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Inhaltsverzeichnis

Hilfsmittelfreier Teil

HMF 1 - Analytische Geometrie

Gegeben sind die Geraden
\(g:\quad \overrightarrow{x}=\pmatrix{3\\-3\\3} +r\cdot \pmatrix{3\\0\\-1}\) mit \(r\in \mathbb{R}\) und \(h:\quad \overrightarrow{x}= \pmatrix{3\\-3\\3} + s\cdot \pmatrix{1\\0\\3}\) mit \(s\in \mathbb{R}.\)
1.1
Gib die Koordinaten des Schnittpunkts von \(g\) und \(h\) an.
Zeige, dass \(g\) und \(h\) senkrecht zueinander verlaufen.
(2 BE)
1.2
Die Ebene \(E\) enthält die Geraden \(g\) und \(h.\)
Bestimme eine Gleichung von \(E\) in Koordinatenform.
(3 BE)

HMF 2 - Analytische Geometrie

Gegeben sind die Geraden \(g\) und die Ebene \(E\) durch
\(g:\quad \overrightarrow{x}= \pmatrix{1\\1\\4}+r\cdot \pmatrix{0\\-3\\-4}\) und \(E:\quad 4x_2 -3x_3 = 25.\)
2.1
In jeder Zeile ist genau eine Aussage richtig. Kreuze diese an.
Die Gerade \(g\) ist parallel zur...
\(x_1x_2\)-Ebene
\(x_1x_3\)-Ebene
\(x_2x_3\)-Ebene
Die Gerade \(g\) hat zur \(x_2x_3\)-Ebene den Abstand ...
\(0.\)
\(1.\)
\(4.\)
Die Gerade \(g\) ...
verläuft orthogonal zu \(E.\)
verläuft echt parallel zu \(E.\)
liegt in \(E.\)
(3 BE)
2.2
Berechne den Abstand der Ebene \(E\) vom Ursprung.
(2 BE)

HMF 3 - Analytische Geometrie

Gegeben sind die Ebene \(E:\quad x_2-3x_3=-19\) sowie die Punkte \(P(1\mid 2\mid 2),\) \(Q(1\mid -1\mid 11)\) und \(S(-2\mid -4\mid 5).\)
3.1
Zeige, dass \(S\) in der Ebene \(E\) liegt.
(1 BE)
3.2
Weise nach, dass die Gerade durch \(P\) und \(Q\) senkrecht zu \(E\) steht.
(2 BE)
3.3
Die Punkte \(P\) und \(Q\) haben den gleichen Abstand von der Ebene \(E.\)
Die Punkte \(S\) und \(P\) legen die Gerade \(g\) fest. Spiegelt man \(g\) an \(E,\) so erhält man die Gerade \(h.\)
Gib eine Gleichung von \(h\) an.
(2 BE)

HMF 4 - Analysis

Gegeben ist die Funktion \(f\) mit \(f(x)=-x^3+3x^2-2x\) und \(x \in \mathrm{R}\).
Die Abbildung zeigt ihren Graphen \(G_f\), der bei \(x=1\) den Wendepunkt \(W\) hat.
4.1
Zeige, dass die Tangente an \(G_f\) im Punkt \(W\) die Steigung 1 hat.
(2 BE)
4.2
Betrachtet werden die Geraden mit positiver Steigung \(m\), die durch \(W\) verlaufen.
Gib die Anzahl der Schnittpunkte dieser Geraden mit \(G_f\) in Abhängigkeit von \(m\) an.
(3 BE)

HMF 5 - Analysis

5.1
Es ist jeweils genau eine Lösung richtig. Kreuze diese an.
Der Graph der Funktion \(h\) mit \(h(x)=x^2+\mathrm e^x\) verläuft durch den Punkt ...
\((2\mid 4+\mathrm e).\)
\((0\mid 1).\)
\((1\mid 0).\)
Der Graph von \(h\) hat an der Stelle \(1\) eine Steigung von ...
\(0.\)
\(1 +\mathrm e.\)
\(2+\mathrm e.\)
(2 BE)
5.2
Gegeben sind die Funktionen \(f\) und \(g\) mit \(f(x)=\mathrm e^x\) und \(g(x)=\mathrm e\cdot \ln(x)+\mathrm e.\)
Zeige, dass die Funktionen \(f\) und \(g\) an der Stelle \(1\) den gleichen Funktionswert und ihre Graphen dort die gleiche Steigung haben.
(3 BE)

HMF 6 - Analysis

Gegeben sei die Funktionenschar \(f_k\) mit \(f_k(x)= k\cdot \mathrm e^{kx}-x^3\) und \(k\in \mathbb{R}.\)
6.1
Bestimme den Parameter \(k\) so, dass der zugehörige Graph durch den Punkt \(P(0\mid 1)\) verläuft.
(2 BE)
6.2
Berechne den Parameter \(k\) so, dass \(\displaystyle\int_{0}^{2}f_k(x)\;\mathrm dx = \mathrm e -5\) gilt.
(3 BE)

HMF 7 - Stochastik

Ein Glücksrad mit drei gleichgroßen Sektoren ist wie abgebildet beschriftet.
Das Glücksrad wird zweimal gedreht.
7.1
Die Zufallsgröße \(X\) gibt die Summe der beiden erzielten Zahlen an.
Ergänze in der folgenden Tabelle die fehlenden Werte.
\(k\) \(P(X=k)\)
\(2 \) \(\frac{1}{9} \)
\(3 \) \( \)
\(4 \) \(\frac{1}{3} \)
\(5 \) \( \)
\(6 \) \( \)
(2 BE)
7.2
Betrachtet werden die Ereignisse \(A\) und \(B:\)
\(A:\)
„Es wird $(1;3),\( \)(2;2)$ oder \((3;1)\) erzielt.“
\(B:\)
„Beim ersten Drehen wird eine \(2\) erzielt.“
Untersuche, ob \(A\) und \(B\) stochastisch unabhängig sind.
(3 BE)

HMF 8 - Stochastik

Die Zufallsgrößen \(X\) und \(Y\) können jeweils die Werte \(3,\) \(4\) und \(5\) annehmen.
8.1
Für die Zufallsgröße \(X\) gilt: \(P(X=3) = \frac{1}{3},\) \(P(X=4)= \frac{1}{4}.\)
Bestimme den Erwartungswert von \(X.\)
(2 BE)
8.2
Für die Zufallsgröße \(Y\) gilt: \(P(Y=3)=\frac{1}{3},\) \(P(Y=4)\geq \frac{1}{6}\) und \(P(Y=5)\geq \frac{1}{6}.\)
Bestimme alle Werte, die für den Erwartungswert von \(Y\) infrage kommen.
(3 BE)
Bildnachweise [nach oben]
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