Pflichtaufgabe 3 - Stochastik

3.1

Betrachtet werden Bauteile der Kategorien $A$ und $B$ , die jeweils elektrische Widerstände enthalten. Es gilt:

Ein Bauteil der Kategorie $A$ ist funktionstüchtig, wenn alle enthaltenen Widerstände funktionstüchtig sind.
Ein Bauteil der Kategorie $B$ ist funktionstüchtig, wenn mindestens einer der enthaltenen Widerstände funktionstüchtig ist.

Zunächst soll davon ausgegangen werden, dass jeder Widerstand mit einer Wahrscheinlichkeit von $98\,\%$ funktionstüchtig ist.

Ermittle mithilfe eines Baumdiagramms oder einer Vierfeldertafel die Wahrscheinlichkeiten der folgenden Ereignisse:

$E_1$ : „Ein Bauteil der Kategorie $A$ , das zwei Widerstände enthält, ist funktionstüchtig.“
$E_2$ : „Ein Bauteil der Kategorie $B$ , das zwei Widerstände enthält, ist funktionstüchtig.“

(6 BE)

Beurteile die folgende Aussage:

„Je mehr Widerstände ein Bauteil der Kategorie $A$ enthält, desto kleiner wird die Wahrscheinlichkeit dafür, dass es funktionstüchtig ist.“

(3 BE)

Bei veränderten Bedingungen ist für jeden Widerstand die Wahrscheinlichkeit dafür, dass er funktionstüchtig ist, $p.$

Betrachtet wird ein Bauteil der Kategorie $B$ , das zwei Widerstände enthält. Weise nach, dass die Wahrscheinlichkeit dafür, dass dieses Bauteil funktionstüchtig ist, durch den Term $2p-p^2$ angegeben wird.

(3 BE)

Betrachtet werden zehn Bauteile der Kategorie $B,$ die jeweils zwei Widerstände enthalten. Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass diese Bauteile alle funktionstüchtig sind, beträgt $95\,\%$ .
Gib eine Gleichung an, mit der der Wert von $p$ berechnet werden könnte.

(2 BE)

Betrachtet wird eine Kombination aus zwei Bestandteilen: einem einzelnen Widerstand und einem Bauteil der Kategorie $A$ , das zwei Widerstände enthält.
Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass diese Kombination funktionstüchtig ist, wird durch den Term $1-(1-p)\cdot(1-p^2)$ angegeben. Gib die Abhängigkeit der Funktionstüchtigkeit dieser Kombination von der Funktionstüchtigkeit seiner beiden Bestandteile an. Begründe deine Angabe.

(3 BE)

3.2

Einem Unternehmen wird eine sehr große Anzahl von Widerständen geliefert.
Um den Anteil der funktionstüchtigen Widerstände zu schätzen, werden Stichproben entnommen.

In einer Stichprobe von $200$ Widerständen sind $176$ Widerstände funktionstüchtig. Berechne zu diesem Anteil das Vertrauensintervall zur Vertrauenswahrscheinlichkeit $95\,\%$ . Beschreibe die Bedeutung dieses Vertrauensintervalls im Sachzusammenhang.

(4 BE)

Gegeben ist die folgende Näherungslösung einer Aufgabe im Sachzusammenhang:

$2\cdot 1,96\cdot\sqrt{\frac{h\cdot(1-h)}{n}}\leq 0,05$

$\sqrt{\frac{h\cdot(1-h)}{n}}\leq \sqrt{\frac{0,5^2}{n}}$ für alle $h\in [0;1]$

$2\cdot1,96\cdot\sqrt{\frac{0,5^2}{n}}\leq 0,05$ liefert n $\geq 1537$

Formuliere eine passende Aufgabenstellung und erläutere die beiden ersten Zeilen des Lösungswegs.

(4 BE)

3.1

$W$ : Widerstand funktioniert
$\overline{W}$ : Widerstand funktioniert nicht

Baumdiagramm anzeigen

Das Bauteil A funktioniert, wenn zwei Widerstände hintereinander funktionieren. Es gilt also mit der Pfadmultiplikationsregel:

$P(E_1)= 0,9604$

Vollständige Lösung anzeigen

Bauteil B funktioniert, wenn mindestens ein Widerstand funktioniert. Es gilt daher :

$P(E_2)= 0,9996$

Vollständige Lösung anzeigen

Ein Bauteil der Kategorie A funktioniert nur, wenn alle darin verbauten Widerstände funktionieren. Im Baumdiagramm gehst du dazu entlang der Pfade von $W$ . Für $n$ Widerstände hintereinander im Bauteil A, ergibt sich die Wahrscheinlichkeit $0,98^n$ .

Da $0,98 \lt 1$ ist, wird der Wert für $0,98^n$ immer kleiner je größer $n$ wird. Somit ist die Aussage richtig.

Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Bauteil B mit zwei Widerständen funktioniert, berechnest du über die Gegenwahrscheinlichkeit, dass beide Widerstände nicht funktionieren.

Vollständige Lösung anzeigen

Die Zufallsgröße $X$ kann als binomialverteilt mit $n=10$ und $p_1=2p-p^2$ angenommen werden.
Für $k=10$ kann $p$ mit folgendem Term berechnet werden:

$\begin{array}[t]{rll} P(X=10)& = & 0,95&\quad \scriptsize \mid\; \text{Formel einsetzen}\\[5pt] \pmatrix{10\\10} \cdot (2p -p^2)^{10} \cdot (1-(2p -p^2))^{0}& = & 0,95&\quad \scriptsize \mid\; \text{vereinfachen}\\[5pt] (2p -p^2)^{10}&=&0,95 &\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$

Die Kombination funktioniert, wenn das Bauteil A oder der einzelne Widerstand funktionieren.

Die Wahrscheinlichkeit, dass der einzelne Widerstand funktioniert ist $p$ . Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass dieser nicht funktioniert ist die Gegenwahrscheinlichkeit $(1-p)$ .

Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass das Bauteil der Kategorie A funktioniert ist $p^2$ . Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass es nicht funktioniert ist $(1-p^2)$ .

Der Term beschreibt die Gegenwahrscheinlichkeit dafür, dass der Widerstand und das Bauteil der Kategorie A jeweils nicht funktionieren.
Mit der Gegenwahrscheinlichkeit, dass beide Teile jeweils nicht funktionieren wird die Wahrscheinlichkeit berechnet, dass die Kombination funktioniert.

3.2

Gegeben sind $n=200$ und $x=176$ mit der Vertrauenswahrscheinlichkeit 95%.

Die relative Häufigkeit ist $\dfrac{x}{n}=\dfrac{176}{200}=0,88$ .

$\dfrac{x}{n} \in \left[p-c \cdot \dfrac{\sigma}{n} ;\,p+ c \cdot \dfrac{\sigma}{n} \right]$

Aufgund der Vertrauenswahrscheinlichkeit von 95% ist $c=2$ .

Es muss nun $p$ berechnet werden:

Vollständige Lösung anzeigen

Mit der pq-Formel ergeben sich die Werte für $p$ mit $p_1\approx 0,92$ und $p_2\approx 0,83$ .

Der Bereich des Vertrauensintervalls mit möglichen Werten von $p$ ist $[0,83; \, 0,92]$ .
Basierend auf dieser Stichprobe, liegt bei einer Vertrauenswahrscheinlichkeit von 95% die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Widerstand funktionstüchtig ist zwischen 83% und 92%.

Eine zum Sachzusammenhang passende Aufgabenstellung ist:

Bestimme einen Näherungswert dafür, wie viele Widerstände das Unternehmen in einer Stichprobe mindestens entnehmen muss, damit die Länge des Vertrauensintervalls bei einer Vertrauenswahrscheinlichkeit von $95\,\%$ maximal $0,05$ beträgt.

Erste Zeile des Lösungswegs:

Die Grenzen eines Vertrauensintervalls zur Vertrauenswahrscheinlichkeit $95\,\%$ lauten:

$p_1 = h-1,96\cdot \sqrt{\frac{h\cdot(1-h)}{n}}$ und $p_2= h+1,96\cdot \sqrt{\frac{h\cdot(1-h)}{n}}$

Die Länge des Vertrauensintervalls beträgt daher:

$\begin{array}[t]{rll} l_h&=& p_2 - p_1 \\[5pt] &=& h+1,96\cdot \sqrt{\frac{h\cdot(1-h)}{n}} - \left(h-1,96\cdot \sqrt{\frac{h\cdot(1-h)}{n}} \right) \\[5pt] &=& 2\cdot 1,96\cdot \sqrt{\frac{h\cdot(1-h)}{n}} \\[5pt] \end{array}$

Im ersten Schritt wird die Gleichung aufgestellt, um die Länge des Vertrauensintervalls auf $0,05$ zu beschränken.

Zweite Zeile des Lösungswegs:

Um eine allgemeine Mindestanzahl zu erhalten, die für alle möglichen Stichproben und relativen Häufigkeiten $h$ gilt, wird der Faktor $\sqrt{\frac{h\cdot(1-h)}{n}}$ abgeschätzt. Ausschlaggebend ist der Wert des Zählers.

$h\cdot (1-h) = h-h^2$ kann als Funktionsterm einer nach unten geöffneten Parabel aufgefasst werden. Im Scheitelpunkt und damit dem höchsten Punkt dieser Parabel beträgt der Funktionswert $0,5^2.$ Daher gilt:

$h\cdot (1-h) \leq 0,5^2$ für alle $h\in [0;1]$

Damit ergibt sich $\sqrt{\frac{h\cdot(1-h)}{n}} \leq \sqrt{\frac{0,5^2}{n}}.$

	$0,98$						$0,02$
		$W$				$\overline{W}$
$0,98$			$0,02$	$\quad$	$0,98$			$0,02$
	$W$	$\overline{W}$				$W$	$\overline{W}$