Aufgabe 1: Analysis

1.1

Gegeben ist die Schar der in $\mathbb{R}$ definierten Funktionen $f_{a ; b}$ durch $f_{a ; b}(x)=a x^3-b x$ und $a, b \in\mathbb{R},$ $\;a\gt0,$ $\; b\gt0.$

Die Abbildung zeigt den Graphen einer der Funktionen der Schar.

Begründe, dass jeder Graph der Schar symmetrisch bezüglich des Koordinatenursprungs ist.

(2 BE)

Weise in Abhängigkeit von $a$ und $b$ nach, dass der Graph von $f_{a ; b}$ einen Tiefpunkt mit der $x$ -Koordinate $\sqrt{\dfrac{b}{3a}}$ hat.

Begründe, dass er zudem einen Hochpunkt besitzt und dass dieser eine kleinere $x$ -Koordinate hat als der Tiefpunkt.

(6 BE)

Es gibt eine Funktion der Schar, die bei $x=3$ eine Nullstelle hat und deren Graph im vierten Quadranten mit der $x$ -Achse ein Flächenstück mit dem Inhalt 40,5 einschließt.

Bestimme die zugehörigen Werte von $a$ und $b.$

(7 BE)

Die Funktion der Schar, deren Graph in der Abbildung dargestellt ist, wird mit $f$ bezeichnet; ihr Funktionsterm ist $f(x)=x^3-4 x.$

Die Tangente an den Graphen von $f$ im Punkt $A(2 \mid 0),$ die $x$ -Achse und die Gerade $g$ mit der Gleichung $y=-x-2$ schließen ein Dreieck ein.

Berechne seinen Flächeninhalt.

(7 BE)

Begründe, dass die folgende Aussage richtig ist:

Ist $P$ ein beliebiger Punkt auf dem Graphen von $f,$ so liegt der Mittelpunkt der Verbindungsstrecke von $P$ und dem Koordinatenursprung auf dem Graphen der in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $h$ mit $h(x)=4 x^3-4 x.$

(4 BE)

1.2

Die Leitung eines großen Unternehmens versendet jeden Arbeitstag um 7:00 Uhr eine E-Mail mit tagesaktuellen Informationen an alle Mitarbeiterinnen und Mitarbeiter. Diese wurden gebeten, nach dem Lesen der E-Mail eine Lesebestätigung zu versenden.

Die folgende Tabelle zeigt für einen bestimmten Tag, wie viele Lesebestätigungen bei der Leitung des Unternehmens bis zum jeweiligen Zeitpunkt bereits eingegangen sind.

Zeitpunkt	Anzahl der bis dahin eingegangenen Lesebestätigungen
$7:30$ Uhr	$252$
$8:00$ Uhr	$899$
$8:30$ Uhr	$1701$
$9:00$ Uhr	$2627$
$9:30$ Uhr	$3503$
$10:00$ Uhr	$4364$
.....
$14:30$ Uhr	$7552$
$15:00$ Uhr	$7572$
.....

Beispielsweise sind von 7:00 Uhr bis 10:00 Uhr 4364 Lesebestätigungen eingegangen.

Ermittle mit Hilfe der Tabelle für den betrachteten Tag, wie viele Lesebestätigungen im Zeitraum von 8:30 Uhr bis 10:00 Uhr im Mittel pro Stunde eingegangen sind.

(3 BE)

Auf der Grundlage der über viele Tage erfassten Lesebestätigungen wurde mit Hilfe der in $\mathbb{R}$ definierten Funktionen $u$ mit $u(x)=100 x^3-900 x^2+2300 x$ und $v$ mit $v(x)=20 x^2-520 x+2880$ die Funktion $k$ entwickelt:

$k(x)= \begin{cases}u(x) & \text { für } 0 \leq x\lt 3 \\ v(x) & \text { für } 3 \leq x \leq 8\end{cases}$

Die Funktion $k$ beschreibt modellhaft für einen Zeitraum von acht Stunden eines Arbeitstages die zeitliche Entwicklung der momentanen Änderungsrate der Anzahl der eingegangenen Lesebestätigungen.

Dabei ist $x$ die seit 7:00 Uhr vergangene Zeit in Stunden und $k(x)$ die momentane Änderungsrate der Anzahl der seit 7:00 Uhr eingegangenen Lesebestätigungen in der Einheit $\dfrac{1}{\text{h}}.$

Berechne $k(2)$ und interpretiere das Ergebnis im Sachzusammenhang.

(3 BE)

Es gilt $v(x)=20 \cdot(x-18) \cdot(x-8).$

Begründe, dass die Funktion $v$ nicht geeignet ist, die momentane Änderungsrate auch für den Zeitraum nach 15:00 Uhr zu beschreiben.

(3 BE)

Berechne mit Hilfe der Funktion $k$ die Anzahl der im Zeitraum von 10:00 Uhr bis 15:00 Uhr eines Arbeitstages eingegangenen Lesebestätigungen.

Ermittle, um wie viel Prozent diese auf der Grundlage des Modells berechnete Anzahl von der entsprechenden Anzahl des eingangs betrachteten Tages (vergleiche Tabelle) abweicht.

(5 BE)

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1.1

Für Symmetrie bezüglich des Koordinatenursprungs muss gelten:

$f(-x)= -f(x)$

Da die Funktionenschar nur ungerade Exponenten besitzt, gilt:

$\begin{array}[t]{rll} f(-x)&=& a\cdot (-x)^3-b\cdot (-x) & \\[5pt] &=& -ax^3+bx& \\[5pt] &=& -(ax^3-bx)& \\[5pt] &=& -f(x) \end{array}$

1. Schritt: Ableitungen bestimmen

$\(\begin{array}[t]{rll} f_{a;b}$

2. Schritt: Notwendige Bedingung für Extremstellen überprüfen

$\(\begin{array}[t]{rll} f_{a;b}$

3. Schritt: Hinreichende Bedingung für Extremstellen überprüfen

Wegen $a\in \mathbb{R}^+$ gilt:

$\(f_{a;b}$

Der Graph von $f_{a;b}$ besitzt somit einen Tiefpunkt mit der $x$ -Koordinate $\sqrt{\dfrac{b}{3 a}}.$

Begründung

Da der Graph von $f_{a;b}$ punktsymmetrisch zum Ursprung ist, liegt an der Stelle $x=-\sqrt{\dfrac{b}{3 a}}$ ein Hochpunkt vor.

Wegen $a,b \in \mathbb{R}^+$ gilt:

$-\sqrt{\dfrac{b}{3 a}} \lt 0 \lt \sqrt{\dfrac{b}{3 a}}$

Somit besitzt der Hochpunkt immer eine kleinere $x$ -Koordinate als der Tiefpunkt.

Da die Funktion eine Nullstelle bei $x=3$ hat, muss gelten:

$\begin{array}[t]{rll} f_{a;b}(3)&=& 0 & \\[5pt] a\cdot 3^3-b\cdot 3&=& 0 & \\[5pt] 27a-3b&=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; +3b\\[5pt] 27a&=& 3b &\quad \scriptsize \mid\; :3\\[5pt] 9a&=& b \end{array}$

Der Graph der Funktion verläuft für $0 \leq x \leq 3$ im vierten Quadranten. Da die mit der $x$ -Achse eingeschlossene Fläche in diesem Intervall unterhalb der $x$ -Achse verläuft, ist der orientierte Flächeninhalt negativ.

Es soll also gelten:

$\displaystyle\int_{0}^{3}f_{a;b}(x)\;\mathrm dx=-40,5$

Rechnung anzeigen

Die zugehörigen Werte der Parameter folgen also mit $a=2$ und $b=9\cdot 2=18.$

Hilfsskizze

1. Schritt: Tangentengleichung aufstellen

Für die erste Ableitung von $f_1$ gilt:

$\(f_1$

Für die Steigung $m$ der in grün eingezeichneten Tangente im Punkt $(2 \mid 0)$ folgt somit:

$\(\begin{array}[t]{rll} m&=& f_1$

Einsetzen von $m$ und der Koordinaten von $A$ in die allgemeine Tangentengleichung liefert:

$\begin{array}[t]{rll} t: \quad y&=& m\cdot x+c& \\[5pt] 0&=& 8\cdot 2+c&\quad \scriptsize \mid\; -16 \\[5pt] -16&=& c \end{array}$

Eine Gleichung der Tangente ist somit gegeben durch $t: y=8x-16.$

2. Schritt: Schnittpunkt berechnen

Gleichsetzen der Tangentengleichung und der Gleichung der Geraden $g$ liefert:

$\begin{array}[t]{rll} 8x-16&=& -x-2 &\quad \scriptsize \mid\;+16 \quad \scriptsize \mid\;+x \\[5pt] 9x&=&14 &\quad \scriptsize \mid\;:9\\[5pt] x&=&\dfrac{14}{9} \end{array}$

Einsetzen in $y=-x-2$ liefert:

$\begin{array}[t]{rll} y&=& -\dfrac{14}{9}-2 \\[5pt] &=& -\dfrac{32}{9} \end{array}$

Der Schnittpunkt besitzt somit die Koordinaten $S\left(\dfrac{14}{9} \,\bigg \vert \, -\dfrac{32}{9}\right).$

3. Schritt: Flächeninhalt berechnen

Die Dreiecksseite, die auf der $x$ -Achse liegt, entspricht der Grundseite des Dreiecks und besitzt eine Länge von $2-(-2)=4\;[\text{LE}].$

Die $y$ -Koordinate des Schnittpunkts gibt die Höhe $h$ des Dreiecks an.

Es gilt also:

$\begin{array}[t]{rll} A&=&\dfrac{1}{2}\cdot 4\cdot \dfrac{32}{9} \\[5pt] &=& \dfrac{64}{9}\\[5pt] &\approx & 7,11 \;[\text{FE}] \end{array}$

Für einen Punkt $P$ auf dem Graphen von $f_1$ mit den allgemeinen Koordinaten $(x\mid f(x))$ besitzt der Mittelpunkt der Verbindungsstrecke von $P$ mit dem Koordinatenursprung die Koordinaten $\left(\dfrac{x}{2} \,\bigg \vert \, \dfrac{f(x)}{2}\right).$

Gleichsetzen von $h\left(\dfrac{x}{2}\right)$ mit $\dfrac{f(x)}{2}$ liefert:

$\begin{array}[t]{rll} h\left(\dfrac{x}{2}\right)&=&\dfrac{f(x)}{2} \\[5pt] 4\cdot\left(\dfrac{x}{2}\right)^3-4\cdot\dfrac{x}{2}&=&\dfrac{x^3-4x}{2} \\[5pt] \dfrac{1}{2}x^3-2x&=&\dfrac{1}{2}x^3-2x \end{array}$

Da die beiden Seiten der Gleichung übereinstimmen, ist die Aussage folglich richtig.

1.2

Die zeitliche Differenz zwischen 8:30 Uhr und 10:00 Uhr beträgt 1,5 Stunden.

Die im Mittel pro Stunde eingegangenen Lesebestätigungen in diesem Zeitfenster folgt also mit:

$\dfrac{4364-1701}{1,5}\approx 1775$

Wert berechnen

$\begin{array}[t]{rll} k(2)&=&u(2) \\[5pt] &=&100\cdot2^3-900\cdot2^2+2300\cdot2 \\[5pt] &=&1800 \end{array}$

Ergebnis interpretieren

Nach dem Modell beträgt die momentane Änderungsrate der Anzahl der seit 7:00 Uhr eingegangenen Lesebestätigungen um 9:00 Uhr $1800\;\frac{1}{\text{h}}.$

Aus dem Funktionsterm von $v$ können die Nullstellen bei $x=8$ und $x=18$ abgelesen werden. An der Stelle $x=8$ liegt folglich ein Vorzeichenwechsel von plus nach minus vor.

Somit würden die Änderungsraten nach 15:00 Uhr negative Werte annehmen, was im Sachzusammenhang keinen Sinn ergibt.

Anzahl der Lesebestätigungen berechnen

10:00 Uhr entspricht 3 Stunden nach 7:00 Uhr und 15:00 Uhr entspricht analog 8 Stunden.

Es gilt also:

$\displaystyle\int_{3}^{8}k(x)\;\mathrm dx \approx 3333$

Rechenweg anzeigen

Prozentuale Abweichung ermitteln

Mit den Werten aus der Tabelle folgt für die gesuchte prozentuale Abweichung:

$\dfrac{3333-(7572-4364)}{7572-4364} \approx 3,9\,\%$

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