Analysis 1

Gegeben ist die Funktion

$f:\quad x\mapsto -\frac{1}{10^6}x^4+...$

mit Definitionsbereich $\mathbb{R}.$

Berechne die Koordinaten der Extrempunkte des Graphen von $f$ und bestimme die Art dieser Extrempunkte.
[Zur Kontrolle: Die Extremstellen sind $20,$ $100$ und $200.$ ]

(5 BE)

$\,$

Gib die Koordinaten des Schnittpunkts des Graphen von $f$ mit der $y$ -Achse an. Begründe ohne weitere Rechnung, dass $f$ genau zwei Nullstellen hat.

(4 BE)

$\,$

Für $50 \lt x \lt 130$ gibt es ein Paar von $x$ -Werten, die sich um $60$ unterscheiden und für die die zugehörigen Funktionswerte übereinstimmen. Bestimme dieses Paar von $x$ -Werten und gib den zugehörigen Funktionswert an.

(4 BE)

Der Graph von $f$ schließt mit den Koordinatenachsen und der Geraden mit der Gleichung $x = 240$ ein Flächenstück ein.

$\,$

Bestimme eine Gleichung der Geraden, die parallel zur $y$ -Achse verläuft und dieses Flächenstück halbiert.

(4 BE)

$\,$

Für jedes $x$ mit $0\leq x\leq 240$ ist durch $A(0\mid 0),$ $B_x(x\mid 0)$ und $C_x(x\mid f(x))$ ein Dreieck $AB_xC_x$ gegeben.
Ferner sei die Funktion $d$ mit $d(x)=\frac{1}{2}\cdot x \cdot f(x)$ gegeben.
Die Gleichung $d‘(x)=0$ hat genau eine Lösung $u$ mit $0\lt u\leq 240.$

Berechne $d(u).$

(2 BE)

$\,$

Erläutere die geometrische Bedeutung der Funktionswerte $d(x).$
Untersuche die besondere Bedeutung des Wertes $d(u)$ in diesem Zusammenhang.

(4 BE)

Diabetespatientinnen und -patienten haben die Möglichkeit, mithilfe sogenannter CGM-Geräte ihren Glukosewert, d. h. den Anteil der Glukose im Blut, ständig zu messen. Die gegebene Funktion $f$ beschreibt für $0 \leq x \leq 240$ modellhaft die Entwicklung des Glukosewerts eines Patienten. Dabei ist $x$ die seit Beobachtungsbeginn vergangene Zeit in Minuten und $f(x)$ der Glukosewert in Milligramm pro Deziliter $\left(\frac{\text{mg}}{\text{dl}}\right).$ Die Abbildung zeigt den Graphen von $f$ im betrachteten Bereich.

Abb. 1

Hohe Glukosewerte über längere Zeit gelten als Risikofaktor. Ermittle anhand der Grafik für den betrachteten Zeitraum, wie lange Glukosewerte über $170\,\frac{\text{mg}}{\text{dl}}$ gemessen wurden.

(3 BE)

$\,$

Berechne für $0\leq x\leq 240$ denjenigen Zeitpunkt, zu dem der Glukosewert am stärksten ansteigt.

(4 BE)

$\,$

Ermittle rechnerisch für $0\leq x\leq 240$ , wie lange die momentane Änderungsrate des Glukosewerts insgesamt zwischen $-0,3\,\frac{\text{mg}}{\text{dl}}$ pro Minute und $+0,3\,\frac{\text{mg}}{\text{dl}}$ pro Minute lag.

(4 BE)

Zum Zeitpunkt $240$ Minuten nach Beobachtungsbeginn nimmt der Patient Traubenzucker zu sich. Die anschließende Entwicklung des Glukosewerts soll im Modell mithilfe einer Funktion $g$ beschrieben werden, die folgende Bedingung erfüllt:

Die beiden Werte, die das Modell zum Zeitpunkt $240$ Minuten nach Beobachtungsbeginn für den Glukosewert und für dessen momentane Änderungsrate liefert, sollen unabhängig davon sein, ob sie mithilfe der Funktion $f$ oder mithilfe der Funktion $g$ ermittelt werden.

Zur Bestimmung eines Funktionsterms von $g$ sollen zunächst die in $\mathbb{R}$ definierten Funktionen

$h_k:\quad x\mapsto 50- ...$

Funktion anzeigen

mit $k\gt 0$ betrachtet werden.

$\,$

Bestimme den Wert von $k$ so, dass die momentane Änderungsrate, die sich unter Verwendung von $h_k$ für den Zeitpunkt $0$ ergibt, mit der momentanen Änderungsrate übereinstimmt, die $f$ für den Zeitpunkt $240$ Minuten nach Beobachtungsbeginn liefert.

(2 BE)

$\,$

Die für die Funktion $g$ angegebene Bedingung lässt sich erfüllen, wenn der Graph von $g$ durch eine geeignete Verschiebung aus dem Graphen von $h_k$ für $k= \frac{308}{3.125}$ hervorgeht. Beschreibe diese Verschiebung und gib einen Funktionsterm von $g$ an.

(4 BE)

Bildnachweise [nach oben]

[1]

$\blacktriangleright$ Koordinaten der Extrempunkte bestimmen

Mit dem CAS kannst du die Ableitungen definieren:

$\blacktriangleright$ TI nspire CAS

menu $\to$ 4: Analysis $\to$ 1: Ableitung

$\blacktriangleright$ Casio Classpad II

keyboard $\to$ Math2 $\to$ $\frac{\text{d}}{\text{d}\Box}$

Mit dem solve-Befehl und dem Ableitungsbefehl des CAS folgt für das notwendige Kriterium für Extremstellen:

$\begin{array}[t]{rll} f‘(x)&=& 0 \\[5pt] x_3&=& 20 \\[5pt] x_4&=& 100 \\[5pt] x_5&=& 200 \end{array}$

Für das hinreichende Kriterium folgt ebenfalls mit dem CAS:

$\begin{array}[t]{rll} f‘‘(x_3)& \lt 0\\[10pt] f‘‘(x_4)& \gt 0 \\[10pt] f‘‘(x_5)& \lt 0 \\[10pt] \end{array}$

Vollständige Lösung anzeigen

An der Stelle $x_3$ und $x_5$ besitzt der Graph von $f$ also jeweils einen Hochpunkt und an der Stelle $x_4$ einen Tiefpunkt. Für die $y$ -Koordinaten folgt:

$\begin{array}[t]{rll} f(x_3)&=& f(20) \\[5pt] &=& \frac{11.584}{75} \\[10pt] f(x_4)&=& f(100) \\[5pt] &=& \frac{320}{3} \\[10pt] f(x_5)&=& f(200) \\[5pt] &=& \frac{580}{3} \\[10pt] \end{array}$

Der Graph von $f$ besitzt zwei Hochpunkte $H_1\left(20\mid \frac{11.584}{75}\right)$ und $H_2\left(200\mid \frac{580}{3}\right)$ und einen Tiefpunkt $T\left(100\mid \frac{320}{3}\right).$

$\,$

$\blacktriangleright$ Koordinaten des Schnittpunkts angeben

$f(0)=140$

Vollständige Lösung anzeigen

Der Graph von $f$ schneidet die $y$ -Achse im Punkt $S_y(0\mid 140).$

$\blacktriangleright$ Anzahl der Nullstellen begründen

Die drei Extrempunkte des Graphen von $f$ liegen oberhalb der $x$ -Achse. Im Intervall $[20;200]$ kann $f$ daher keine Nullstellen besitzen, da sonst der Tiefpunkt eine negative $y$ -Koordinate haben müsste.

Da $\lim\limits_{x\to-\infty}f(x) = -\infty$ und $\lim\limits_{x\to+\infty}f(x) = -\infty$ gilt, muss der Graph von $f$ aber für $x \lt 20$ genau einmal die $x$ -Achse schneiden. Würde er sie zweimal schneiden, gäbe es für $x\lt 20$ noch einen weiteren Tiefpunkt. Gleiches gilt für $x\gt 200.$ Insgesamt besitzt $f$ daher genau zwei Nullstellen.

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$\blacktriangleright$ Wertepaar bestimmen

Es ist $x$ gesucht mit $f(x)=f(x+60)$ und $50\lt x\lt 130.$ Mit dem solve-Befehl des CAS folgt:

$x = 69,1528$

Vollständige Lösung anzeigen

Die übrigen Lösungen der Gleichung liegen außerhalb des geforderten Bereichs.
Das gesuchte Paar von $x$ -Werten ist also $x_1= 69,1528$ und $x_2= 129,1528.$ Diese haben einen Abstand von $60$ und den gemeinsamen Funktionswert $f(69,1528)=120,203.$

$\blacktriangleright$ Geradengleichung bestimmen

Gesucht ist eine Gerade $x=b$ mit:

$\frac{1}{2}\displaystyle\int_{0}^{240}f(x)\;\mathrm dx$ $= \displaystyle\int_{0}^{b}f(x)\;\mathrm dx$

Mit dem solve-Befehl des CAS erhält man drei Lösungen für $b.$ Da die Gerade die Fläche halbieren soll, muss $b\in [0;240]$ sein. Die einzige passende Lösung ist $b\approx 135,461.$

Eine Gleichung der Geraden, die parallel zur $y$ -Achse verläuft und das Flächenstück halbiert, lautet $x = 135,461.$

$\,$

$\blacktriangleright$ Funktionswert berechnen

Bestimme mithilfe des Ableitungs- und des solve-Befehls deines CAS zunächst die Stelle $u:$

$\begin{array}[t]{rll} x_1&=& 210,627\\[5pt] x_2&=& -19,9266 \end{array}$

Vollständige Lösung anzeigen

Es ist also $u=x_1=210,627.$ Für den Funktionswert folgt:

$d(u)\approx 19.883,9$

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$\blacktriangleright$ Geometrische Bedeutung erläutern

Die Funktionswerte $d(x)$ geben in Abhängigkeit von $x$ den Flächeninhalt der Dreiecke $AB_xC_x$ an.

Da $d‘$ an der Stelle $x=u$ eine Nullstelle besitzt, ist an dieser Stelle das notwendige Kriterium für Extremstellen erfüllt. Dies deutet darauf hin, dass der Graph von $d$ an dieser Stelle einen Extrempunkt besitzt.
Für das hinreichende Kriterium für Extremstellen folgt mithilfe des CAS:

$d‘‘(u)\approx -11 \lt 0$

Der Graph von $d$ besitzt also an der Stelle $u$ einen Hochpunkt. Da $d‘$ laut Aufgabenstellung im betrachteten Bereich keine weitere Nullstelle besitzt, bleibt dies der einzige Extrempunkt und damit ist $d(u)$ der größte Funktionswert von $d$ im betrachteten Bereich.
$d(u)$ ist insgesamt also der größtmögliche Flächeninhalt, den ein Dreieck $AB_xC_x$ haben kann.

$\blacktriangleright$ Länge des Zeitraums ermitteln

Aus der Grafik kannst du ablesen, dass in etwa gilt:

$f(170)\approx 170$ und $f(225)\approx 170$

Dazwischen verläuft der Graph von $f$ oberhalb der Geraden mit $y=170.$
Es werden also ca. $55$ Minuten lang Glukosewerte über $170\,\frac{\text{mg}}{\text{dl}}$ gemessen.

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$\blacktriangleright$ Zeitpunkt mit dem stärksten Anstieg berechnen

Der Zeitpunkt mit dem stärksten Anstieg ist der Zeitpunkt, zu dem $f‘$ ihr Maximum annimmt. Untersuche also wie in Teilaufgabe a1) den Graphen von $f‘$ auf Extrempunkte. Überprüfe anschließend die Intervallränder auf mögliche Randextrema.
Für das notwendige Kriterium für Extremstellen folgt mit dem solve-Befehl des CAS:

$\begin{array}[t]{rll} x_1&=&... \\[5pt] x_2&=& ... \end{array}$

Vollständige Lösung anzeigen

Für das hinreichende Kriterium für Extremstellen folgt ebenfalls mit dem CAS:

$\begin{array}[t]{rll} f‘‘‘(x_1)& \gt 0\\[5pt] f‘‘‘(x_2)& \lt 0 \end{array}$

Vollständige Lösung anzeigen

Der Graph von $f‘$ besitzt also an der Stelle $x_2$ einen Hochpunkt.
Für die Steigungswerte an diesem Hochpunkt und in den Intervallrändern gilt:

$\begin{array}[t]{rll} f‘(x_2)&\approx& 1,345 \\[5pt] f‘(0)&=& 1,6 \\[5pt] f‘(240)&=& -4,928 \end{array}$

Der Zeitpunkt mit dem stärksten Anstieg des Glukosewertes liegt also direkt zu Beginn des Messzeitraums, bei $x=0.$

$\,$

$\blacktriangleright$ Zeitraum ermitteln

Die momentane Änderungsrate des Glukosewertes wird durch die 1. Ableitung $f‘$ von $f$ beschrieben. Gesucht sind also alle Werte von $x$ für die $-0,3 \leq f‘(x) \leq 0,3$ ist. Mit dem solve-Befehl des CAS ergeben sich drei Intervalle:

$15,213\leq x \leq 25,8027,$ eine Dauer von ca. $10,59$ Minuten
$90,2735\leq x \leq 109,26,$ eine Dauer von ca. $18,99$ Minuten.
$195,527 \leq x\leq 203,924,$ eine Dauer von ca. $8,40$ Minuten.

Insgesamt ergibt sich also eine Dauer von ca. $38$ Minuten, in denen die momentane Änderungsrate des Glukosewertes zwischen $-0,3\,\frac{\text{mg}}{\text{dl}}$ pro Minute und $+0,3\,\frac{\text{mg}}{\text{dl}}$ pro Minute beträgt.

$\blacktriangleright$ Parameterwert bestimmen

Die momentane Änderungsrate wird jeweils durch die erste Ableitung beschrieben. Es soll also gelten $h_k‘(0)=f‘(240).$ Mit dem Ableitungs- und dem solve-Befehl des CAS folgt:

$k = \frac{308}{3.125}$

$\,$

$\blacktriangleright$ Verschiebung beschreiben

Durch den angegebenen Wert von $k$ ist laut 3 e) bereits die geforderte momentane Änderungsrate für $h_k$ erfüllt. Damit dies erhalten bleibt, darf der Graph von $h_k$ nur in $y$ -Richtung verschoben werden. Dies hat keinen Einfluss auf die momentane Änderungsrate, aber auf die Funktionswerte.
Es ist also:

$g(x)= ...$

Vollständige Lösung anzeigen

$c$ muss nun so gewählt werden, dass $g(0)=f(240)$ ist. Mit dem solve-Befehl des CAS ergibt sich:

$c=\frac{2.732}{25}$

Insgesamt ergibt sich für $g$ folgender Funktionsterm:

$g(x)=...$

Vollständige Lösung anzeigen

Der Graph von $h_k$ für $k = \frac{308}{3.125}$ muss um $\frac{2.732}{25}$ Einheiten in positive $y$ -Richtung verschoben werden, damit sowohl die momentane Änderungsrate als auch der Glukosewert mit der Modellierung durch die Funktion $f$ übereinstimmt. Ein Term der Funktion $g$ lautet:

$g(x)=...$

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