Analysis 1

Abbildung 1 zeigt schematisch die achsensymmetrische Seitenansicht einer Hängebrücke. Die beiden vertikalen Pfeiler haben einen Abstand von $400 \;\text{m}.$ Die Wasseroberfläche liegt $20 \;\text{m}$ unterhalb der Fahrbahn.

Abbildung 1

Die beiden Pfeiler gliedern die Brücke in einen linken, einen mittleren und einen rechten Abschnitt. Am oberen Ende jedes Pfeilers ist sowohl das Tragseil des mittleren Abschnitts als auch das Abspannseil des linken bzw. rechten Abschnitts befestigt. Die beiden Abspannseile sind am jeweiligen Ende der Fahrbahn verankert.

Im verwendeten Koordinatensystem entspricht eine Längeneinheit $10 \;\text{m}$ in der Realität. In der Seitenansicht der Brücke verläuft die $x$ -Achse entlang der horizontal verlaufenden Fahrbahn, die $y$ -Achse entlang der Symmetrieachse.

Im rechten Abschnitt der Brücke wird der Verlauf des Abspannseils modellhaft durch den folgenden Funktionsterm beschrieben:

$r(x)=\dfrac{253}{100} \cdot \left(\mathrm e ^{\frac{1}{11}(32-x)}-1\right)$

a1)

Begründe, dass die Pfeiler sich im Modell an den Stellen $-20$ und $20$ befinden.

(2 P)

a2)

Berechne die Höhe des rechten Pfeilers über der Wasseroberfläche.

(3 P)

a3)

Gib einen Funktionsterm für die Ableitungsfunktion $\(r$ von $r$ an.
Berechne die Größe des Winkels, unter dem das rechte Abspannseil auf den zugehörigen Pfeiler trifft.

(5 P)

Die beiden Abspannseile sind am jeweiligen Ende der Brücke verankert.

a4)

Zeige, dass die Fahrbahn der Brücke insgesamt $640\,\text{m}$ lang ist.

(4 P)

a5)

In der Seitenansicht begrenzen der rechte Pfeiler, das zugehörige Abspannseil und die Fahrbahn ein Flächenstück. Berechne dessen Inhalt in $\text{m}^2.$

(3 P)

a6)

Auch im linken Abschnitt der Brücke kann der Verlauf des Abspannseils im Model durch einen Funktionsterm beschrieben werden.
Gib einen passenden Term $\ell(x)$ sowie das Intervall an, in dem dieser Term das Abspannseil darstellt.

(3 P)

Im Folgenden wird der mittlere Abschnitt der Brücke betrachtet. Die vertikal verlaufenden Halteseile verbinden die Fahrbahn mit dem Tragseil. Sie haben sowohl von den Pfeilern als auch untereinander einen horizontalen Abstand von $16 \;\text{m}.$

Der Verlauf des Tragseils wird modellhaft durch den Funktionsterm

$s(x)=\left(\dfrac{1}{8}\right)^6 \cdot\left(x^4+2560 x^2\right)+\dfrac{125}{256}$

beschrieben.

b1)

Begründe, dass der Term von $s$ damit in Einklang steht, dass die Seitenansicht der Brücke achsensymmetrisch ist.

(2 P)

b2)

Berechne, in welcher Höhe über der Fahrbahn sich das Tragseil in der Mitte des mittleren Abschnitts der Brücke befindet.

(2 P)

b3)

Zwei Punkte des Tragseils in der rechten Hälfte des mittleren Abschnitts haben einen horizontalen Abstand von $40\;\text{m}$ und einen Höhenunterschied von $5 \;\text{m}.$

Gib eine Gleichung an, deren Lösung die $x$ -Koordinate des höher liegenden Punkts im Modell ist.

(2 P)

b4)

Gib die Bedeutung des Terms

$\left(\sum_{k=1}^{24} s(-20+1,6 \cdot k)\right) \cdot 10$ im Sachzusammenhang an und begründe deine Angabe.

(5 P)

b5)

Die Länge $L$ des Graphen einer Funktion $f$ über dem Intervall $[a ; b]$ kann durch

$L=\displaystyle\int_a^b \sqrt{1+\left(f^{\prime}(x)\right)^2} \;\mathrm dx$

berechnet werden.
Berechne die Länge des Tragseils.

(4 P)

Für jede reelle Zahl $m \geq 0$ ist eine Funktion $s_m$ mit

$\scriptsize{ s_m(x)=\left(\dfrac{1}{8}\right)^6 \cdot\left(x^4+\dfrac{8}{3} m \cdot x^3+2560 x^2\right)+\dfrac{125}{256}}$

gegeben.
Untersuche in Abhängigkeit von $m,$ in wie vielen Punkten der Graph von $s_m$ den Steigungswert null hat.

(5 P)

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a1)

Die beiden Pfeiler haben einen Abstand von $400\,\text{m}.$ Im Modell haben sie also einen Abstand von $40\,\text{LE}.$
Da die Symmetriachse mittig zwischen den beiden Pfeilern verlaufen muss, muss die $y$ -Achse im Modell ebenfalls mittig zwischen den Pfeilern verlaufen. Dadurch ergeben sich die Stellen $-20$ und $20,$ die symmetrisch zueinander um die $y$ -Achse liegen und den richtigen Abstand haben.

a2)

$r(20) = \dfrac{253}{100} \cdot \left(\mathrm e ^{\frac{1}{11}(32-20)}-1\right) \approx 5,00$

Damit folgt, dass die Höhe des rechten Pfeilers über der Wasseroberfläche ungefähr $5 \cdot 10\;\text{m} +20 \;\text{m} =70 \;\text{m}$ beträgt.

a3)

$\(r$ $=-\dfrac{23}{100} \cdot \mathrm e ^{\frac{1}{11}(32-x)}$

Der gesuchte Winkel entspricht dem Schnittwinkel der Tangente an den Graphen von $r$ an der Stelle $x=20$ mit der $y$ -Achse.

Die Tangente bildet mit den Koordinatenachsen ein rechtwinkliges Dreieck.

Einer der übrigen Innenwinkel ist der gesuchte Winkel, der andere ist der Winkel $\alpha,$ den die Tangente mit der $x$ -Achse einschließt. Dafür gilt:

$\(\begin{array}[t]{rll} \tan \alpha &=& r$

Für den gesuchten Winkel gilt dann:

$180^{\circ} -90^\circ -34,4^\circ = 55,6^\circ$

Das rechte Abspannseil trifft in einem Winkel von ca. $55,6^\circ$ auf den Pfeiler.

a4)

Die Stelle, an der der Graph der Funktion $r$ die $x$ -Achse schneidet, entspricht im Modell der Stelle, an der das rechte Abspannseil endet.

$\begin{array}[t]{rll} r(x)&=&0 \\[5pt] \dfrac{253}{100} \cdot\left( \mathrm e ^{\frac{1}{11}(32-x)}-1\right)&=& 0 &\quad \scriptsize\mid \;:\dfrac{253}{100} \\[5pt] \mathrm e ^{\frac{1}{11}(32-x)}-1 &=& 0 &\quad \scriptsize\mid \; +1\\[5pt] \mathrm e ^{\frac{1}{11}(32-x)} &=& 1 &\quad \scriptsize\mid \; \ln\\[5pt] \frac{1}{11}(32-x) &=& 0 &\quad \scriptsize\mid \; \cdot 11\\[5pt] 32-x &=& 0 &\quad \scriptsize\mid \; +x\\[5pt] 32 &=& x \end{array}$

Aufgrund der Symmetrie der Brücke, ergibt sich die Länge der Fahrbahn zu $32\;\text{LE}\cdot 2\cdot 10\;\dfrac{\text{m}}{\text{LE}}= 640\;\text{m}.$

a5)

Die Fläche wird im Modell durch $x=20$ (Position des Pfeilers) und die Nullstelle bei $x=32$ (Ende des Abspannseils) begrenzt.

Rechenweg anzeigen

$A\approx 24,66\,\text{[FE]}$

Der Flächeninhalt beträgt etwa $24,66\,\text{FE} = 2466 \;\text{m}^2.$

a6)

Aufgrund der durch die Symmetrieachse verlaufenden $y$ -Achse folgt:

$\begin{array}[t]{rll} l(x)&=& r(-x) \\[5pt] &=&\dfrac{253}{100} \cdot\left( \mathrm e ^{\frac{1}{11} \cdot(32+x)}-1\right) \end{array}$

für $-32 \leq x \leq-20.$

b1)

Die Funktion $s$ ist eine ganzrationale Funktion, deren Funktionsterm nur Potenzen von $x$ mit geraden Exponenten enthält.

b2)

Die Mitte befindet sich im Modell bei $x=0.$

$s(0)= \left(\dfrac{1}{8}\right)^6 \cdot\left(0^4+2560\cdot 0^2\right)+\dfrac{125}{256}$ $= \dfrac{125}{256}\approx 0,49\,\text{[LE]}$

In der Mitte des mittleren Abschnitts befindet sich das Tragseil ca. $4,9\,\text{m}$ über der Fahrbahn.

b3)

$s(x)-s(x-4)=0,5$

b4)

Der Abbildung lässt sich entnehmen, dass sich im mittleren Abschnitt insgesamt $24$ Halteseile befinden, die den mittleren Abschnitt in $25$ Segmente teilen.

Der mittlere Abschnitt reicht im Modell von $x=-20$ bis $x=20$ und hat daher eine Länge von $40\,\text{LE}.$

Jedes der Segmente hat also eine Breite von:

$\dfrac{40}{25} = 1,6\,\text{LE}$

$s(-20 +1,6\cdot k)$ beschreibt daher für $k\in \{1,2,3,...\}$ die Länge des $k$ -ten Halteseils im Modell.

Der Term $\sum_{k=1}^{24} s(-20+1,6 \cdot k)$ gibt demnach die Gesamtlänge der Halteseile im mittleren Abschnitt im Modell an. Durch die Multiplikation mit $10$ wird dies auf die Länge in Metern in der Realität umgerechnet.

Insgesamt gibt der Term also die Gesamtlänge aller Halteseile des mittleren Abschnitts der Brücke in Meter an.

b5)

Es gilt:

$\(s$ $= 4\cdot \left(\dfrac{1}{8}\right)^6 \cdot\left(x^3+1280\cdot x\right)$

Aufgrund der Symmetrie genügt es zunächst nur die Länge des Tragseils in der rechten Hälfte des mittleren Abschnitts zu berechnen. Mit den erweiterten Funktionen des Taschenrechners ergibt sich:

Rechenweg anzeigen

$L\approx 20,7$

Für die Länge des Tragseils folgt daraus:

$2\cdot 20,7\cdot 10\,\text{m} = 414\,\text{m}$

Die Steigung des Graphen von $s_m$ wird durch $\(s_m$ beschrieben:

$\(s_m$

Gleichsetzen mit Null liefert:

Rechenweg anzeigen

$\(\begin{array}[t]{rll} s_m$

Nach dem Satz vom Nullprodukt, ist diese Gleichung erfüllt, wenn $x=0$ oder $4x^2+8 m \cdot x+5120=0$ ist. Daraus folgt $x_1 =0$ und weiterhin folgt mit der $pq$ -Formel:

Rechenweg anzeigen

$x_{1/2} = -2m\pm \sqrt{2m^2 -1280}$

Die Anzahl der Lösungen der Gleichung hängt vom Term unter der Wurzel ab.

Ist $m^2-1280 \lt 0$ gibt es keine Lösung.
Ist $m^2-1280 =0$ gibt es eine Lösung.
Ist $m^2-1280 \gt 0$ gibt es zwei Lösungen.

Für diesen gilt:

$\begin{array}[t]{rll} m^2 - 1280 &\lt& 0 &\quad \scriptsize \mid\; +1280\\[5pt] m^2 &\lt& 1280 & \end{array}$

Daraus lässt sich bereits ableiten:

Für $-\sqrt{1280}\lt m \lt \sqrt{1280}$ besitzt der Graph von $s_m$ genau eine Stelle mit dem Steigungswert null, nämlich bei $x=0.$
Für $m = -\sqrt{1280}$ und $m = \sqrt{1280}$ besitzt der Graph von $s_m$ neben der Stelle $x=0$ eine weitere und somit insgesamt zwei Stellen mit dem Steigungswert null.
Für $m \lt -\sqrt{1280}$ und $m \gt \sqrt{1280}$ besitzt der Graph von $s_m$ neben der Stelle $x=0$ zwei weitere und somit insgesamt drei Stellen mit dem Steigungswert null.

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