Pflichtaufgaben

Gegeben sind die in $\mathbb{R}$ definierten ganzrationalen Funktionen $f_k$ mit $f_k(x)=x^4+(2-k)\cdot x^3-k\cdot x^2$ und $k\in \mathbb{R}.$

Begründe, dass der Graph von $f_2$ symmetrisch bezüglich der $y$ -Achse ist.

(1 BE)

Es gibt einen Wert von $k$ , für den $1$ eine Wendestelle von $f_k$ ist. Berechne diesen Wert von $k$ .

(4 BE)

Betrachtet werden die in $\mathbb{R}$ definierten Funktionen $f$ und $F$ , wobei $F$ eine Stammfunktion von $f$ ist. Die Abbildung zeigt den Graphen $G_F$ von $F$ .

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Bestimme den Wert des Integrals $\displaystyle\int_{1}^{7}f(x)\;\mathrm dx.$

(2 BE)

Bestimme den Funktionswert von $f$ an der Stelle $1$ .
Veranschauliche dein Vorgehen in der Abbildung.

(3 BE)

Gegeben sind die Gerade $g:\overrightarrow x = \pmatrix{7\\3\\3} + r \cdot \pmatrix{3\\0\\-1}$ mit $r \in \mathbb{R}$ und die Ebene $E: 3x -z=-2.$

Begründe, dass $g$ senkrecht zu $E$ steht.

(1 BE)

Die Gerade $h: \overrightarrow x= \pmatrix{7\\3\\3} + s \cdot \pmatrix{1\\2\\3}$ mit $s \in \mathbb{R}$ hat mit $E$ keinen gemeinsamen Punkt.
Es gibt Geraden, die in $E$ liegen und parallel zu $h$ verlaufen.
Bestimme eine Gleichung derjenigen dieser Geraden, die von $h$ den kleinsten Abstand hat.

(4 BE)

Gegeben sind die im Folgenden beschriebenen Zufallsgrößen $X$ und $Y$ :

Ein Würfel, dessen Seiten mit den Zahlen von 1 bis 6 durchnummeriert sind, wird zweimal geworfen. $X$ gibt die dabei erzielte Augensumme an.

Aus einem Behälter mit 60 schwarzen und 40 weißen Kugeln wird zwölfmal nacheinander jeweils eine Kugel zufällig entnommen und wieder zurückgelegt. $Y$ gibt die Anzahl der entnommenen schwarzen Kugeln an.

Begründe, dass die Wahrscheinlichkeit $P(X = 4)$ mit der Wahrscheinlichkeit $P(X = 10)$ übereinstimmt.

(2 BE)

Die Wahrscheinlichkeitsverteilungen von $X$ und $Y$ werden jeweils durch eines der folgenden Diagramme $\,\text I$ , $\,\text {II}$ und $\,\text {III}$ dargestellt.
Ordne $X$ und $Y$ jeweils dem passenden Diagramm zu und begründe deine Zuordnung.

Histogramm mit grauen Balken, das die Verteilung von Werten auf einer x-Achse von 0 bis 12 zeigt.

Histogramm mit Häufigkeitsverteilung, x-Achse zeigt Werte von 0 bis 12, y-Achse zeigt Häufigkeiten von 0 bis 0,2.

Histogramm mit einer Verteilung von Werten auf der x-Achse und Wahrscheinlichkeiten auf der y-Achse.

(3 BE)

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$f_2 (x)=x^4-2x^2$

Da der Funktionsterm $f_2(x)$ nur aus Potenzen mit geraden Exponenten besteht, ist der Graph von $f_2$ symmetrisch bezüglich der $y$ -Achse.

1. Schritt: Erste und zweite Ableitung von $f_k$ bilden

$\(\begin{array}[t]{rll} f_k$

2. Schritt: Notwendige Bedingung für Wendestellen anwenden

Es soll $\(f$ an der Stelle $x=1$ gelten, daraus folgt:

Rechenweg anzeigen

$k=3$

Da vorausgesetzt ist, dass bei x=1 eine Wendestelle existiert, muss die hinreichende Bedingung für Wendestellen nicht mehr geprüft werden.

An $G_F$ können die Funktionswerte an den Stellen $x=1$ und $x=7$ abgelesen werden:

$\begin{array}[t]{rll} \displaystyle\int_{1}^{7}f(x)\;\mathrm dx&=& F(7)-F(1)&\ \\[5pt] &=& 5-1&\ \\[5pt] &=& 4 \, [\text{FE}] \end{array}$

$\(f(1)=F$

Bestimmung von $\(F$ durch das Einzeichnen der Tangente am Punkt $(1\mid1)$ :

Durch das Ablesen der Tangentensteigung ergibt sich: $\(F$

Der Vektor $\overrightarrow{v}=\pmatrix{3\\0\\-1}$ ist sowohl Richtungsvektor der Geraden $g$ als auch ein Normalenvektor von der Ebene $E.$ Deshalb ist auch $g$ orthogonal zu $E.$

Da die gesuchte Gerade parallel zu $h$ verlaufen soll, muss der Richtungsvektor identisch sein und somit: $\overrightarrow{v}=\pmatrix{1\\2\\3}.$ Um diejenige Gerade mit dem geringstem Abstand zur Geraden $h$ zu finden, kann der gemeinsame Stützpunkt $(7\mid3\mid3)$ der Geraden $h$ und der Hilfsgeraden $g$ als Lotfußpunkt genutzt werden.

Koordinaten des Schnittpunkts der Hilfsgeraden $g$ mit der Ebene $E$ bestimmen:

$\begin{array}[t]{rll} 3\cdot(7+3r)-(3-r)&=& -2 & \\[5pt] 21+9r-3+r&=& -2 & \\[5pt] 18+10r&=& -2 &\quad \scriptsize \mid\;-18 \\[5pt] 10r&=& -20 &\quad \scriptsize \mid\; :10\\[5pt] r&=& -2 \end{array}$

Durch Einsetzen von $r=-2$ in $g$ ergibt sich:

$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{OX}&=& \pmatrix{7\\3\\3}-2\cdot\pmatrix{3\\0\\-1}& \\[5pt] &=&\pmatrix{1\\3\\5} \end{array}$

Eine Gleichung der gesuchten Geraden ist somit $k: \overrightarrow{x}=\pmatrix{1\\3\\5}+t\cdot\pmatrix{1\\2\\3}$ mit $t\in\mathbb{R}.$

$\begin{array}[t]{rll} P(X=4)&=& P({(1;3),(2;2),(3;1)})& \\[5pt] &=& 3\cdot\left(\dfrac{1}{6}\cdot\dfrac{1}{6}\right)& \\[5pt] &=&\dfrac{3}{36} \end{array}$

$\begin{array}[t]{rll} P(X=10)&=& P({(4;6),(5;5),(6;4)})& \\[5pt] &=& 3\cdot\left(\dfrac{1}{6}\cdot\dfrac{1}{6}\right)& \\[5pt] &=&\dfrac{3}{36} \end{array}$

Wahrscheinlichkeitsverteilung $Y:$ Diagramm III

Da in dem Behälter mehr schwarze als weiße Kugeln enthalten sind, muss die Verteilung asymmetrisch sein. Dies ist nur im Diagramm III der Fall.

Wahrscheinlichkeitsverteilung $X:$ Diagramm II

Betrachten eines Beispielwertes:

$\begin{array}[t]{rll} P(X=3)&=& P({(1;2),(2;1)}) & \\[5pt] &=& \dfrac{2}{36} \end{array}$

Da die Wahrscheinlichkeit $P(X=4)$ (in $a$ berechnet) nicht doppelt so groß wie $P(X=3)$ ist, kann das Diagramm I ausgeschlossen werden. Die Wahrscheinlichkeitsverteilung von $X$ wird dementsprechend im Diagramm II dargestellt.

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