Pflichtaufgabe 1 - Analysis

Gegeben sind die Funktionen $f_b$ mit $y= f_b(x)=(b^2-x^2)\cdot(b+x)^2$ ,
$x \in \mathbb{R}, b \in \mathbb{R}, b\gt 0$ .
Ihre Graphen seien $G_b$ .

Ermittle die Nullstelle der Funktionen $f_b$ und untersuche das Verhalten der Funktionen $f_b$ für $x \rightarrow \pm \infty$ .

Jeder der Graphen $G_b$ besitzt genau einen lokalen Extrempunkt und genau zwei Wendepunkte.

Weise nach, dass die Punkte $P_b(\frac{1}{2}\cdot b\;|\; f_b(\frac{1}{2}\cdot b))$ diese lokalen Extrempunkte sind und bestimme die Art des Extremums.

Tipp
Zur Kontrolle: $f‘_b(x)=-4x^3-6bx^2+2b^3$

Ermittle eine Gleichung der Ortskurve der lokalen Extrempunkte.

Berechne die Koordinaten der Wendepunkte der Graphen $G_b$ .

Zeichne den Graphen $G_1$ im Intervall $-2\leq x\leq1,5$ .

Die Graphen $G_b$ schließen jeweils mit der x-Achse eine Fläche vollständig ein. Ermittle mithilfe des Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung die Maßzahl des Inhalts dieser Fläche in Abhängigkeit von Parameter b.

Die Abbildung zeigt den Querschnitt einer Rinne, die aus drei Brettern der gleichen Breite b gebildet werden soll. Die Querschnittsfläche dieser Rinne hat die Form eines Trapezes und soll maximal werden.

Diagramm eines trapezförmigen Körpers mit den Variablen b, h und x.

Abb. 1: nicht maßstäblich

Zeige, dass $A_b(x)= \sqrt{b^2-x^2}$ $\cdot (b+x)$ Gleichung einer Zielfunktion dieser Extremwertproblematik ist und gib einen zugehörigen Definitionsbereich für diese Funktion an.

Jede der Funktionen $A_b$ besitzt genau eine lokale Extremstelle und zwar die Maximumstelle $x_E=\frac{1}{2}\cdot b$ .

Ermittle die Höhe h der Rinne mit maximaler Querschnittsfläche in Abhängigkeit von b.

Es sei g eine beliebige differenzierbare Funktion und die Funktion z sei durch $z(x)=[g(x)]^2$ definiert.

Beurteile die folgende Aussage:
Für alle Funktionen gilt: Jede lokale Extremstelle der Funktion z ist auch lokale Extremstelle der Funktion g.

Bildnachweise [nach oben]

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$\blacktriangleright$ Nullstellen der Funktion $\boldsymbol{f_b}$ berechnen

In dieser Aufgabe sollst du die Nullstellen der Funktion $f_b(x)=(b^2-x^2)\cdot(b+x)^2$ berechnen. Gesucht sind also die $x$ -Werte, für die $f_b(x)=0$ ist. Dazu kannst du den Satz vom Nullprodukt verwenden.

Ein Produkt ist genau dann Null, wenn einer der Faktoren Null ist.

Löse also die beiden Gleichungen $b^2-x^2=0$ und $b+x=0$ nach $x$ auf.

$\begin{array}[t]{rll} b^2-x^2&=&0 &\quad \scriptsize \mid\; +x^2 \mid\;\sqrt\; \\[5pt] x_1&=&-b \\[5pt] x_2&=& b \end{array}$

$\begin{array}[t]{rll} b+x&=&0 &\quad \scriptsize \mid\;-b \\[5pt] x_3&=&-b \end{array}$

$f_b$ hat zwei Nullstellen $x_1 = -b$ und $x_2 = b$ . Die Nullstelle $x_1$ ist eine doppelte Nullstelle.

$\blacktriangleright$ Verhalten der Funktion $\boldsymbol{f_b}$ für $\boldsymbol{x \longrightarrow \infty}$ untersuchen

Am einfachsten ist es, wenn du als erstes den Funktionsterm ausmultiplizierst und anschließend das Verhalten der Funktion $f_b$ für $x\longrightarrow \infty$ betrachtest.

$\begin{array}[t]{rll} f_b(x) &=& \end{array}$

Vollständige Lösung anzeigen

Bei dem Term innerhalb der Klammer handelt es sich um den Funktionsterm einer ganzrationalen Funktion vierten Grades. Eine ganzrationale Funktion vierten Grades strebt gegen $\infty$ wenn $x \longrightarrow \infty$ . Da die Klammer aber ein negatives Vorzeichen hat, bedeutet das:

$\lim\limits_{x\to\infty}\;f_n(x) =-\infty$

$\blacktriangleright$ Extrempunkte nachweisen

In dieser Aufgabe sollst du nachweisen, dass die Punkte $P_b\left(\frac{1}{2}b\;\,\bigg \vert \,\;f_b\left(\frac{1}{2}b\right)\right)$ die Extrempunkte des Graphen von $f_b$ sind.

Du hast die Funktion $f_b$ gegeben und sollst deren Graph auf Extrempunkte untersuchen. Für eine Extremstelle $x_E$ benötigst du die beiden folgenden Kriterien:

Notwendiges Kriterium: $\, f‘(x_E)=0$
Hinreichendes Kriterium:
- Ist $f_b‘‘(x_E)\gt 0$ , handelt es sich um eine Minimalstelle.
- Ist $f_b‘‘(x_E)\lt 0$ , handelt es sich um eine Maximalstelle.

Du kannst also wie folgt vorgehen:

Bestimme die ersten beiden Ableitungsfunktionen $f_b‘$ und $f_b‘‘$ .
Wende das notwendige Kriterium an, indem du $f_b‘(x)=0$ setzt und nach $x$ löst.
Überprüfe das hinreichende Kriterium, indem du die Lösung aus 2. in $f_b‘‘(x)$ einsetzt. So bestimmst du gleichzeitig die Art der Extrema.

1. Schritt: Ableitungsfunktionen bestimmen

$\begin{array}[t]{rll} f_b(x)&=&-x^4-2x^3b+2xb^3+b^4 \\[10pt] f‘_b(x)&=& -4x^3-6x^2b+2b^3\\[10pt] f‘‘_b(x)&=& -12x^2-12bx \end{array}$

2. Schritt: Notwendiges Kriterium anwenden

Durch Gleichsetzen von $f‘(x)$ mit Null, erhältst du mögliche Extremstellen:

Um die Nullstellen zu berechnen, musst du als erstes eine Nullstelle durch probieren bestimmen und dann mit der Polynomdivision auf die anderen Nullstellen schließen. Eine Nullstelle ist $x_1=-b$ . Teile somit den Funktionsterm durch $(x+b)$ .

$\begin{array}[t]{rll} &=&-4x^2 & -& 2bx & + & 2b^2 \\[5pt] \end{array}$

Vollständige Lösung anzeigen

Du kannst nun die $p$ - $q$ -Formel anwenden, um die weiteren Nullstellen zu bestimmen.

$\begin{array}[t]{rll} 0& =&-4x^2-2bx+2b^2 & \quad \mid\; :(-4) \\[5pt] 0& =&x^2+\frac{1}{2}bx - \frac{1}{2}b^2 \\[5pt] x_{2,3}&=&- \dfrac{\frac{1}{2}b}{2} \pm \sqrt {\left( {\frac{\frac{1}{2}b}{2}} \right)^2 + \frac{1}{2}b^2} \\[5pt] &=& -\frac{1}{4}b \pm \sqrt {{\frac{1}{16}b^2} + \frac{8}{16}b^2} \\[5pt] &=& -\frac{1}{4}b \pm \frac{3}{4}b\\[5pt] x_1&=& -\frac{1}{4}b + \frac{3}{4}b\\[5pt] &=& \frac{1}{2}b \\[5pt] x_2&=& -\frac{1}{4}b - \frac{3}{4}b\\[5pt] &=& -\frac{1}{4}b \pm \frac{3}{4}b\\[5pt] \end{array}$

Zwei weitere Stellen, an denen Extrempunkte sein könnten sind $x_2=-b$ und $x_3=\frac{1}{2}b$ . Wobei es sich an der Stelle $x=-b$ um eine doppelte Nullstelle handelt.

3. Schritt: Hinreichendes Kriterium überprüfen

Um nun zu prüfen, ob es sich tatsächlich um Extremstellen handelt, bestimmst du die zweite Ableitungsfunktion und setzt die möglichen Werte für $x$ in den Funktionsterm ein. Ist $f_b‘‘(x)=0$ handelt es sich um keine Extremstelle.

$f‘‘_b(x)= -12x^2-12bx$

$f‘‘_b(-b)=0$

Vollständige Lösung anzeigen

$f‘‘_b\left(\frac{1}{2}b\right)\neq 0$ da $b\gt 0$

Vollständige Lösung anzeigen

Da der Graph der Funktion an der Stelle $x_1=-b$ keinen Extrempunkt besitzt, sind alle möglichen Extrempunkte im Punkt $P_b\left(\frac{1}{2}b\;\,\bigg \vert \,\;f_b\left(\frac{1}{2}b\right)\right)$ . Da die zweite Ableitung an der Stelle $x_2=-9b^2$ auf jeden fall negativ ist, handelt es sich um Hochpunkte.

$\blacktriangleright$ Gleichung der Ortskurve der lokalen Extrempunkte aufstellen

Du weißt bereits, dass sich die lokalen Extrempunkte an den Stellen $x_b =\frac{1}{2}b$ befinden. Forme diese Gleichung nach $b$ um. Anschließend kannst du dieses Ergebnis in die $y$ -Koordinate der Extrempunkte einsetzen.

1. Schritt: Gleichung umstellen

$\begin{array}[t]{rll} x&=& \frac{1}{2}b &\quad \scriptsize \mid\; \cdot 2 \\[5pt] 2x&=&b \end{array}$

2. Schritt: $\boldsymbol{b=2x}$ in die Funktionsgleichung einsetzen

Berechne zunächst die $y$ -Koordinaten der Extrempunkte:

$f_b\left(\frac{1}{2}b\right) = \frac{27}{16}b^4$

Vollständige Lösung anzeigen

$\begin{array}[t]{rll} y_b&=& \frac{27}{16}b^4 &\quad \scriptsize \mid\; b=2x \\[5pt] y_b&=& \frac{27}{16}(2x)^4 \\[5pt] &=& 27x^4 \end{array}$

Die Ortskurve der lokalen Extrempunkte hat die Gleichung $y=27x^4$ .

$\blacktriangleright$ Koordinaten der Wendepunkte der Graphen $\boldsymbol{G_b}$ berechnen

Der Graph der Funktion $f_b$ hat an der Stelle $x_0$ einen Wendepunkt, wenn gilt:

$f‘‘(x_0)=0$ und $f‘‘‘(x_0)\neq 0$

Berechne dazu als erstes die Nullstellen der zweiten Ableitung der Funktion $f_b$ und überprüfe anschließend mit der dritten Ableitung, ob es sich um Wendepunkte handelt. In der vorherigen Aufgabe hast du schon berechnet, dass $f‘‘(-b)=0$ ist. An dieser Stelle könnte somit der Graph der Funktion einen Wendepunkt haben.

1. Schritt: Nullstellen der zweiten Ableitung berechnen

$\begin{array}[t]{rll} x&=&-b \end{array}$

Vollständige Lösung anzeigen

An der Stelle $x=-b$ könnte der Graph der Funktion einen Wendepunkt haben.

2. Schritt: Überprüfen, ob ein Wendepunkt vorliegt

$f‘‘‘_b(x)= -24x -12b$

$f‘‘‘_b(0)= -24\cdot 0 - 12b = -12b$

$f‘‘‘_b(-b)= 12b$

Vollständige Lösung anzeigen

Der Graph der Funktion $f$ hat in den Punkt $W1(0\;|\; f(0))$ und $W2(-b\;|\;f(-b))$ jeweils einen Wendepunkt.

$\blacktriangleright$ Graphen $\boldsymbol{G_1}$ skizzieren

Die Funktionsgleichung für $b=1$ lautet: $f_1(x)=(1-x^2)(1+x)^2$

Zeichne die in den Aufgaben bestimmten Punkte in die Skizze des Graphen $G_1$ ein.

Graph mit einer grünen Kurve und blauen Punkten, die verschiedene Punkte markieren. Hintergrund in Schwarz mit Gitternetz.

Abb. 1: Skizze des Graphen $G_1$

$\blacktriangleright$ Flächeninhalt in Abhängigkeit von b berechnen

In dieser Aufgabe sollst du den Inhalt der Fläche berechnen, die durch den Graph $G_b$ und die $x$ -Achse begrenzt wird. Die Grenzen des Intervalls sind somit die Nullstellen des Graphen $G_b$ . Bilde dazu als erstes eine Stammfunktion der Funktion $f_b$ und berechne anschließend den Flächeninhalt.

Beide Nullstellen hast du bereits berechnet: $x_1= -b$ und $x_2 = b$ .

1. Schritt: Stammfunktion bestimmen

$\begin{array}[t]{rll} f_b(x)&=& (b^2-x^2)\cdot(b+x)^2 \\[5pt] &=& (b^2-x^2)\cdot(b^2+2bx +x^2) \\[5pt] &=& -x^4-2x^3b+2xb^3+b^4 \\[5pt] \end{array}$

$F_b(x) = -\frac{1}{5}x^5-\frac{1}{2}x^4b+x^2b^3+xb^4$

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2. Schritt: Flächeninhalt berechnen

$\begin{array}[t]{rll} \displaystyle\int_{-b}^{b}\; f(x) \mathrm dx&=& \frac{8}{5}b \end{array}$

Vollständige Lösung anzeigen

Die Kurve $f_b(x)$ und die $x$ -Achse schließen eine Fläche mit dem Flächeninhalt $\frac{8}{5}b\,\text{[FE]}$ ein.

$\blacktriangleright$ Zielfunktion bestimmen

In dieser Aufgabe ist die Querschnittsfläche eines Trapezes gegeben und diese soll maximal werden. Stelle also eine Funktion für den Flächeninhalt des Trapezes in Abhängigkeit von $x$ und $b$ auf. Die Formel für den Flächeninhalt eines Trapezes lautet:

$A_{Trapez}=\frac{1}{2}(a+c)h$

In dieser Aufgabe sind:

$a=b+2x$

$c=b$

Wenn du $a$ und $c$ jetzt in die Gleichung einsetzt erhältst du:

$A_{Trapez}=\frac{1}{2}(b+2x+b)h = (b+x)h$

Um $h$ in Abhängigkeit von $b$ und $x$ darzustellen, kannst du den Satz des Pythagoras anwenden. Löse die Gleichung nach $h$ auf und setze sie in die Formel für den Flächeninhalt ein.

$\begin{array}[t]{rll} b^2&=&h^2+x^2 &\quad \scriptsize \mid\; -b^2 \mid\;-h^2 \\[5pt] -h^2&=&x^2-b^2 &\quad \scriptsize \mid\; \cdot (-1) \mid\;\sqrt\; \\[5pt] h&=&\sqrt{b^2-x^2} \end{array}$

$\begin{array}[t]{rll} A_b(x)&=&(b+x)\sqrt{b^2-x^2} \end{array}$

Somit hast du gezeigt, dass $A_b(x)=(b+x)\sqrt{b^2-x^2}$ die Zielfunktion des Extremwertproblems ist.

$\blacktriangleright$ Definitionsbereich der Zielfunktion bestimmen

Da unter einem Wurzelzeichen keine negativen Zahlen stehen dürfen, muss $b^2-x^2\geq0$ sein. Da x und b quadriert werden folgt daraus, dass $|x|\leq|b|$ sein muss.

Der Definitionsbereich ist somit $D=\{x\in \mathbb{R} \setminus \{|x|\leq|b|\}\}$

$\blacktriangleright$ Höhe der Rinne ermitteln

In einer vorherigen Aufgabe hast du berechnet, dass die Höhe $h=\sqrt{b^2-x^2}$ ist. Um nun die maximale Höhe auszurechnen, setzt du für $x_E=\frac{1}{2}b$ in die Gleichung ein, denn aus der Aufgabenstellung weißt du, dass der Graph der Funktion $A_b$ an dieser Stelle ein Maximum hat.

$\begin{array}[t]{rll} h&=&\sqrt{b^2-(\frac{1}{2}b)^2} \\[5pt] &=&\sqrt{b^2-\frac{1}{4}b^2} \\[5pt] &=&\sqrt{\frac{3}{4}b^2} = \frac{\sqrt{3}}{2}b \end{array}$

Die Höhe der maximalen Querschnittsfläche in Abhängigkeit von b ist $h=\frac{\sqrt{3}}{2}b$

$\blacktriangleright$ Aussage beurteilen

In dieser Aufgabe sollst du die Aussage beurteilen, dass jede lokale Extremstelle der Funktion $z$ auch lokale Extremstelle der Funktion $g$ ist, wobei gilt $z(x)=[g(x)]^2$ .

Diese Aussage kannst du widerlegen, indem du eine Funktion $g$ findest, für die die Aussage nicht zutrifft.

Eine mögliche Funktion ist $g(x)=x^2-1$ . Die Funktionsgleichung von $z$ lautet dann: $z(x)=(x^2-1)^2=x^4-2x^2+1$ .

Jetzt kannst du die beiden Funktionen ableiten und berechnen, ob die Ableitungen die gleichen Nullstellen haben.

$g‘(x)= 2x$

$z‘(x)= 4x^3-4x$

Das Schaubild der Ableitung $g‘$ hat nur eine Nullstelle, nämlich bei $x_1= 0$ . Das Schaubild der Ableitung $z‘$ hat aber mindestens zwei Nullstellen, welche du direkt ablesen kannst. Die erste befindet sich an der Stelle $x_2 =0$ und die zweite an der Stelle $x_3 =1$ .

Somit hat die Funktion $z$ mindestens eine Extremstelle mehr als die Funktion $g$ und du hast gezeigt, dass die Aussage nicht gilt.

Bildnachweise [nach oben]

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