Wahlpflichtaufgabe 1 - Analysis

Gegeben ist die differenzierbare Funktion $f$ mit $f(x)= \ln \left(\mathrm e^x+1\right),$ $x\in \mathbb{R}.$

Gib die Koordinaten des Schnittpunktes des Graphen der Funktion $f$ mit der $y$ -Achse sowie das Verhalten der Funktion $f$ für $x\to -\infty$ und $x\to +\infty$ an.

Weise nach, dass die Funktion $f$ im gesamten Definitionsbereich monoton wachsend und der Wertebereich die Menge aller positiven rellen Zahlen ist.

Gegeben ist die Integralfunktion $I$ von $f$ mit $I(x)= \displaystyle\int_{0}^{x}f(t)\;\mathrm dt,$ $x\in \mathbb{R},$ $x\gt 0.$

Zeige, dass der Graph der Funktion $I$ weder lokale Extrempunkte noch Wendepunkte besitzt.

Begründe, dass der Graph der Funktion $f$ und der Graph der zugehörigen Umkehrfunktion $f^{-1}$ keine gemeinsamen Punkte besitzen.

$\blacktriangleright$ Koordinaten des Schnittpunkts angeben

$\begin{array}[t]{rll} f(0)&=& \ln\left(\mathrm e^0 +1\right) \\[5pt] &=& \ln (2) \end{array}$

Der Graph von $f$ schneidet die $y$ -Achse im Punkt $S(0\mid \ln(2)).$

$\blacktriangleright$ Verhalten der Funktion angeben

Es handelt sich um eine verkettete Funktion. Für den inneren Term gilt

$\lim\limits_{x\to+\infty}\left(\mathrm e^x +1\right) = +\infty$

Für die äußere Funktion gilt:

$\lim\limits_{x\to+\infty}\ln (x) = +\infty$

Damit gilt insgesamt $\lim\limits_{x\to+\infty} f(x)= +\infty.$

Analog ergibt sich für $x \to -\infty :$

$\lim\limits_{x\to-\infty}\left(\mathrm e^x +1\right) = 1$

$\lim\limits_{x\to 1}\ln (x) = 0$

$\lim\limits_{x\to-\infty} f(x)= 0$

$\blacktriangleright$ Monotonie nachweisen

$\begin{array}[t]{rll} f(x_1)&\lt &f(x_2) \\[5pt] ... \\[5pt] x_1&\lt &x_2 \end{array}$

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Für alle $x_1,x_2 \in \mathbb{R}$ mit $x_1 \lt x_2$ gilt $f(x_1) \lt f(x_2).$ Die Funktion $f$ ist demnach im gesamten Definitionsbereich $\mathbb{R}$ monoton wachsend.

$\blacktriangleright$ Wertebereich nachweisen

Bei $f$ handelt es sich um eine verkettete Funktion $f(x)= u(v(x)).$ Der Definitionsbereich von $f$ ist die Menge der reellen Zahlen. Der Wertebereich der inneren Funktion $v(x)=\mathrm e^x+1$ ist $W_{v} = \{x\in \mathbb{R}^+ \mid x \gt 1\},$ da $\mathrm e^x$ alle positiven reellen Zahlen annehmen kann.
In die äußere Funktion werden also alle positiven reellen Zahlen größer $1$ eingesetzt. Die Logarithmusfunktion besitzt genau eine Nullstelle an der Stelle $x =1$ und ist für alle größeren $x$ positiv. Für $\{x\in \mathbb{R}\mid x \gt 1\}$ nimmt $\ln(x)$ daher alle positiven reellen Zahlen an, wodurch sich für $f$ der Wertebereich $\mathbb{R}^+$ ergibt.

$\blacktriangleright$ Eigenschaften des Graphen nachweisen

Da $I$ eine Integralfunktion von $f$ ist, ist sie für $x\gt 0$ auch eine Stammfunktion von $f.$ Für eine Extremstelle muss die notwendige Bedingung $I‘(x)=0$ erfüllt sein. Da $I‘(x)=f(x)$ ist, der Wertebereich von $f$ aber nur aus den positiven reellen Zahlen besteht also insbesondere nicht $0$ enthält, ist das notwendige Kriterium für Extremstellen von $I$ für kein $x$ erfüllt. Der Graph von $I$ kann also keine lokalen Extrempunkte besitzen.

Analoges gilt für die Wendestellen. Hier lautet das notwendige Kriterium $I‘‘(x)=0.$ Die zweite Ableitungsfunktion entspricht der ersten Ableitungsfunktion von $f:$

$\begin{array}[t]{rll} I‘‘(x)&=&f‘(x) \\[5pt] &=& \mathrm e^x\cdot \dfrac{1}{\mathrm e^x+1} \\[5pt] \end{array}$

Hier gilt ebenfalls für alle $x\in \mathbb{R}$ mit $x\gt 0:$ $I‘‘(x)= \mathrm e^x\cdot \dfrac{1}{\mathrm e^x+1} \gt 0.$
Das notwendige Kriterium für Wendestellen ist für kein $x$ aus dem Deifnitionsbereich von $I$ erfüllt. Damit kann der Graph keine Wendepunkte besitzen.

$\blacktriangleright$ Begründen, dass die beiden Graphen keine Schnittpunkte besitzen

$\begin{array}[t]{rll} y&=& f(x) \\[5pt] ... \\[5pt] \ln\left(\mathrm e^y-1\right)&=&x \end{array}$

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Die Umkehrfunktion von $f$ lautet $f^{-1}(x)=\ln\left(\mathrm e^x-1\right).$

$\begin{array}[t]{rll} f(x)&=&f^{-1}(x)\\[5pt] ...\\[5pt] 1&=&-1 \end{array}$

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Dies ist ein Widerspruch. Die Graphen von $f$ und $f^{-1}$ können also keine gemeinsamen Punkte besitzen.