Aufgabe 2: Analytische Geometrie

Die Abbildung 1 zeigt das sogenannte Saarpolygon, ein im Inneren begehbares Denkmal zur Erinnerung an den stillgelegten Kohlebergbau im Saarland.

Das Saarpolygon kann in einem Koordinatensystem modellhaft durch den Streckenzug dargestellt werden, der aus den drei Strecken $\overline{AB}$ , $\overline{BC}$ und $\overline{CD}$ mit $A(11\mid 11\mid 0)$ , $B(-11\mid 11\mid 28)$ , $C(11\mid -11\mid 28)$ und $D(-11\mid -11\mid 0)$ besteht (vergleiche Abbildung 2).
$A$ , $B$ , $C$ , und $D$ sind Eckpunkte eines Quaders.
Eine Längeneinheit im Koordinatensystem entspricht einem Meter in der Wirklichkeit.

Abb. 1

st mathe abi lk ea 22 analytische geometrie saarpolygon

Abb. 2

Begründe, dass die Punkte $B$ und $C$ symmetrisch bezüglich der $z$ -Achse liegen.

(2 BE)

Berechne die Länge des Streckenzugs in der Wirklichkeit.

(3 BE)

Die Ebene $E$ enthält die Punkte $A$ , $B$ und $C$ , die Ebene $F$ die Punkte $B$ , $C$ und $D$ .

Bestimme eine Gleichung von $E$ in Koordinatenform.
$\big[$ Zur Kontrolle: $14x+14y+11z=308$ $\big]$

(4 BE)

Berechne die Größe $\varphi$ des Winkels, unter dem $E$ die $xy$ -Ebene schneidet. Gib einen Term an, mit dem aus $\varphi$ die Größe des Winkels zwischen den Ebenen $E$ und $F$ berechnet werden kann.

(5 BE)

Die Ebene $E$ teilt den Quader in zwei Teilkörper. Bestimme den Anteil des Volumens des pyramidenförmigen Teilkörpers am Volumen des Quaders, ohne die Volumina zu berechnen.

(3 BE)

Das Saarpolygon wird mit verschiedenen Blickrichtungen betrachtet.
Die Abbildungen 3 und 4 stellen das Saarpolygon für zwei Blickrichtungen schematisch dar.

Mecklenburg-Vorpommern Abi 2022 Saarpolygon Abbildung 3

Abb. 3

Mecklenburg-Vorpommern Abi 2022 Saarpolygon Abbildung 4

Abb. 4

Gib zu jeder der beiden Abbildungen 3 und 4 einen möglichen Vektor an, der die zugehörige Blickrichtung beschreibt. Stelle das Saarpolygon schematisch für eine Betrachtung von oben dar.

(4 BE)

Der Punkt $P(0\mid 0\mid h)$ liegt innerhalb des Quaders und hat von den drei Strecken $\overline{AB}$ , $\overline{BC}$ , $\overline{CD}$ den gleichen Abstand. Das folgende Gleichungssystem liefert den Wert von $h$ :

$\,\text{I}$

$\overrightarrow {OQ}= \pmatrix{11\\11\\0}+t\cdot \pmatrix{-22\\0\\28}, t\in [0;1]$

$\,\text{II}$

$\overrightarrow {PQ}\cdot \overrightarrow {AB}=0$

$\,\text{II}$

$\begin{vmatrix}\overline{PQ}\\\end{vmatrix} = 28-h$

Erläutere die Überlegungen, die diesem Vorgehen zur Bestimmung des Werts von $h$ zugrunde liegen.

(4 BE)

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Sowohl die $x$ -Koordinaten als auch die $y$ -Koordinaten von $B$ und $C$ unterscheiden sich nur in ihren Vorzeichen, die $z$ -Koordinaten stimmen überein. Somit sind die beiden Punkte symmetrisch zur $z$ -Achse.

Die Geraden, auf denen die Strecken $\overline{AB}$ und $\overline{CD}$ liegen, sind windschief zueinander.

Länge der Strecke $\overline{AB}:$

$\overrightarrow{AB}=\pmatrix{-11\\11\\28}-\pmatrix{11\\11\\0}=\pmatrix{-22\\0\\28}$

$\begin{array}[t]{rll} \overline{AB}&=& \sqrt{(-22)^2+0^2+28^2}&\\[5pt] &\approx& 35,6 \,[\text{m}] \end{array}$

Länge der Strecke $\overline{BC}:$

$\overrightarrow{BC}=\pmatrix{11\\-11\\28}-\pmatrix{-11\\11\\28}=\pmatrix{22\\-22\\0}$

$\begin{array}[t]{rll} \overline{BC}&=& \sqrt{22^2+(-22)^2+0^2}&\\[5pt] &\approx& 31,1 \,[\text{m}] \end{array}$

Länge der Strecke $\overline{CD}:$

$\overrightarrow{CD}=\pmatrix{-11\\-11\\0}-\pmatrix{11\\-11\\28}=\pmatrix{-22\\0\\-28}$

$\begin{array}[t]{rll} \overline{CD}&=& \sqrt{(-22)^2+0^2+(-28)^2}&\\[5pt] &\approx& 35,6 \,[\text{m}] \end{array}$

Die Gesamtlänge des Streckenzugs beträgt somit $35,6\,\text{m}+31,1\,\text{m}+35,6\,\text{m}=102,3 \,\text{m}.$

Ebenengleichung von $E$ in Koordinatenform aufstellen

$\overrightarrow{AB} =\pmatrix{-22\\0\\28}$

$\overrightarrow{BC}= \pmatrix{22\\-22\\0}$

Normalenvektor bestimmen:

Rechenweg anzeigen

$\overrightarrow{n_E}= 44 \cdot \pmatrix{14\\14\\11}$

Daraus ergibt sich $14\cdot x+14\cdot y +11\cdot z=c.$

Eine Punktprobe mit den Koordinaten von $A$ ergibt:

$\begin{array}[t]{rll} 14\cdot 11+14\cdot 11 +11\cdot 0&=& c \\[5pt] 308&=& c \end{array}$

Somit ergibt sich die Koordinatenform zu $E: 14\cdot x+14\cdot y+11\cdot z =308.$

Winkel $\alpha$ berechnen

Ein Normalenvektor der $x_{1} x_{2}$ -Ebene ist $\pmatrix{0 \\ 0 \\ 1}.$

Für den Schnittwinkel folgt:

$\cos (\varphi)=\frac{\pmatrix{14 \\ 14 \\ 11}\circ\pmatrix{0 \\ 0 \\ 1}}{\pmatrix{14 \\ 14 \\ 11} \cdot\pmatrix{0 \\ 0 \\ 1}}=\frac{11}{\sqrt{513}}$ und damit $\varphi = \cos^{-1}\left(\frac{11}{\sqrt{513}}\right) \approx 60,94^{\circ}.$

Term angeben

Der Winkel $\beta$ zwischen den Ebenen E und F lässt sich mit folgendem Term berechnen:

$\beta=180^{\circ}-2\cdot \alpha$

Der Winkel der beiden Ebenen ist der Betrag des Winkels der Normalenvektoren der Ebene. Ein Normalenvektor der Ebenen $E$ ist $\pmatrix{14\\14\\11}$ . Ein Normalenvektor der $xy$ Ebene ist $\pmatrix{0\\0\\1}$ . Der Winkel beträgt:

$\begin{array}[t]{rll} \cos (\varphi) &=& \dfrac{\left|\pmatrix{14\\14\\11} \circ \left(\begin{array}{l}0 \\ 0 \\ 1\end{array}\right)\right|}{\left|\pmatrix{14\\14\\11}\right| \cdot \left|\pmatrix{0\\0\\1}\right|} \\[5pt] \cos (\varphi) &\approx& \dfrac{11}{22,65} &\quad \scriptsize \mid\; \arccos(\;) \\[5pt] \varphi &=& \arccos\left(\dfrac{11}{22,65} \right)\\[5pt] \varphi &\approx& 60,94^\circ \\[5pt] \end{array}$

Die Ebene $E$ schneidet die $xy$ Ebene unter dem Winkel $\varphi.$ Da die Ebene $E$ symmetrisch mit der Ebenen $F$ bezüglich der $z$ Achse ist, schneidet auch die Ebene $F$ die $xy$ Ebene unter dem Winkel $\varphi.$ Somit beträgt der Winkel zwischen der Ebene $E$ und der Ebene $F$ : $180^\circ - 2 \cdot \varphi.$

Verhältnis der Volumina:

Die Seitenfläche des Quaders, die $A$ und $C$ enthält, wird als Grundfläche und deren Flächeninhalt mit $G$ bezeichnet. Die Länge der zugehörigen Höhe des Quaders wird mit $h$ bezeichnet. Folglich hat der der pyramidenförmigen Teilkörper eine Grundfläche von $\frac{G}{2}$ und eine Höhe von $h$ .

Somit hat er folgendes Volumen: $\frac{1}{3} \cdot \frac{G}{2} \cdot h$ $= \frac{1}{6} \cdot G \cdot h$ .

Der andere Teilkörper hat ein Volumen von $\frac{5}{6} \cdot G \cdot h$ .

Damit beträgt das gesuchte Verhältnis $1: 5 .$

Die erste Abbildung zeigt eine seitliche Ansicht, also ist beispielsweise $\pmatrix{0\\1\\0}$ ein möglicher Vektor.

Die zweite Abbildung zeigt eine seitliche Ansicht aus der Richtung einer Ecke, also ist beispielsweise $\pmatrix{1\\-1\\0}$ ein möglicher Vektor.

Betrachtung von oben:

Ansicht von oben - Schleswig-Holstein Abi 2022 (Analytische Geometrie)

$\text{I}\quad$ $Q$ ist ein Punkt auf der Strecke $\overline{AB}.$

$\text{II}\;\;$ $\overline{P_{h}Q}$ ist senkrecht zu $\overline{A B},$ also beschreibt $\left|\overline{P_{h} Q}\right|$ den Abstand von $P_{h}$ zu $\overline{A B}.$

$\text{III}\,$ Dieser Abstand stimmt mit $28-h,$ dem Abstand von $P_{h}$ zu $\overline{B C}$ , überein.

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