Gegeben sind die Vektoren , , ,, und des dreidimensionalen Raumes.

Weise nach, dass die Vektoren und linear abhängig sind, die Vektoren und jedoch linear unabhängig sind.

Prüfe ob sich der Vektor aus den Vektoren , und durch linear kombinieren lässt. Zeige, dass es unendlich viele Linearkombinationen des Vektors aus den Vektoren , und gibt und schlussfolgere daraus auf lineare Abhängigkeit bzw. lineare Unabhängigkeit der Vektoren , und . Charakterisiere den Verlauf des Vektors bezüglich jeder von den Vektoren und aufgespannten Ebene.

Der Vektor lässt sich nicht aus den Vektoren , und linear kombinieren. Wähle aus den Vektoren , , , , und Vektoren so aus, dass sie eine Basis des dreidimensionalen Raumes bilden und begründe deine Auswahl.

  Zeigen, dass die Vektoren und linear abhängig sind Zwei Vektoren sind linear abhängig, wenn sie Vielfaches voneinander sind. Die beiden Vektoren und sind Vielfaches voneinander, wenn es einen Parameter gibt mit . Du erhältst ein Gleichungssystem mit drei Gleichungen und einer Unbekannten. Ist das Gleichungssystem lösbar sind die beiden Vektoren linear abhängig. Du siehst direkt, dass die Gleichung erfüllt ist und wenn du in die dritte Gleichung einsetzt folgt: Somit folgt: Das bedeutet, dass die beiden Vektoren linear abhängig sind.   Zeigen, dass die Vektoren und linear unabhägig sind Bei dieser Aufgabe kannst du wie in der Aufgabe zuvor vorgehen. Die beiden Vektoren sind linear unabhängig, wenn das lineare Gleichungssystem nicht lösbar ist. Nach der ersten Gleichung müsste sein. In der dritten Gleichung steht allerdings, dass sein soll. Somit ist das lineare Gleichungssystem nicht lösbar. Die beiden Vektoren sind linear unabhängig.

  Aussage überprüfen In dieser Aufgabe sollst du die Aussage überprüfen, dass sich der Vektor als Linearkombination durch und mit darstellen lässt. Um diese Aussage zu überprüfen, kannst du die Koordinaten der Vektoren in die Gleichung einsetzen. Ist die Gleichung erfüllt, hast du die Aussage bestätigt. Somit hast du gezeigt, dass die Aussage richtig ist.   Zeigen, dass es unendlich viele Linearkombinationen gibt Du sollst zeigen, dass es unendlich viele Linearkombinationen von durch und gibt. Das heißt die Gleichung hat unendliche viele Lösungen. Setze die Werte der Vektoren ein. Du erhältst ein lineares Gleichungssystem mit drei Gleichungen und drei Unbekannten. Löse die zweite Gleichung nach auf und die dritte Gleichung nach . Setze in die erste Gleichung nun für und für ein und löse die Gleichung nach auf. Da nur in Abhängigkeit von und dargestellt werden kann, gibt es unendlich viele Lösungen und damit unendlich viele Linearkombinationen. Die drei Vektoren , und spannen also eine Ebene auf, in der der Vektor liegt. Würden die drei Vektoren einen dreidimensionalen Raum aufspannen, wären die drei Vektoren linear unabhängig. Da dies aber nicht der Fall ist, sind die Vektoren , und linear abhängig.   Verlauf des Vektors charakterisieren Da die beiden Vektoren und linear unabhängig voneinander sind, spannen sie eine Ebene auf. Wenn du nun den Vektor als Linearkombination von den beiden Vektoren und darstellen kannst, liegt der Vektor in der Ebene . Gehe wie in der Aufgabe zuvor vor und bestimme ein lineares Gleichungssystem mit drei Gleichungen und drei Unbekannten. Löse die zweite Gleichung nach auf. Jetzt kannst du für in die dritte Gleichung einsetzen. Setze jetzt für und für in die erste Gleichung ein, um zu prüfen, ob diese Gleichung erfüllt ist. Da der Vektor als Linearkombination aus den beiden Vektoren dargestellt werden kann, liegt der Vektor in der Ebene .

  Basis des dreidimensionalen Raumes finden In dieser Aufgabe sollst du drei Vektoren aus den Vektoren , , , , und aussuchen, die eine Basis des dreidimensionalen Raumes sind. Wichtig ist, dass diese drei Vektoren linear unabhängig voneinander sind. Aus der Aufgabenstellung weißt du, dass sich der Vektor nicht aus den Vektoren , und kombinieren lässt. Das bedeutet, dass der Vektor linear unabhängig von diesen drei Vektoren ist. Der erste Vektor der Basis ist somit . Da die beiden Vektoren und auch linear unabhängig voneinander sind, sind sie und der Vektor auch linear unabhängig. Eine Basis des dreidimensionalen Raumes besteht somit aus den drei Vektoren , und .