Aufgabe 2: Analytische Geometrie

Gegeben sind die Punkte $A (5\mid -5 \mid 12),$ $B(5\mid 5 \mid 12)$ und $C(-5\mid 5 \mid 12).$

Zeige, dass das Dreieck $ABC$ gleichschenklig ist.

(2 BE)

Begründe, dass $A$ , $B$ und $C$ Eckpunkte eines Quadrats sein können, und gib die Koordinaten des vierten Eckpunkts $D$ dieses Quadrats an.

(3 BE)

Im Folgenden wird die abgebildete Doppelpyramide betrachtet. Die beiden Teilpyramiden $ABCDS$ und $ABCDT$ sind gleich hoch. Der Punkt $T$ liegt im Koordinatenursprung, der Punkt $S$ ebenfalls auf der z-Achse.
Die Seitenfläche $BCT$ liegt in einer Ebene $E$ .

Diagramm eines geometrischen Körpers mit Punkten und Achsen. Darstellung von Linien und Verbindungen zwischen den Punkten.

Bestimme eine Gleichung von $E$ in Koordinatenform.
[zur Kontrolle: $12y-5z=0$ ]

(3 BE)

Bestimme die Größe des Winkels, den die Seitenfläche $BCT$ mit der Fläche $ABCD$ einschließt.

(3 BE)

$E$ gehört zur Schar der Ebenen $E_k: ky -5z=5k-60$ mit $k\in \mathbb{R}.$

Alle Ebenen der Schar schneiden sich in einer Gerade. Weise nach, dass die Kante $\overline{BC}$ auf dieser Gerade liegt.

(2 BE)

Ermittle diejenigen Werte von $k$ , für die $E_k$ mit der Seitenfläche $ADS$ mindestens einen Punkt gemeinsam hat.

(4 BE)

Die Seitenfläche $ADT$ liegt in der Ebene $F$ .
Gib einen Normalenvektor von $F$ an, und begründe deine Angabe, ohne die Koordinaten von $A$ und $D$ zu verwenden.
Bestimme denjenigen Wert von $k$ , für den $E_k$ senkrecht zu $F$ steht.

(4 BE)

Die Doppelpyramide wird so um die x-Achse gedreht, dass die bisher mit $BCT$ bezeichnete Seitenfläche in der xy-Ebene liegt und der bisher mit $S$ bezeichnete Punkt eine positive y-Koordinate hat. Bestimme diese y-Koordinate und veranschauliche dein Vorgehen durch eine Skizze.

(4 BE)

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$\left| \overrightarrow{AB}\right|$ $= \left| \pmatrix{0\\10\\0}\right|$ $= \sqrt{0^2+10^2+0^2} = 10\,[\text{LE}]$

$\left| \overrightarrow{BC}\right|$ $= \left| \pmatrix{-10\\0\\0}\right|$ $= \sqrt{(-10)^2+0^2+0^2}$ $= 10\,[\text{LE}]$

Die beiden Seiten $\overline{AB}$ und $\overline{BC}$ sind gleich lang und das Dreieck $ABC$ somit gleichschenklig.

Es gilt:

$\overrightarrow{AB}\circ \overrightarrow{BC}$ $= \pmatrix{0\\10\\0} \circ \pmatrix{-10\\0\\0}$ $= 0\cdot (-10) + 10\cdot 0 + 0\cdot 0$ $= 0$

Die gleich langen Strecken $\overline{AB}$ und $\overline{BC}$ schließen also einen rechten Winkel ein. Zusammen mit $D(-5\mid -5\mid 12)$ bilden $A,$ $B$ und $C$ daher ein Quadrat.

Ein Normalenvektor von $E$ kann mithilfe des Kreuzprodukts bestimmt werden:

$\overrightarrow{TB}\times \overrightarrow{TC}$ $= \pmatrix{5\\5\\12} \times \pmatrix{-5\\5 \\ 12}$ $= \pmatrix{5\cdot 12 - 12\cdot 5 \\ 12\cdot (-5) - 5\cdot 12 \\ 5\cdot 5 - 5\cdot (-5) }$ $= \pmatrix{0 \\ -120 \\ 50}$ $= -10\cdot \pmatrix{0\\ 12\\ -5}$

Die Ebenengleichung hat damit folgende Form:

$\begin{array}[t]{rll} 12y -5z &=& d &\quad \scriptsize \mid\; T(0\mid 0\mid 0)\\[5pt] 12\cdot 0 -5 \cdot 0 &=& d \\[5pt] 0 &=& d \end{array}$

Eine Gleichung von $E$ in Koordinatenform lautet: $E: \, 12y -5z = 0.$

Ein Normalenvektor der Ebene, in der die Fläche $ABCD$ liegt, ist $\pmatrix{0\\0\\1}.$

Mit der Formel für den Schnittwinkel zweier Ebenen folgt:

Vollständigen Rechenweg anzeigen

$\alpha \approx 67,4^{\circ}$

Einsetzen der Koordinaten von $B$ in die Ebenengleichung:

$k\cdot5 -5\cdot 12 = 5k -60$

Einsetzen der Koordinaten von $C:$

$k\cdot5 -5\cdot 12 = 5k -60$

Die Punkte $B$ und $C$ liegen also in jeder Ebene der Schar $E_k.$
Die Kante $\overline{BC}$ liegt also auf der Schnittgerade der Ebenen $E_k.$

Die Ebene $E_k$ schneidet die Seitenfläche $ADS$ in mindestens einem Punkt, wenn der Schnittpunkt von $E_k$ mit der $z$ -Achse im Bereich $12\leq z\leq 24$ liegt.

Schnittpunkt von $E_k$ mit der $z$ -Achse bestimmen:

Die Punkte auf der $z$ -Achse haben die Koordinaten $(0\mid 0\mid z).$ Einsetzen in die Ebenengleichung liefert:

$\begin{array}[t]{rll} k\cdot 0 -5z &=& 5k-60 \\[5pt] -5z &=& 5k-60 &\quad \scriptsize \mid\; :(-5) \\[5pt] z &=& -k+ 12 \\[5pt] z &=& 12-k \end{array}$

Der Schnittpunkt von $E_k$ mit der $z$ -Achse hat also die Koordinaten $(0\mid 0\mid 12-k).$
Die Ebene $E_k$ hat mit der Seitenfläche $ADS$ also mindestens einen Punkt gemeinsam, wenn $-12\leq k\leq 0$ gilt.