Aufgabe 3: Stochastik

3.1

Unter den Kunden eines Krankenversicherungsunternehmens haben $59 \,\%$ Datenschutzbedenken. Von den Kunden mit Datenschutzbedenken nutzen $23 \,\%$ ein Fitnessarmband. $19\,\%$ aller Kunden haben keine Datenschutzbedenken und nutzen ein Fitnessarmband.

Stelle den Sachverhalt in einem beschrifteten Baumdiagramm dar.

(3 BE)

Eine unter allen Kunden zufällig ausgewählte Person nutzt ein Fitnessarmband.
Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sie Datenschutzbedenken hat.

(3 BE)

Es gilt $0,23 \neq 0,59 \cdot 0,23 + 0,19.$
Begründe damit, dass die Ereignisse „Eine unter allen Kunden zufällig ausgewählte Person hat Datenschutzbedenken." und „Eine unter allen Kunden zufällig ausgewählte Person nutzt ein Fitnessarmband." stochastisch abhängig sind.

(3 BE)

100 Kunden des Unternehmens werden zufällig ausgewählt.

Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass mehr als $50\,\%$ der ausgewählten Kunden Datenschutzbedenken haben.

(2 BE)

Ersetzt man die Platzhalter $a$ und $b$ in geeigneter Weise, so kann mit dem Term $1- \displaystyle\sum\limits_{k=51}^{100} \pmatrix{100\\k} \cdot 0,59^k \cdot a^b$ die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses im Sachzusammenhang berechnet werden.
Gib an, wodurch die Platzhalter zu ersetzen sind, und beschreibe das zugehörige Ereignis.

(3 BE)

Berechne den Mindestumfang einer Stichprobe von Kunden, so dass in dieser mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens $98\,\%$ mindestens eine Person Datenschutzbedenken hat.

(3 BE)

Untersuche, ob es einen Wert von $n$ mit $n\gt 0$ gibt, für den die folgende Aussage richtig ist:

Werden $2n$ Kunden des Unternehmens zufällig ausgewählt, so ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass unter diesen niemand Datenschutzbedenken hat, halb so groß wie bei $n$ Kunden.

(3 BE)

3.2

Ein Hersteller von Fitnessarmbändern möchte für die Angabe einer Qualitätsgarantie den Anteil fehlerhafter Fitnessarmbänder überprüfen. Der laufenden Produktion wird eine Stichprobe vom Umfang 240 entnommen.

Die Auswertung des Stichprobenergebnisses erfolgt mithilfe des abgebildeten Graphen, indem eine der Grenzen eines Prognoseintervalls für den unbekannten Anteil fehlerhafter Fitnessarmbänder in der Stichprobe zu einer Sicherheitswahrscheinlichkeit $c$ ermittelt wird.

Für einen Wert $k, k\in \mathbb{R}, k\gt 0$ ist der Graph der Funktion $f$ mit
$f(p)=p+k \cdot \sqrt{\dfrac{p\cdot (1-p)}{240}}$ und $p\in [0;1]$ dargestellt.

Ermittle mithilfe der Abbildung den Wert $k$ und gib eine mögliche Sicherheitswahrscheinlichkeit $c$ an.

(3 BE)

Erläutere die Bedeutung der bei der Auswertung des Stichprobenergebnisses betrachteten Grenze des Prognoseintervalls.

(2 BE)

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3.1

$D:$ Eine Person hat Datenschutzbedenken.

$F:$ Eine Person nutzt ein Fitnessarmband.

Aus der Aufgabenstellung sind bekannt:

$P(D) = 0,59$

$P(\overline{D}) = 1-0,59 = 0,41$

$P_D(F) = 0,23$

$P_D(\overline{F}) = 1-0,23 = 0,77$

$P(\overline{D}\cap F) = 0,19$

Die Wahrscheinlichkeit $P_{\overline{D}}(F)$ lässt sich mit Hilfe der Formel für bedingte Wahrscheinlichkeiten berechnen:

$P_{\overline{D}}(F) = \dfrac{P(\overline{D}\cap F) }{P(\overline{D})} = \dfrac{0,19}{0,41} = \dfrac{19}{41}$

$P_{\overline{D}}(\overline{F}) =1- \dfrac{19}{41} = \dfrac{22}{41}$

Baumdiagramm - Schleswig-Holstein Abi 2022 (Stochastik)

Mit dem Satz von Bayes folgt:

$P_{F}(D)=\dfrac{P(D \cap F)}{P(F)}=\dfrac{0,59 \cdot 0,23}{0,59 \cdot 0,23+0,19}$ $=0,4166 \approx 42\,\%$

Da unter den Versicherten mit Datenschutzbedenken $23\, \%$ ein Fitnessarmband nutzen, folgt $P_{D}(F)=0,23.$
Der Term $0,59\cdot 0,23+0,19$ beschreibt den Anteil der Versicherten, die ein Fitnessarmband nutzen, unter allen Versicherten; also folgt $P(F)=0,59 \cdot 0,23+0,19.$
Daher ist $P_{D}(F) \neq P(F).$ Somit sind die Ereignisse $D$ und $F$ stochastisch abhängig.

$X:$ Anzahl der Versicherten mit Datenschutzbedenken.
$X$ ist binomialverteilt mit den Parametern $n=100$ und $p=0,59.$

Mit der Funktion des Taschenrechners für die Binomialverteilung kann die Wahrscheinlichkeit berechnet werden:

$P(X \gt 50)=1-P(X \leq 50)$ $\approx 1-0,0428 = 0,9572 \approx 96\, \%$

Ein Vergleich mit der Formel für die Wahrscheinlichkeiten der Binomialverteilung ergibt:

Für $a=1-0,59=0,41$ und $b=100-k$ ist das zugehörige Ereignis „Höchstens die Hälfte der ausgewählten Versicherten hat Datenschutzbedenken."

Gegeben ist eine Binomialverteilung mit unbekanntem $n$ und mit $p=0,59$ . Ebenfalls ist das Ereignis $P_{n;0,59}(X\geq 1)\geq 0,98$ gegeben.

Es gilt:

$P_{n;0,59}(X\geq 1)=1-P_{n;0,59}(X=0)$

Es folgt:

$\begin{array}[t]{rll} 1-P_{n;0,59}(X=0)&\geq& 0,98 &\quad \scriptsize \mid\; -1 \\[5pt] -P_{n;0,59}(X=0) &\geq & -0,02 &\quad \scriptsize \mid\; \cdot (-1) \\[5pt] P_{n;0,59}(X=0)&\leq& 0,02 \end{array}$

Für $n=4$ ergibt sich $P_{n;0,59}(X=0)=0,0283$ und für $n=5$ $P_{n;0,59}(X=0)=0,0116.$ Somit muss der Mindestumfang einer Stichprobe von Kunden bei $n=5$ liegen.

Es wird die folgende Situation beschrieben:

Rechenweg anzeigen

$n=0,78$

Da $n\in\mathbb{N}$ gilt, hat die Gleichung keine Lösung, womit es keinen Wert von $n$ gibt, mit welchem die Aussage richtig ist.

3.2

Aus der Abbildung kann $f(0,1)=0,15$ abgelesen werden. Somit folgt:

Rechenweg anzeigen

$k \approx 2,58$

Mit Hilfe der Sigma Regeln erhält man die Sicherheitswahrscheinlichkeit zu $c=0,990 = 99 \;\%.$

Die dargestellte Grenze entspricht der oberen Grenzen des Prognoseintervalls für den unbekannten Anteil fehlerhafter Fitnessarmbänder.

Ist der Anteil der fehlerhaften Armbändert in der Stichprobe größer als die betrachtete Grenze, so muss davon ausgegangen werden, dass die ursprünglich angenommene Wahrscheinlichkeit $p$ eigentlich größer ist.

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