Wahlpflichtaufgabe 1 - Analysis

Gegeben sind die Funktionen $f$ und $g$ mit

$f(x)= -\frac{1}{4}x^3 +2x,$ $x\in \mathbb{R}$
$g(x)=\frac{4}{x},$ $x\in \mathbb{R},$ $x\gt 0.$

Die Graphen beider Funktionen haben genau einen Punkt gemeinsam.
Berechne die Koordinaten dieses Punktes und zeige, dass die Graphen beider Funktionen einander berühren.

Die Abbildung zeigt den Graphen der Funktion $f$ im Intervall $[0;2].$

Abb. 1

Zeichne den Graphen der Funktion $g$ im Intervall $[1;4]$ in die Abbildung ein.

Eine Funktion $k$ ist gegeben durch:

$k(x)=\begin{cases} f(x) & \text{für } 0\leq x \leq 2\\ g(x)& \text{für } x\gt 2 \\ \end{cases}$

Es sei $S(x_S\mid y_S)$ ein beliebiger Punkt auf dem Graphen der Funktion $k.$ Die Punkte $S,$ $P(x_S\mid 0)$ und $O(0\mid 0)$ bilden jeweils ein Dreieck $OPS.$
Zeige, dass diese Dreiecke für $x_S\gt 2$ flächengleich sind.

Betrachtet wird die Funktion $I$ mit $I(x)= \displaystyle\int_{0}^{x}k(t)\;\mathrm dt,$ $x\in \mathbb{R},$ $x\geq 0.$
Berechne die Abszisse des Wendepunktes von $I.$
Gib das Monotonieverhalten der Funktion $I$ an und begründe.

Bildnachweise [nach oben]

[1]

$\blacktriangleright$ Gemeinsamen Punkt bestimmen

$z_{1;2}= 4$

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Eine Resubstitution liefert dann $x_1 = -\sqrt{z} = -\sqrt{4} = -2$ und $x_2= \sqrt{z} = \sqrt{4} = 2.$

Für den Graphen von $g$ gilt die Bedingung $x\gt 0.$ Der einzige gemeinsame Punkt der beiden Graphen liegt also an der Stelle $x=2.$

$g(2)= \frac{4}{2}= 2$

Die beiden Graphen besitzen den gemeinsamen Punkt $(2\mid 2).$

$\blacktriangleright$ Berührung zeigen

Damit sich die beiden Graphen berühren aber nicht schneiden, muss zusätzlich zum Funktionswert auch der Steigungswert übereinstimmen. Die Steigung eines Graphen wird durch die erste Ableitungsfunktion beschrieben:

$\begin{array}[t]{rll} f‘(x)&=& -\frac{3}{4}x^2 +2 \\[10pt] f‘(2)&=& -\frac{3}{4} \cdot 2^2+2 \\[5pt] &=& -1 \\[10pt] g(x)&=& \frac{4}{x} \\[5pt] &=& 4x^{-1} \\[10pt] g‘(x)&=& -4x^{-2} \\[5pt] &=& -\frac{4}{x^{2}} \\[10pt] g‘(2)&=& -\frac{4}{2^{2}}\\[5pt] &=& -1 \end{array}$

In dem gemeinsamen Punkt $(2\mid 2)$ besitzen beide Graphen also die Steigung $-1.$ Die Graphen berühren sich also.

$\blacktriangleright$ Graphen einzeichnen

Abb. 1: Graph von $g$

$\blacktriangleright$ Flächengleichheit zeigen

Für $x_S \gt 2$ liegen die Punkte $S$ auf dem Graphen der Funktion $g,$ es ist dann also $y_S= \frac{4}{x_S}.$
Das Dreieck $OPS$ besitzt beim Punkt $P$ einen rechten Winkel. Die beiden anliegenden Seiten sind $\overline{OP} = x_S$ und $\overline{PS} = y_S$ lang.
Einsetzen in die Formel für den Flächeninhalt eines Dreiecks liefert:

$A_S = 2$

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Der Flächeninhalt $A_S$ der Dreiecke $OPS$ ist für $x_S\gt 2$ also unabhängig von $x_S$ und $y_S$ und damit für alle Dreiecke gleich. Somit sind alle Dreiecke $OPS$ für $x_S\gt 2$ flächengleich.

$\blacktriangleright$ Abszisse des Wendepunktes berechnen

$I$ ist eine Stammfunktion von $k.$ Es ist also $I‘(x)=k(x)$ und $I‘‘(x)=k‘(x).$ Verwende das notwendige und das hinreichende Kriterium für einen Wendepunkt von $I.$

1. Schritt: Notwendiges Kriterium anwenden

Da $k$ abschnittsweise durch $f$ und $g$ definiert ist, gilt dies auch für $k‘:$

$I‘‘(x)=...$

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Mit:

$\begin{array}[t]{rll} f‘(x)&=& -\frac{3}{4}x^2 +2 \\[5pt] g‘(x)&=& -\frac{4}{x^{2}} \end{array}$

$g‘$ besitzt keine Nullstelle, weshalb das notwendige Kriterium für einen Wendepunkt von $I$ für kein $x\gt 2$ erfüllt sein kann. Überprüfe nun $f‘$ auf Nullstellen:

$\begin{array}[t]{rll} x_1&=& \sqrt{\frac{8}{3}} \\[5pt] x_2&=& -\sqrt{\frac{8}{3}} \end{array}$

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$x\geq 0$ ist vorgegeben, also ist $x_1 = \sqrt{\frac{8}{3}}$ die einzige mögliche Wendestelle von $I.$

2. Schritt: Hinreichendes Kriterium überprüfen

$f‘‘\left(\sqrt{\frac{8}{3}}\right) \neq 0$

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Die Abszisse des Wendepunktes von $I$ ist $\sqrt{\frac{8}{3}}.$

$\blacktriangleright$ Monotonieverhalten angeben

Die Steigung des Graphen von $I$ wird für $0\leq x\leq 2$ durch $f(x)$ und für $x\gt 2$ durch $g(x)$ beschrieben. Ist die Steigung in einem Bereich negativ, ist $I$ streng monoton fallend. Ist die Steigung in einem Bereich positiv, so ist $I$ in diesem Bereich streng monoton steigend.

Es ist $f(x)\geq 0$ für alle $0\leq x\leq 2$ und $g(x) \gt 0$ für alle $x \gt 2.$

Insgesamt ist also die Steigung des Graphen von $I$ an jeder Stelle $x \gt 0$ größer oder gleich null.
$I$ ist also für $x\geq 0$ monoton steigend.

Bildnachweise [nach oben]

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