Aufgabe 1: Analysis

1.1

Auf einer Autobahn entsteht morgens an einer Baustelle häufig ein Stau, der sich dann wieder vollständig auflöst.

An einem bestimmten Tag entsteht der Stau um 6:00 Uhr und löst sich um 10:00 Uhr vollständig auf. Für diesen Tag kann die momentane Änderungsrate der Staulänge mit Hilfe der in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $f$ mit

Funktion anzeigen

beschrieben werden.

Dabei gibt $x$ die nach 06:00 Uhr vergangene Zeit in Stunden und $f(x)$ die momentane Änderungsrate der Staulänge in Kilometer pro Stunde an.

Die Abbildung 1 zeigt den Graphen von $f$ für $0 \leq x \leq 4$ .

Funktion Autobahn Staulaenge ST Abi 2023

Abbildung 1

Für die erste Ableitungsfunktion von $f$ gilt $f^{\prime}(x)=\left(5 x^2-16 x+8\right) \cdot\left(1-\dfrac{x}{4}\right).$

Nenne die Zeitpunkte, zu denen die momentane Änderungsrate der Staulänge den Wert null hat, und begründe anhand der Struktur des Funktionsterms von $f,$ dass es keine weiteren solchen Zeitpunkte gibt.

(3 BE)

Es gilt $f(2) \lt 0.$

Gib die Bedeutung dieser Tatsache im Sachzusammenhang an.

(1 BE)

Bestimme rechnerisch den Zeitpunkt, zu dem die Staulänge am stärksten zunimmt.

(5 BE)

Gib den Zeitpunkt an, zu dem der Stau am längsten ist.

Begründe deine Angabe.

(2 BE)

Im Sachzusammenhang ist neben der Funktion $f$ die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $s$ mit

Funktionsgleichung anzeigen

von Bedeutung.

Begründe, dass die folgende Aussage richtig ist:

Die Staulänge kann für jeden Zeitpunkt von 06:00 Uhr bis 10:00 Uhr durch die Funktion $s$ angegeben werden.

Bestätige rechnerisch, dass sich der Stau um 10:00 Uhr vollständig aufgelöst hat.

(4 BE)

Berechne die Zunahme der Staulänge von 06:30 Uhr bis 08:00 Uhr und bestimme für diesen Zeitraum die durchschnittliche Änderungsrate der Staulänge.

(3 BE)

Für einen anderen Tag wird die momentane Änderungsrate der Staulänge für den Zeitraum von 06:00 Uhr bis 10:00 Uhr durch den in der Abbildung 2 gezeigten Graphen dargestellt.

Dabei ist $x$ die nach 06:00 Uhr vergangene Zeit in Stunden und $y$ die momentane Änderungsrate der Staulänge in Kilometer pro Stunde.

Abbildung 2

Um 07:30 Uhr hat der Stau eine bestimmte Länge. Es gibt einen anderen Zeitpunkt, zu dem der Stau die gleiche Länge hat.

Markiere diesen Zeitpunkt in der Abbildung 2, begründe deine Markierung und veranschauliche deine Begründung in der Abbildung 2.

1.2

Betrachtet wird die Schar der in $\mathbb{R}$ definierten Funktionen $h_k$ mit $h_k(x)=(x-3)^k+1$ und $k \in \mathbb{N},k \neq 0.$

Gib in Abhängigkeit von $k$ das Verhalten von $h_k$ für $x \rightarrow-\infty$ an und begründe deine Angabe.

(3 BE)

Ermittle die Koordinaten der beiden Punkte, die alle Graphen der Schar gemeinsam haben.

(3 BE)

Die erste Ableitungsfunktion von $h_k$ wird mit $\(h_{k}$ bezeichnet.

Beurteile die folgende Aussage:

Es gibt genau einen Wert von $k,$ für den der Graph von $\(h_k$ Tangente an den Graphen von $h_k$ ist.

(6 BE)

Die Graphen von $h_k$ und $\(h_k$ werden in der Abbildung 3 für $k=4$ beispielhaft für gerade Werte von $k$ gezeigt, in der Abbildung 4 für $k=5$ beispielhaft für ungerade Werte von $k.$

Abbildung 3

Abbildung 4

Für $k \geq 4$ werden die Punkte $P\left(4 \mid h_k(4)\right),$ $\(Q\left(4 \mid h_k$ $R\left(2 \mid h_k(2)\right)$ und $S\left(2 \mid h_{k}^{\prime}(2)\right)$ betrachtet.

Diese Punkte sind jeweils Eckpunkte eines Vierecks.

Begründe, dass jedes dieser Vierecke ein Trapez ist, und zeige, dass die folgende Aussage richtig ist:

Für jeden geraden Wert von $k$ mit $k \geq 4$ stimmen der Flächeninhalt des Trapezes für $k$ und der Flächeninhalt des Trapezes für $k+1$ überein.

(7 BE)

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1.1

Zeitpunkte nennen

Es soll gelten:

$\begin{array}[t]{rll} f(x)&=& 0&\\[5pt] x \cdot(8-5 x) \cdot\left(1-\dfrac{x}{4}\right)\cdot \left(1-\dfrac{x}{4}\right) &=& 0 \end{array}$

Mit dem Satz vom Nullprodukt folgt für die vier Linearfaktoren des Funktionsterms:

$x_1=0,$ $x_2=1,6$ und $x_3=4$

Dies entspricht den Zeitpunkten 06:00 Uhr, 07:36 Uhr und 10:00 Uhr.

Der Funktionsterm von $f$ besteht aus vier Linearfaktoren, von denen zwei übereinstimmen. Damit kann $f$ maximal drei Nullstellen besitzen und es gibt daher nur die oben genannten drei Zeitpunkte, zu denen die momentane Änderungsrate der Staulänge den Wert null hat.

Um 08:00 Uhr nimmt die Staulänge ab.

Notwendige Bedingung für Extremstellen anwenden:

$\(\begin{array}[t]{rll} f$

Mit dem Satz vom Nullprodukt folgt:

$\begin{array}[t]{rll} 1-\dfrac{x_0}{4}&=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; +\dfrac{x}{4} \quad \scriptsize \mid\;\cdot4 \\[5pt] 4&=& x_0 \end{array}$

Außerdem gilt:

$\begin{array}[t]{rll} 5 x^2-16 x+8&=&0 &\quad \scriptsize \mid\;:5 \\[5pt] x^2-\dfrac{16}{5} x+\dfrac{8}{5}&=&0 \\[5pt] \end{array}$

Die $pq$ -Formel liefert nun:

$\begin{array}[t]{rll} x_{1;2}&=&\dfrac{8}{5}\pm\sqrt{\left(-\dfrac{8}{5}\right)^2-\dfrac{8}{5}} \\[5pt] x_{1;2}&=&\dfrac{8}{5}\pm\sqrt{\dfrac{24}{25}} \\[5pt] x_{1}&\approx& 0,62 \\[5pt] x_{2}&\approx& 2,58 \end{array}$

Aus dem Verlauf der Abbildung ergibt sich, dass die Zunahme der Staulänge zum Zeitpunkt $x_1$ am stärksten ist.

Für diesen Zeitpunkt gilt:

$x_{1}\cdot 60 = 0,62\cdot 60 = 37,2\;[\text{min}]$

Die Staulänge nimmt somit um ca. $06:37\;\text{Uhr}$ am stärksten zu.

Die Länge des Staus nimmt genau dann zu, wenn $f(x)>0$ gilt.

Damit ist der Stau um 07:36 Uhr am längsten.

Aussage begründen

Es gilt $\(s$ und $s(0)=0.$

Zeitpunkt der Auflösung bestätigen

Rechenweg anzeigen

$s(4)=0 \;[\,\text{km}]$

Um 10:00 Uhr beträgt die Staulänge somit $0 \,\text{km}.$ Der Stau ist folglich aufgelöst.

Zunahme berechnen

$s(2)= 2 \left[\,\text{km}\right]$

Rechenweg anzeigen

$s(0,5)\approx 0,7 \left[\,\text{km}\right]$

Rechenweg anzeigen

Die Zunahme der Staulänge beträgt somit $2-0,7=1,3 \,\text{km}.$

Durchschnittliche Änderungsrate bestimmen

Die Änderungsrate ergibt sich mit:

$\dfrac{1,3 \,\text{km}}{1,5 \,\text{h}}\approx 0,9 \dfrac{\,\text{km}}{\,\text{h}}$

Der gesuchte Zeitpunkt wird mit $b$ bezeichnet. Die Inhalte der Flächen, die der Graph mit der $x$ -Achse für $1,5 \leq x \leq a$ und $a \leq x \leq b$ einschließt, müssen übereinstimmen.

1.2

Für alle Werte von $k$ ist der Term von $h_k$ jeweils ein Polynom, wobei $x^k$ der Summand mit dem größten Exponenten ist.

Damit gilt $\lim\limits_{x \rightarrow -\infty} h_k(x)=-\infty$ für ungerade Werte von $k$ und $\lim\limits _{x \rightarrow-\infty} h_k(x)=+\infty$ für gerade.

Für $x-3=0$ und $x-3=1$ hat $h_k(x)$ jeweils für alle Werte von $k$ den gleichen Wert.

Es ergibt sich also für $x_1=3$ und $x_2=4:$

$h_k(3)=(3-3)^k+1=1$

$h_k(4)=(4-3)^k+1=2$

Somit haben alle Graphen der Schar die Punkte $P_1(3 \mid 1)$ und $P_2(4 \mid 2)$ gemeinsam.

$\(h_k$

Die Ableitungsfunktion $\(h_k$ ist folglich nur für die Werte $k=1$ und $k=2$ eine Gerade:

$\(\begin{array}[t]{rll} h_1$

Da die Funktion $h_1(x)$ allerdings eine Gerade mit der Steigung 1 ist und $\(h_1$ eine konstante Funktion ist, kann die Aussage nur für $k=2$ gelten.

Für $k=2$ soll also überprüft werden:

$\( h_2(x)=h_2$

Rechnung anzeigen

Mit der $pq$ -Formel folgt:

$\begin{array}[t]{rll} x_{1;2}&=&-\dfrac{(-8)}{2}\pm\sqrt{\left(\dfrac{(-8)}{2}\right)^2-16} & \\[5pt] &=& 4\pm (16-16) & \\[5pt] &=& 4 & \end{array}$

An der Stelle $x=4$ muss die Steigung der beiden Graphen gleich sein, es muss also gelten:

$\(\begin{array}[t]{rll} h_2$

Damit ist die Aussage korrekt.

Trapezform begründen

Die Punkte $P$ und $Q$ sowie die Punkte $R$ und $S$ haben jeweils übereinstimmende $x$ -Koordinaten.

Damit sind die Seiten $\overline{PQ}$ und $\overline{RS}$ parallel.

Aussage nachweisen

$A_k= \dfrac{\left| \overline{PQ}\right|+\left| \overline{RS}\right|}{2}\cdot h$

Rechnung anzeigen

Für gerade Werte von $k$ mit $k\geq 4$ folgt also:

$\begin{array}[t]{rll} A_k&=& \left| 1+1-k \right|+\left| 1+1+k \right| & \\[5pt] &=&(k-2)+(2+k) & \\[5pt] &=& 2k \left[\text{FE}\right]& \\[5pt] \end{array}$

$A_{k+1}= 2k \left[\text{FE}\right]$

Rechenweg anzeigen

Somit stimmen für jeden geraden Wert von $k$ mit $k \geq 4$ der Flächeninhalt des Trapez für $k$ und der Flächeninhalt des Trapez für $k+1$ überein.

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