Pflichtaufgabe 2 - Analytische Geometrie

In einem kartesischen Koordinatensystem der xy-Ebene ist eine Punktmenge k durch die Gleichung $x^2-4x+y^2+2y=20$ gegeben.

Zeige, dass es sich bei der Punktmenge $k$ um einen Kreis handelt und ermittle die Koordinaten des Mittelpunktes $M$ sowie den Radius $r$ des Kreises $k$ .

Das ebene Koordinatensystem wird unter Beibehaltung der xy-Ebene als Horizontalebene zu einem kartesischen Koordinatensystem des Raumes erweitert.

Entwickle eine Koordinatengleichung der Ebene E, die durch die Punkte $A(-3\;|\;-1\;|\;5)$ , $B(3\;|\;4\;|\;6)$ und $C(0\;|\;-6\;|\;4)$ eindeutig bestimmt ist.

Tipp
Zur Kontrolle: $E:y-5z+26=0$

Genau eine der Koordinatenachsen verläuft parallel zur Ebene $E$ . Gib an welche dies ist und weise die Parallelität nach. Berechne das Gradmaß des Schnittwinkels zwischen der Ebene $E$ und der $xy$ -Ebene.

Eine Dose in Form eines geraden Kreiszylinders $Z$ stand mit Farbe gefüllt über längere Zeit schief in einem Regal. Die eingetrocknete Farbe hat dabei die Form eines Körpers $F$ angenommen. Die Abbildung 1 zeigt einen solchen Körper $F$ .

Die Lage des Körpers $F$ wird in dem räumlichen Koordinatensystem folgendermaßen beschrieben, wobei eine Einheit $1\;cm$ entspricht:

Die Grundfläche des Körpers $F$ wird durch den Kreis $k$ aus Aufgabe a) begrenzt. Die Deckfläche des Körpers $F$ wird durch die Schnittfigur der Ebene $E$ aus Aufgabe b) mit dem Kreiszylinder $Z$ begrenzt.

Der Punkt $M(2\;|\;-1\;|\;0)$ ist der Fußpunkt des Lotes vom Punkt $M_1$ der Ebene $E$ in die $xy$ -Ebene. Ermittle die Koordinaten des Punktes $M_1$ .

Grafik eines Zylinders mit einer elliptischen Fläche und markierten Punkten.

Abb. 1: nicht maßstäblich

$\,$

Erkläre aus der Anschauung ohne Nachweis, dass sich das Volumen des Körpers $F$ mit der Formel $V=\pi\cdot r^2 \cdot \overline{M_1M}$ berechnen lässt.
Berechne das Volumen des Körpers $F$ .

Es gibt unter allen Punkten auf der Oberfläche des Körpers F einen Punkt, der den größten Abstand von der Horizontalebene hat.
Weise nach, dass der Punkt $D(2\;|\;4\;|\;6)$ diese Eigenschaft besitzt.

Bildnachweise [nach oben]

[1]

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$\blacktriangleright$ Zeigen, dass die Punktmenge eine Kreisscheibe ist

In dieser Aufgabe sollst du zeigen, dass es sich bei der Punktmenge k mit der Gleichung $x^2-4x+y^2+2y=20$ um einen Kreis handelt. Betrachte dazu die allgemeine Form der Kreisgleichung in Koordinatenform:

Tipp
$(x-c)^2+(y-d)^2=r^2$

Wenn du die obige Gleichung in die Form der Kugelgleichung bringen kannst, hast du gezeigt, dass es sich bei der Puntkmenge k um einen Kreis handelt.

$(x^2-4x)+(y^2+2y)=20$

Um die gewünschte Form $(x-c)^2$ zu erhalten, kannst du eine quadratische Ergänzung durchführen.

$\begin{array}[t]{rll} x^2-4x&=&x^2-4x+\left(\frac{4}{2}\right)^2-\left(\frac{4}{2}\right)^2 \\[5pt] &=&(x^2-4x+4)-4 \\[5pt] &=&(x-2)^2-4 \end{array}$

Genau so kannst du auch bei der $y$ -Koordinate vorgehen:

$\begin{array}[t]{rll} y^2+2y&=&y^2+2y+\left(\frac{2}{2}\right)^2-\left(\frac{2}{2}\right)^2 \\[5pt] &=&(y^2+2y+1)-1 \\[5pt] &=&(y+1)^2-1 \end{array}$

Diese beiden Ergebnisse kannst du in die Formel einsetzen.

$\begin{array}[t]{rll} &=&25 \end{array}$

Vollständige Lösung anzeigen

Da du die gegebene Gleichung in eine Kreisgleichung umformen kannst, handelt es sich bei der Punktmenge um einen Kreis.

$\blacktriangleright$ Koordinaten des Mittelpunktes $M$ des Kreises $k$ bestimmen

Den Mittelpunkt kannst du aus der Kreisgleichung ablesen. Es muss gelten: $x-2=0$ und $y+1=0$ . Die Lösungen der beiden Gleichungen sind gerade die $x$ und $y$ -Koordinaten des Mittelpunktes

$M(2 \mid -1)$

Der Mittelpunkt des Kreises hat die Koordinaten $M(2 \mid -1)$ .

$\blacktriangleright$ Radius r des Kreises k berechnen

Wie du aus der allgemeinen Form der Kreisgleichung ablesen kannst, ist der Radius des Kreises quadriert auf der rechten Seite der Gleichung gegeben. Um den Radius also zu berechnen musst du die Wurzel ziehen.

$\begin{array}[t]{rll} r^2&=&25 &\quad \scriptsize \mid\;\sqrt{\,}\; \\[5pt] r&=&5 \end{array}$

Der Radius des Kreises ist $r=5$ .

$\blacktriangleright$ Ebenengleichung der Ebene E entwickeln

In dieser Aufgabe sollst du eine Gleichung der Ebene $E$ in Koordinatenform bestimmen. Bilde dazu als erstes eine Gleichung in Parameterform. Anschließend kannst du mit dem (Kreuz-)Vektorprodukt den Normalenvektor der Ebene berechnen und damit die Ebenengleichung in Koordinatenform berechnen.

1. Schritt: Ebenengleichung in Parameterform

Wähle einen Ortsvektor von einem der drei Punkte als Stützvektor und bilde aus den drei Punkten zwei Verbindungsvektoren, die als Spannvektoren der Ebene verwendet werden können.

$E:\; \overrightarrow{x}=\overrightarrow{OA}+r\cdot \overrightarrow{AB}+s\cdot \overrightarrow{AC}$

$E:\; \overrightarrow{x}=\pmatrix{-3\\ -1 \\ 5}+r\cdot \pmatrix{6 \\ 5 \\ 1}+s\cdot \pmatrix{3 \\ -5 \\ -1}$

2. Schritt: (Kreuz-) Vektorprodukt berechnen

Die Formel für das (Kreuz-)Vektorprodukt lautet:

$\pmatrix{a_1 \\ a_2 \\ a_3}\times\pmatrix{b_1 \\ b_2 \\ b_3}=\pmatrix{a_2b_3-a_3b_2 \\ a_3b_1-a_1b_3 \\ a_1b_2-a_2b_1}$

Setze die beide Richtungsvektoren der Ebene $E$ in die Formel ein.

$\overrightarrow{n}_1=\pmatrix{0 \\ 9 \\ -45}$

Vollständige Lösung anzeigen

Den Normalenvektor kannst du mit 9 kürzen.

$\overrightarrow{n}=\pmatrix{0 \\ 1 \\ -5}$

3. Schritt: Ebenengleichung in Koordinatenform

$E:\; 0\cdot x + 1\cdot y -5\cdot z = c$

Setze die Koordinaten von $A$ in die Ebenengleichung ein, um den Parameter $c$ zu berechnen.

$1\cdot (-1) -5\cdot 5= -26$

Die Ebene $E$ hat die Koordinatengleichung $E:\;y-5z=-26$ .

$\blacktriangleright$ Lage der Ebene bestimmen

In dieser Aufgabe sollst du zeigen, dass die Ebene $E$ parallel zu einer der drei Achsen ist. Du hast zuvor bereits einen Normalenvektor von $E$ bestimmt. Damit eine Achse parallel zur Ebene verläuft, muss sie senkrecht auf dem Normalenvektor stehen. Bestimme also zu jeder Koordinatenachse einen Richtungsvektor und überprüfe, ob dieser senkrecht auf dem Normalenvektor steht. Zwei Vektoren sind senkrecht zueinander, wenn ihr Skalarprodukt Null ist.

Die Richtungsvektoren der Achsen kannst du beispielsweise wie folgt wählen:

$x$ -Achse: $\overrightarrow{r}_x = \pmatrix{1\\0\\0}$
$y$ -Achse: $\overrightarrow{r}_y = \pmatrix{0\\1\\0}$
$z$ -Achse: $\overrightarrow{r}_z= \pmatrix{0\\0\\1}$

Bilde nun jeweils das Skalarprodukt der drei Vektoren mit dem Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ . Sobald du eine Koordinatenachse gefunden hast, die parallel zur Ebene verläuft, musst du die anderen Skalarprodukte nicht mehr berechnen, da in der Aufgabenstellung vorgegeben ist, dass es genau eine Achse gibt, die parallel verläuft.

$\overrightarrow{n} \circ \overrightarrow{r}_x = \pmatrix{0\\1\\-5} \circ \pmatrix{1\\0\\0} = 0\cdot 1+ 1\cdot 0 +(-5)\cdot 0 = 0$

Die $x$ -Achse verläuft also senkrecht zum Normalenvektor von $E$ und damit parallel zur Ebene $E$ .

$\blacktriangleright$ Schnittwinkel zwischen der Ebene $\boldsymbol{E}$ und der $\boldsymbol{xy}$ -Ebene berechnen

Um den Schnittwinkel zwischen zwei Ebenen zu berechnen, kannst du folgende Formel verwenden:

$\cos(\alpha)= \dfrac{\left| \overrightarrow{n_1} \cdot \overrightarrow{n_2} \right|}{\left| \overrightarrow{n_1} \right|\cdot \left| \overrightarrow{n_1} \right|}$

Die Ebenengleichung in Koordinatenform der $xy$ -Ebene ist $E_{xy}: \; z=0$ . Ein Normalenvektor hat somit die Einträge $\overrightarrow{n}=\pmatrix{0 \\ 0 \\ 1}$

Den Normalenvektor der Ebene $E$ hast du in einer Aufgabe zuvor schon berechnet.

Jetzt kannst du beide Normalenvektoren in die Formel einsetzen.

$\begin{array}[t]{rll} \cos(\alpha)&= & 11,31° \end{array}$

Vollständige Lösung anzeigen

Der Schnittwinkel zwischen der Ebene $E$ und der $xy$ -Ebene ist ca. $\alpha=11,31°$ .

$\blacktriangleright$ Koordinaten des Punktes $\boldsymbol{M_1}$ berechnen

Du weißt, dass der Punkt $M_1$ auf der Ebene $E$ liegt. Um die Koordinaten des Punktes zu berechnen, kannst du den Schnittpunkt der Geraden $h$ die durch den Punkt $M$ geht und den Normalenvektor der $xy$ -Ebene als Richtungsvektor hat, mit der Ebene $E$ berechnen. Bilde dazu als erstes die Gerade $h$ und den allgemeinen Punkt der Geraden $h$ , setze diesen Punkt in die Koordinatengleichung der Ebene $E$ ein und berechne die Variable $r$ . Den Wert für $t$ kannst du dann in den allgemeinen Punkt der Geraden $h$ einsetzten und erhältst die Koordinaten des gesuchten Punktes $M_1$ .

1. Schritt: Geradengleichung von h bestimmen

Die Gerade $h$ verläuft durch den Punkt $M$ und hat den Normalenvektor der $xy$ -Ebene als Richtungsvektor.

$h:\; \overrightarrow{x}=\pmatrix{2 \\ -1 \\ 0}+t\cdot \pmatrix{0 \\0 \\ 1}$

$H(2\;|\;-1\;|\;t)$

2. Schritt: Variable t berechnen

Setze den allgemeinen Punkt der Geraden $h$ in die Ebenengleichung $E$ ein.

$\begin{array}[t]{rll} -1-5t&=&-26 &\quad \scriptsize \mid\; +1 \\[5pt] -5t&=&-25 &\quad \scriptsize \mid\; :(-5) \\[5pt] t&=&5 \end{array}$

3. Schritt: Koordinaten des Punktes $\boldsymbol{M_1}$ berechnen

Setze $t=5$ in den allgemeinen Punkt H ein.

$M_1(2\;|\;-1\;|\;5)$

Der Punkt $M_1$ hat die Koordinaten $M_1(2\;|\;-1\;|\;5)$ .

$\blacktriangleright$ Volumenformel erklären

In dieser Aufgabe sollst du erklären, dass mit der Formel $V=\pi \cdot r^2\cdot \overline{M_1M}$ das Volumen des Körpers F berechnet werden kann. Bei dem Körper $F$ handelt es sich um einen „abgeschnittenen“ Zylinder. Vergleiche also zunächst die Formel für das Volumen eines Zylinders mit der gegebenen Formel.

$V_{Zylinder}= \pi \cdot r^2 \cdot h$

In der gegebenen Formel ist die Höhe des Zylinders gerade die Strecke $\overline{M_1M}$ , die senkrecht auf dem Mittelpunkt $M$ der Grundfläche steht und im Punkt $M_1$ endet. Die Höhe $\overline{M_1M}$ ist gerade die mittlere Höhe des Zylinders. Du kannst dir das so vorstellen, als würde der Zylinder auf Höhe von $M_1$ horizontal abgeschnitten werden. Der abgeschnittene Teil kann dann auf den unteren Teil so aufgesetzt werden, dass er den abgeschnittenen Zylinder zu einem vollständigen Zylinder ergänzt. Mit der Formel $V=\pi \cdot r^2\cdot \overline{M_1M}$ kannst du das Volumen des Körpers $F$ also berechnen.

$\blacktriangleright$ Volumen des Körpers F berechnen

Berechne dazu als erstes die Länge der Strecke $\overline{M_1M}$ und setze diese in die Formel für das Volumen ein.

Bilde dazu als erstes den Verbindungsvektor $\overrightarrow{M_1M}$ und berechne anschließend den Betrag des Vektors.

$\overrightarrow{M_1M}= \pmatrix{2\\ -1 \\ 5} - \pmatrix{2 \\ -1 \\ 0} = \pmatrix{0 \\ 0 \\ 5}$

$|\overrightarrow{M_1M}|=\sqrt{5^2}=5$

Den Radius hast du im Aufgabenteil a) berechnet: $r=\sqrt{25}=5$

$V=\pi\cdot (5\;\text{cm})^2 \cdot 5\;\text{cm} \approx 392, 7\;\text{cm}^3$

Der Körper $F$ hat ein Volumen von ca. $392,7\;\text{cm}^3$

$\blacktriangleright$ Punkt mit dem größten Abstand zur Horizontalebene berechnen

Wenn du dir die Skizze anschaust stellst du fest, dass der höchste Punkt auf dem rechten Rand des Körpers sein muss. Um die Koordinaten des Lotpunktes dieses Punktes, der in der Horizontalebene liegt, zu berechnen, musst du zu der $y$ -Koordinate des Mittelpunktes den Radius addieren. Der Punkt D‘ hat somit die Koordinaten $D‘(2\;|\;-1+r\;|\; 0) = D‘(2\;|\;4\;|\; 0)$ .

Jetzt kannst du wie oben vorgehen. Bilde eine Gerade mit dem Punkt $D‘$ und dem Normalenvektor der Horizontalebene, berechne den Schnittpunkt der Ebene $E$ mit der Geraden und du erhältst die Koordinaten des Punktes, der den größten Abstand zur Horizontalebene hat.

$i: \; \pmatrix{2 \\ 4 \\ 0}+r\cdot \pmatrix{0 \\ 0\\ 1}$

$I(2\;|\;4\;|\;r)$

$\begin{array}[t]{rll} 4-5r&=&-26 &\quad \scriptsize \mid\; -4 \\[5pt] -5r&=&-30 &\quad \scriptsize \mid\; :(-5) \\[5pt] r&=&6 \end{array}$

$D(2\;|\;4\;|\;6)$

Somit hast du nachgewiesen, dass der Punkt $D(2\;|\;4\;|\;6)$ den größten Abstand von der Horizontalebene hat.

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