1 - e^{b \cdot t})$ mit $b \in \mathbb{R}$ und $k \in \mathbb{R^+}$ beschrieben werden. Dabei ist $g_{b;k}(t)$ die Koffeinkonzentration in $\frac{\,\text{mg}}{\,\text{ml}}$ und $t$ die Zeit in Minuten, die seit Beginn der Beobachtung dieser Konzentration vergangen ist. Im Folgenden soll angenommen werden, dass die Blutmenge konstant $5$ Liter beträgt und insgesamt $100 \,\text{mg}$ Koffein ins Blut aufgenommen werden.

c1)

Begründe unter Berücksichtigung des Sachzusammenhangs, dass $b \lt 0$ gilt.

(2 BE)

c2)

Gib die Bedeutung von $k$ im Sachzusammenhang an und zeige, dass $k = 0,02$ gilt.

(2 BE)

Der folgenden Tabelle können Koffeinkonzentrationen entnommen werden, die sich aus einer Messung ergeben, wenn man den Abbauvorgang außer Acht lässt:

seit Beginn der Beobachtung vergangenen Zeit in Minuten	Koffeinkonzentration in $\dfrac{ml}{mg}$
$0$	$0$
$15$	$0,0127$
$30$	$0,0173$
$45$	$0,0190$

Sollen Messwerte mithilfe einer Funktion eines bestimmten Funktionstyps möglichst gut beschrieben werden, so wird diese Funktion so gewählt, dass die Summe der quadrierten Differenzen der Funktionswerte und der Messwerte möglichst klein ist. In der Abbildung sind Differenzen von Funktionswerten und Messwerten beispielhaft in Form von Strecken veranschaulicht.

Graph mit einer Kurve und Punkten auf den Achsen x und y.

Abb. 1:

c3)

Berechne die Summe der quadrierten Differenzen der Funktionswerte der Funktion $g_{b;k}$ mit $b = −0,07$ und $k = 0,02$ und der in der Tabelle gegebenen Messwerte.

(4 BE)

c4)

Gib einen Grund dafür an, dass es bei dieser Methode nicht sinnvoll ist, die Differenzen selbst anstelle ihrer Quadrate zu verwenden.

(2 BE)

c5)

Bestimme $b$ so, dass die angegebenen Messwerte mithilfe der Funktion $g_{b ; 0,02}$ möglichst gut beschrieben werden.

(4 BE)

a1)

$\blacktriangleright$ Zeitpunkt mit der höchsten Koffeinkonzentration berechnen

Definiere die erste Ableitungsfunktion $h‘$ von $h$ in deinem CAS.

$\blacktriangleright$ TI nspire CAS

menu $\to$ 4: Analysis $\to$ 1: Ableitung

$\blacktriangleright$ Casio Classpad II

keyboard $\to$ Math2 $\to$ $\frac{d}{d \Box}\Box$

Für eine Extremstelle von $h$ lautet die notwendige Bedingung $h‘(t)=0.$ Mit dem solve-Befehl des CAS erhältst du:

$\begin{array}[t]{rll} h‘(t) &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; CAS \\[5pt] t &\approx& 45,5978 \end{array}$

Da $h‘‘(45,5978)\approx - 0,000002 \lt 0$ gilt, besitzt $h$ an der Stelle $45,5978$ ein lokales Maximum.

Es müssen noch Randextrema ausgeschlossen werden:

$h(0)= 0$ und für $t\to \infty$ gilt $h(t) \to 0.$

$h(45,5978) \approx 0,008363$

An der Stelle $t\approx45,5978$ nimmt $h$ also auch das globale Maximum an. Ca. $46$ Minuten nach Einsetzen des Aufnahmevorgangs ist die Koffeinkonzentration also mit ca. $0,0084\,\frac{\text{mg}}{\text{m}l}$ am höchsten.

a2)

$\blacktriangleright$ Graphen in ein Koordinatensystem einzeichnen

Abb. 1: Graph von $h$

a3)

$\blacktriangleright$ Größte momentane Abnahmerate bestimmen

Abb. 2: Tangente und Steigungsdreieck

$\dfrac{-0,003}{120}\approx 0,000025$

Die größte momentane Abnahmerate beträgt ca. $0,000025\,\dfrac{\text{mg}}{\text{m}l\cdot\text{min}}.$

a4)

$\blacktriangleright$ Zeitpunkt der maximalen Änderungsrate rechnerisch bestimmen

Gesucht ist eine Maximalstelle von $h‘.$

Mit der notwendigen Bedingung für eine lokale Extremstelle von $h‘$ folgt mit dem solve-Befehl des CAS:

$\begin{array}[t]{rll} h‘‘(t) &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; CAS \\[5pt] t &\approx & 91,1956 \\[5pt] \end{array}$

Untersuchung auf Randextrema:

$\begin{array}[t]{rll} h‘(0)&\approx& 0,0007 \\[5pt] h′(91,1956) &\approx& −0,00002 \\[5pt] h‘(t) &\to & 0 \text{ für } t\to\infty \end{array}$

Da $t\approx 91,1956$ die einzige mögliche lokale Extremstelle von $h‘$ ist und dort eine negative Änderungsrate vorliegt, ist $t=0$ die globale Maximalstelle. Zum Zeitpunkt des Beginns des Aufnahmevorgangs ist die momentange Änderungsrate der Koffeinkonzentration maximal. Die maximale momentane Änderungsrate beträgt ca. $0,0007\,\dfrac{\text{mg}}{\text{m}l\cdot\text{min}}.$

a5)

$\blacktriangleright$ Zeiträume bestimmen

$\begin{array}[t]{rll} h(t) &=& 0,007 \\[5pt] t_1 &\approx& 19,3446 \\[5pt] t_2&\approx& 118,8102 \end{array}$

Vollständige Lösung anzeigen

Mit dem Graphen aus a2) ergibt sich:

In ungefähr den ersten $19$ Minuten nach Einsetzen des Aufnahmevorgangs und ab ungefähr $119$ Minuten nach Einsetzen des Aufnahmevorgangs beträgt die Koffeinkonzentration höchstens $0,007\,\dfrac{\text{mg}}{\text{m}l}.$

a6)

$\blacktriangleright$ Wert berechnen

$\blacktriangleright$ TI nspire CAS

menu $\to$ 4: Analysis $\to$ 3: Integral

$\blacktriangleright$ Casio Classpad II

keyboard $\to$ Math2 $\to$ $\int_{\Box}^{\Box}\Box$

$a \approx 96,3653$

Vollständige Lösung anzeigen

$\blacktriangleright$ Aussage beurteilen

Eine Flächeneinheit entspricht im Sachzusammenhang $1\,\frac{\text{mg}}{\text{m}l}\cdot 1\,\text{min} = 1\,\frac{\text{mg}}{\text{m}l}\cdot\text{min}.$ Dies gibt keine Einheit, die eine Koffeinmenge angibt. Die Aussage ist daher falsch.

b1)

$\blacktriangleright$ Zeitdauer angeben

Nach den ersten $240$ Minuten nach Beginn des Abbauvorgangs hat sich die Konzentration bereits um die Hälfte, also um $50\,\%$ reduziert.
Es verbleiben $50\,\%.$ Diese halbieren sich in den nächsten $240$ Minuten wiederum, sodass dann noch $25\,\%$ der Anfangskonzentration übrig sind.

Innerhalb von $480\,\text{min}$ nimmt die Koffeinkonzentration um $75\,\%$ ab.

b2)

$\blacktriangleright$ Bedeutung des Werts begründen

$t=0$ beschreibt den Zeitpunkt zu Beginn der Beobachtung.

$f(0)= c\cdot \mathrm e^{a\cdot 0} = c\cdot 1 = c$

Es ist also $f(0)=c.$ $c$ gibt daher die Koffeinkonzentration zu Beginn der Beobachtung an.

$\blacktriangleright$ Parameterwert $\boldsymbol{a}$ bestimmen

Innerhalb von $240$ Minuten nimmt die Konzentration um $50\,\%$ ab. Nach $240$ Minuten beträgt sie also noch $0,5c:$

$a \approx -0,0029$

Vollständige Lösung anzeigen

c1)

$\blacktriangleright$ $\boldsymbol{b\lt 0}$ begründen

Wird Koffein ins Blut aufgenommen, so steigt die Koffeinkonzentration. Die Funktion $g_{b;k}(t)$ muss also steigen. Dies ist aufgrund des Funktionsterms $k\cdot \left(1-\mathrm e^{b\cdot t}\right)$ wegen $k\in \mathbb{R}^+$ nur der Fall, wenn $b\lt 0$ ist.

c2)

$\blacktriangleright$ Bedeutung von $k$ im Sachzusammenhang angeben und Wert bestimmen

$k$ beschreibt den Wert, dem sich die Koffeinkonzentration langfristig annähert, wenn man den Abbauvorgang nicht miteinbezieht.

Laut Aufgabenstellung soll man von einer konstanten Blutmenge von $5\,l$ ausgehen. Es werden insgesamt $100\,\text{mg}$ Koffein ins Blut aufgenommen:

$\dfrac{100\,\text{mg}}{5000\,\text{m}l} = 0,02\, \frac{\text{mg}}{\text{m}l}$

Also ist $k= 0,02.$

c3)

$\blacktriangleright$ Summe der quadrierten Differenzen berechnen

$\begin{array}[t]{rll} &\left(g_{-0,07;0,02}(0)-0\right)^2 \\[5pt] +& \left(g_{-0,07;0,02}(15)-0,0127\right)^2 \\[5pt] +& \left(g_{-0,07;0,02}(30)-0,0173\right)^2\\[5pt] +& \left(g_{-0,07;0,02}(45)-0,0190\right)^2 \\[5pt] \approx& 1,74 \cdot 10^{−7} \\[5pt] \end{array}$

c4)

$\blacktriangleright$ Grund angeben

Unter den Differenzen können positive und negative Differenzen vorkommen, die sich dann bei der Summe gegenseitig aufheben können. In dem Fall wäre die Summe der Differenzen fälschlicherweise kleiner, obwohl die Werte eigentlich stärker voneinander abweichen, wodurch das Ergebnis verfälscht wird. Um dies zu vermeiden, sollte man die Beträge der Differenzen oder die Quadrate der Differenzen verwenden. So erhält man durch die Summe ein aussagekräftigeres Ergebnis.

c5)

$\blacktriangleright$ $\boldsymbol{b}$ bestimmen

Die Funktion $q$ mit folgender Funktionsgleichung gibt die Summe der quadrierten Differenzen von oben in Abhängigkeit von $b$ an:

$q(b)= ...$

Vollständige Lösung anzeigen

Gesucht ist eine lokale Extremstelle von $q.$ Hierfür gilt das notwendige Kriterium $q‘(b)=0.$ Mit dem Ableitungs- und dem solve-Befehl des CAS folgt:

$\begin{array}[t]{rll} q‘(b) &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; CAS \\[5pt] b &\approx& −0,0670 \end{array}$

Für das hinreichende Kriterium folgt ebenfalls mit dem CAS:

$q‘‘( −0,0670) \approx 0,041 \gt 0$

Bei $b\approx −0,0670$ handelt es sich also um eine lokale Minimalstelle. Weitere Extremstellen existieren nicht, weshalb es sich dabei also auch um die globale Minimalstelle handelt. Für $b\approx −0,0670$ beschreibt die Funktion $g_{b;0,02}$ die angegebenen Messwerte möglichst gut.