Wahlpflichtaufgaben

5.1

Für eine reelle Zahl $a\gt0$ zeigt die Abbildung den Graphen $G$ der in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $f$ mit $f(x)=x^3-2 a x^2+a^2 x$ sowie die Gerade $h.$

$G$ und $h$ schneiden sich im Koordinatenursprung und $h$ verläuft senkrecht zur Tangente an $G$ im Koordinatenursprung. Zudem berühren sich $G$ und die $x$ -Achse im Punkt $(a \mid 0).$

Betrachtet wird dasjenige Rechteck, das die folgenden Eigenschaften besitzt:

Die beiden gemeinsamen Punkte von $G$ und der $x$ -Achse sind zwei benachbarte Eckpunkte des Rechtecks.
Eine Diagonale liegt auf der Gerade $h.$

Skizziere das Rechteck in der Abbildung und zeige, dass der Flächeninhalt des Rechtecks unabhängig von $a$ ist.

(5 BE)

5.2

Die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f$ hat die erste Ableitungsfunktion $\(f$ mit $\(f$ und es gilt $f(0)=1.$

Leitet man die erste Ableitungsfunktion $\(f$ ab, so erhält man die zweite Ableitungsfunktion $\(f$ von $f.$ Entsprechend entsteht die hundertste Ableitungsfunktion $f^{(100)}$ von $f.$

Der Graph der hundertsten Ableitungsfunktion $f^{(100)}$ lässt sich aus dem Graphen von $f$ durch eine Verschiebung in $x$ -Richtung erzeugen.

Ermittle, um wie viele Einheiten der Graph von $f$ dazu in $x$ -Richtung zu verschieben ist.

(5 BE)

5.3

Mittelpunkte der Seitenflächen eines Würfels sind die Eckpunkte eines Oktaeders (vgl. Abbildung).

Die Eckpunkte $A(1\mid 2\mid 1),$ $B,$ $C(-3\mid -6\mid 9)$ und $D$ des Oktaeders liegen in der Ebene $H$ mit der Gleichung $2x+y+2z=6.$

Weise nach, dass die Kantenlänge des Würfels 12 beträgt.

(2 BE)

Bestimme die Koordinaten eines der beiden Eckpunkte des Oktaeders, die nicht in $H$ liegen.

(3 BE)

5.4

Die Abbildung zeigt die Punkte $A, B$ und $P.$ Die Ebene, in der die drei Punkte liegen, wird durch die Zeichenebene dargestellt.

Mathe Abi Sachsen Anhalt 2024 Gerade Ebene

Betrachtet werden Geraden $g,g^*$ und $h,$ für die gilt:

$g$ verläuft durch $A, g^*$ durch $B$ und $h$ durch $P.$
$g$ und $g^*$ schneiden sich in $P.$
Wird $g$ an $h$ gespiegelt, so entsteht $g^*$ .

Zeichne die Gerade $g,$ die Gerade $g^*$ und eine Gerade $h$ in die Abbildung ein.

Gib einen Term an, mit dem aus den gegebenen Punkten $A, B$ und $P$ der Ortsvektor eines weiteren Punktes von $h$ bestimmt werden kann.

(5 BE)

5.5

Vor der Wahl des Oberbürgermeisters einer Stadt möchte ein Kandidat durch eine statistische Erhebung seinen aktuellen Stimmenanteil unter allen Wahlberechtigten schätzen. Dazu wird unter allen wahlberechtigten Bewohnern eines Seniorenheimes dieser Stadt eine Befragung durchgeführt, ob diese den Kandidaten wählen werden.

Gib für diese statistische Erhebung die Grundgesamtheit und die Stichprobe an.

(2 BE)

Beurteile folgende Aussage:

Aus dem Ergebnis der Befragung lässt sich auf den aktuellen Stimmenanteil des Kandidaten bei der Oberbürgermeisterwahl schließen.

(3 BE)

5.6

Die drei nicht sichtbaren Seiten des abgebildeten Würfels sollen jeweils mit einer der Zahlen 3, 4, 5 oder 6 beschriftet werden. Dabei können Zahlen auch mehrfach verwendet werden.

Nach der Beschriftung soll der Würfel folgende Eigenschaften haben:

Beim einmaligen Werfen ist der Erwartungswert für die erzielte Zahl gleich 4.
Auf den sechs Seiten des Würfels kommen genau drei verschiedene Zahlen vor.
Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass beim zweimaligen Werfen des Würfels zweimal die gleiche Zahl erzielt wird, beträgt $\dfrac{1}{2}.$

Untersuche, ob es möglich ist, die nicht sichtbaren Seiten des Würfels so zu beschriften, dass er alle drei Eigenschaften besitzt.

(5 BE)

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5.1

Rechteck skizzieren

Unabhängigkeit zeigen

Die Länge der Seite des Rechtecks, die auf der $x$ -Achse liegt, ergibt sich durch die Differenz der $x$ -Werte der beiden Punkte, in denen $G$ die $x$ -Achse berührt, und entspricht somit $a.$

Für die Ableitung der Funktion $f$ gilt:

$\(f$

Da $h$ senkrecht zur Tangente an $G$ im Koordinatenursprung verläuft, ergibt sich mit Hilfe von $\(f$ die Steigung $m$ von $h:$

$\(m=-\dfrac{1}{f$

Eine Gleichung der Tangente folgt also mit $h(x)=-\dfrac{1}{a^2}x.$

Die Höhe des Rechtecks entspricht dem Betrag des Funktionswerts von $h$ an der Stelle $a.$ Es gilt also:

$| h(a)| = \left\vert-\dfrac{1}{a^2}\cdot a\right\vert = \dfrac{1}{a}$

Damit folgt für den Flächeninhalt $A$ des Rechtecks $A=a\cdot\dfrac{1}{a}=1,$ womit dieser unabhängig von $a$ ist.

5.2

1. Schritt: Funktion $f$ bestimmen

Die Funktion von $f$ ergibt sich zu $f(x)=\mathrm e^{2x}+c.$

Wegen $f(0)=1$ folgt:

$\begin{array}[t]{rll} f(0)&=& 1 &\\[5pt] \mathrm e^{2\cdot 0}+c&=& 1 &\\[5pt] 1+c&=& 1 &\quad \scriptsize \mid -1\\[5pt] c&=& 0 \end{array}$

2. Schritt: Muster untersuchen

Es gilt also:

$\(\begin{array}[t]{rll} f(x)&=& \mathrm e^{2x} & \\[5pt] f$

Aus den ersten drei Ableitungen von $f$ ergibt sich folgendes Muster:

$f^{(n)}(x)=2^n\cdot \mathrm e^{2x}$

Für die hundertste Ableitungsfunktion folgt also:

$f^{(100)}(x)=2^{100}\cdot \mathrm e^{2x}$

3. Schritt: Verschiebung berechnen

Für den Graph der Funktion $f$ gilt $f(0)=1.$

Um die Verschiebung in $x$ -Richtung zu untersuchen, muss berechnet werden, an welcher Stelle die hundertste Ableitungsfunktion den Wert 1 annimmt:

$\begin{array}[t]{rll} f^{(100)}(x)&=& 1& \\[5pt] 2^{100}\cdot \mathrm e^{2x}&=& 1&\quad \scriptsize \,\bigg \vert \,\; :2^{100}\\[5pt] \mathrm e^{2x}&=& \dfrac{1}{2^{100}}&\quad \scriptsize \,\bigg \vert \,\; \ln(\;)\\[5pt] 2x&=& \ln\left(\dfrac{1}{2^{100}}\right)&\quad \scriptsize \,\bigg \vert \, \; \cdot \dfrac{1}{2}\\[5pt] x&=& \dfrac{1}{2}\cdot \ln\left(\dfrac{1}{2^{100}}\right) \end{array}$

Der Graph von $f$ muss also um $\dfrac{1}{2}\cdot \ln\left(\dfrac{1}{2^{100}}\right)$ in negative $x$ -Richtung verschoben werden.

5.3

Die Kantenlänge des Würfels entspricht der Strecke $\overline{AC}.$ Für diese gilt:

$\begin{array}[t]{rll} \left\vert\overrightarrow{AC}\right\vert&=&\left\vert\pmatrix{-3\\-6\\9}-\pmatrix{1\\2\\1}\right\vert \\[5pt] &=&\left\vert\pmatrix{-4\\-8\\8}\right\vert \\[5pt] &=&\sqrt{(-4)^2+(-8)^2+8^2} \\[5pt] &=&\sqrt{144} \\[5pt] &=& 12 \;[\,\text{LE}] \end{array}$

Punkte, die nicht in $H$ liegen, sind die obere bzw. die untere Spitze des Oktaeders und liegen senkrecht über dem Mittelpunkt von $ABCD.$

Für den Mittelpunkt $M$ der Strecke $\overline{AC}$ gilt:

$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{OM}&=&\overrightarrow{OA}+\dfrac{1}{2}\cdot\overrightarrow{AC} \\[5pt] &=&\pmatrix{1\\2\\1}+\dfrac{1}{2}\cdot\pmatrix{-4\\-8\\8} \\[5pt] &=&\pmatrix{-1\\-2\\5} \end{array}$

Aus der Ebenengleichung von $H$ kann der Normalenvektor $\overrightarrow{n}=\pmatrix{2\\1\\2}$ abgelesen werden. Dieser steht senkrecht zur Ebene $H$ und besitzt die Länge:

$\begin{array}[t]{rll} \vert\overrightarrow{n}\vert&=& \sqrt{2^2+1^2+2^2} & \\[5pt] &=& \sqrt{9} & \\[5pt] &=& 3 \end{array}$

Da die Kantenlänge des Würfels $12$ beträgt, ist der Abstand des gesuchten Eckpunktes des Oktaeders zu $M$ durch 6 Längeneinheiten, also der doppelten Länge des Normalenvektors, gegeben.

Ein möglicher Ortsvektor der oberen Spitze $S$ folgt also mit:

$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{OS}&=& \overrightarrow{OM}+2\cdot\overrightarrow{n}& \\[5pt] &=& \pmatrix{-1\\-2\\5}+2\cdot\pmatrix{2\\1\\2}& \\[5pt] &=& \pmatrix{3\\0\\9} \end{array}$

Mögliche Koordinaten für den gesuchten Punkt sind somit gegeben durch $(3\mid0\mid9).$

5.4

Geraden einzeichnen

Mittelsenkrechte Punkte Sachsen Anhalt Mathe Abi 2024

Alternativ kann die Gerade $h$ auch um $90^\circ$ gedreht durch den Punkt $P$ verlaufen. Mögliche Spiegelachsen sind beide Winkelhalbierenden zwischen den Geraden $g$ und $g^*.$

Term angeben

Da die Gerade $h$ den Schnittwinkel halbiert, entspricht ein Richtungsvektor von $h$ der Summe der normierten Richtungsvektoren von $g$ und $g^*.$

Für die normierten Richtungsvektoren gilt:

$r_g=\dfrac{\overrightarrow{AP}}{|\overrightarrow{AP}|}$ und $r_{g^*}=\dfrac{\overrightarrow{BP}}{|\overrightarrow{BP}|}$

Der Ortsvektor eines weiteren Punktes $H$ von $h$ ergibt sich somit durch:

$\overrightarrow{OH}=\overrightarrow{OP}+\dfrac{\overrightarrow{AP}}{|\overrightarrow{AP}|}+\dfrac{\overrightarrow{BP}}{|\overrightarrow{BP}|}$

Hilfsskizze

5.5

Grundgesamtheit: Alle wahlberechtigten Bürger der Stadt.

Stichprobe: Die befragten wahlberechtigten Bewohner des Seniorenheims.

Die Aussage ist nicht zutreffend, da die Stichprobe nicht repäsentativ für die Gesamtwählerschaft ist.

Unterschiede in Alter, sozialem Hintergrund, politischen Einstellungen und anderen demografischen Faktoren zwischen den Bewohnern des Seniorenheims und der gesamten Bevölkerung können zu erheblichen Verzerrungen führen, da die Bewohner eines Seniorenheims in der Regel älter als der Durchschnitt der wahlberechtigten Bevölkerung sind.

Um den aktuellen Stimmenanteil des Kandidaten bei der Oberbürgermeisterwahl realistisch zu schätzen, müsste eine repräsentative Stichprobe erhoben werden, die verschiedene demografische Gruppen der gesamten wahlberechtigten Bevölkerung umfasst. Dies würde eine zufällige Auswahl von Personen aus unterschiedlichen Altersgruppen, sozialen Schichten und geografischen Teilen der Stadt beinhalten.

5.6

Aus dem angegebenen Erwartungswert von 4 ergibt sich für die Summe der drei Zahlen auf den nicht sichtbaren Seiten folgender Wert:

$\begin{array}[t]{rll} E&=& 4& \\[5pt] \dfrac{1}{6}\cdot (5+5+1+a+b+c)&=& 4&\quad \scriptsize \mid\; \cdot 6\\[5pt] 11+a+b+c&=& 24&\quad \scriptsize \mid\; -11\\[5pt] a+b+c&=& 13 \end{array}$

Werden diese mit den Zahlen 3, 5 und 5 beschriftet, treffen die ersten zwei Aussagen zu.

Für die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses, dass beim zweimaligen Werfen des Würfels zweimal die gleiche Zahl erzielt wird, folgt außerdem:

$\begin{array}[t]{rll} P(E)&=& P(5,5)+P(3,3)+P(1,1)& \\[5pt] &=& \dfrac{4}{6}\cdot \dfrac{4}{6}+\dfrac{1}{6}\cdot \dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{6}\cdot \dfrac{1}{6}& \\[5pt] &=& \dfrac{18}{36}& \\[5pt] &=& \dfrac{1}{2} \end{array}$

Der Würfel kann somit mit den Zahlen 3, 5 und 5 beschriftet werden, sodass er die drei Eigenschaften besitzt.

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