Pflichtaufgabe 2 - Analytische Geometrie

2.1

Gegeben sind der Punkt $L\left(-\frac{25}{4}\mid-8\mid 6 \right)$ und die Gerade $g: \overrightarrow{x}=\pmatrix{0\\-12\\9}+a\cdot\pmatrix{1\\0\\0}$ , $a\in\mathbb{R}.$

Begründe, dass $g$ parallel zur $x$ -Achse und dabei nicht durch $L$ verläuft.

(2 BE)

$L$ und $g$ liegen in der Ebene $E.$
Ermittle eine Gleichung von $E$ in Koordinatenform.

(zur Kontrolle: $3y+4z=0$ )

(4 BE)

In der Abbildung ist neben $L$ und $g$ das Viereck $OPQR$ dargestellt, dessen Eckpunkte $O(0\mid 0\mid 0)$ , $P\left(-\frac{25}{2}\mid 0\mid 0\right)$ , $Q\left(-\frac{25}{2}\mid -12\mid 9\right)$ und $R\left(0\mid-12\mid 9\right)$ in $E$ liegen. $Q$ und $R$ liegen außerdem auf $g$ .

Grafik eines dreidimensionalen Koordinatensystems mit einem geneigten Quadrat.

Begründe, dass $OPQR$ ein Rechteck ist.

(2 BE)

Beschreibe ein Verfahren, mit dem man die Koordinaten des Punkts $S$ ermitteln könnte, für den das Viereck $OPSR$ ein ebenes Drachenviereck ist.

(3 BE)

Das Viereck $OPQR$ stellt modellhaft den geneigten Teil einer Minigolfbahn dar, der Punkt $L$ das Loch dieser Bahn. Im verwendeten Koordinatensystem beschreibt die $xy$ -Ebene den horizontalen Untergrund; eine Längeneinheit entspricht $10\,\text{cm}$ in der Realität.

Berechne den Flächeninhalt des geneigten Teils der Bahn.

(2 BE)

Berechne die Größe des Winkels, den der geneigte Teil der Bahn mit dem Untergrund einschließt.

Im Folgenden wird der in der Abbildung gestrichelt dargestellte Teil des Weges eines Minigolfballs betrachtet. Der Ball soll im Folgenden als punktförmig angenommen werden. Seine Positionen auf dem dargestellten Teil des Wegs können durch Punkte $B_k\left(-5-3k\mid -8k+\frac{8}{3}k^2\mid 6k-2k^2\right)$ mit geeigneten Werten von $k\in\mathbb{R}$ beschrieben werden.

Weise nach, dass der Ball auf dem betrachteten Teil seines Wegs durchgehend Kontakt zur Minigolfbahn hat.

(2 BE)

Berechne im Modell die Koordinaten des Punkts, in dem der Ball auf die seitliche Begrenzung der Minigolfbahn trifft.

(4 BE)

Ermittle die maximale Höhe über dem Untergrund, die der Ball erreicht.

(3 BE)

2.1

Ein Richtungsvektor der x-Achse ist $\pmatrix{1\\0\\0}$ . Der Richtungsvektor der Geraden ist ebenfalls $\pmatrix{1\\0\\0}$ . Diese beiden Vektoren sind identisch, weshalb die Gerade parallel zur $x$ -Achse verläuft.

Die Geradendarstellung kannst du vereinfachen, nämlich zu $\pmatrix{a \\ -12 \\ 9 }$ .
Alle Punkte auf der Geraden $g$ haben also die $y$ -Koordinate $-12,$ was auf $L$ nicht zutrifft.
Die Gerade $g$ verläuft also nicht durch $L.$

Um eine Ebenengleichung in Koordinatenform aufzustellen, brauchst du einen Normalenvektor, den du aus dem Kreuzprodukt zweier Spannvektoren berechnest.

Einen Spannvektor hast du bereits mit $\pmatrix{1\\0\\0}$ .

Der Ortsvektor des Aufpunktes der Geraden $g$ ist $\pmatrix{0\\-12\\9}.$
Zusammen mit dem Punkt $L$ ergibt sich ein zweiter Spannvektor zu:

$\pmatrix{-\frac{25}{4} \\-8\\6} - \pmatrix{0\\-12\\9}= \pmatrix{-6,25\\4\\-3}$ .

Für einen Normalenvektor folgt:

$\overrightarrow{n}= \pmatrix{0\\3\\4}$

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Du kannst die Ebenengleichung in Koordinatenform aufstellen mit $E: \, -3y-4z=c$ .

Setze die Koordinaten des Aufpunkts der Geraden ein, um $c$ zu berechnen.

$\begin{array}[t]{rll} c&=&3 \cdot (-12) +4\cdot 9 \\[5pt] c&=&a -36+36 \\[5pt] c&=&0 \end{array}$

Mit $c=0$ kommst du auf $E: \, 3y+4z=0.$

$\overrightarrow{OP} = \pmatrix{-\frac{25}{2} \\ 0 \\ 0}$

$\overrightarrow{RQ} = \pmatrix{-\frac{25}{2} \\ 0 \\ 0}$

Da $\overrightarrow{OP} = \overrightarrow{RQ}$ ist, sind die jeweils gegenüberliegenden Seiten parallel und gleich lang. Zudem gilt:

$\overrightarrow{OP} \circ \overrightarrow{OR} = \pmatrix{-\frac{25}{2} \\ 0 \\ 0} \circ \pmatrix{0\\-12\\9} = 0$

Da die gegenüberliegenden Seiten des Vierecks gleich lang und parallel sind und sich im Punkt $O$ ein rechter Winkel befindet, handelt es sich bei $OPQR$ um ein Rechteck.

Da $\overrightarrow{OP}$ und $\overrightarrow{OR}$ nicht gleich lang sind, verläuft die Symmetrieachse des Drachenvierecks zwischen $R$ und $P.$
Die zweite Diagonale verläuft von $O$ nach $S$ senkrecht zur Symmetrieachse und wird von dieser in der Mitte geteilt.

Um den fehlenden Punkt $S$ zu bestimmen, stelle also eine Gerade $h$ mit den Punkten $R$ und $P$ auf. Stelle dann eine Lotgerade vom Punkt $O$ zu $h$ auf und bestimme den Schnittpunkt $M$ dieser beiden Geraden.

Den Punkt $S$ berechnest du dann mit $\overrightarrow{OS} = O +2 \cdot \overrightarrow{OM}$ .

Bestimme die Längen der Strecken mit dem Betrag der Vektoren.

$l_1= 12,5 \, \, l_2= 15$

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Da 1 LE $10\,\text{cm}$ in der Realität entspricht, berechnet sich der Flächeninhalt zu:

$1,875 \; \text{m}^2$

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Ein Normalenvektor der xy-Ebene ist $\overrightarrow{n_{xy}}=\pmatrix {0\\0\\1}$ . Ein Normalenvektor des geneigten Teils der Bahn lässt sich aus der Ebenengleichung ablesen und ist demnach $\overrightarrow{n}= \pmatrix{0\\3\\4}$ .

Die Größe des Winkels zwischen zwei Ebenen lässt sich wie folgt berechnen:

$\cos (\alpha)=\dfrac{\pmatrix{0\\3\\4} \circ \pmatrix {0\\0\\1}}{\left| \pmatrix{0\\3\\4} \right| \cdot \left| \pmatrix {0\\0\\1}\right|}$ $= \dfrac{4}{\sqrt{3^2+4^2} \cdot \sqrt{1^2}}=\dfrac{4}{5}$

$\alpha =\cos^{-1}\left(\dfrac{4}{5}\right) \approx 36,87°$

Liegt $B_k$ in der Ebene $E,$ so hat der Ball die ganze Zeit Kontakt zur Minigolfbahn.
Setze dazu $B_k$ in die Ebenengleichung ein:

$\begin{array}[t]{rll} 3 \cdot (-8k + \frac{8}{3}k^2) +4 \cdot (6k-2k^2)&=&0 &\quad \scriptsize \; \\[5pt] -24k+8k^2+24k-8k^2&=&0 &\quad \scriptsize \; \\[5pt] 0&=&0 \end{array}$

Folglich liegt $B_k$ in der Ebene $E,$ in der die Minigolfbahn liegt und der Ball hat Bodenkontakt.

Zu berechnen sind die Koordinaten des Punktes, in dem $B_k$ auf die Begrenzung $\overline{PQ}$ trifft. $\overline{PQ}$ liegt auf der Geraden $g_{\overrightarrow{PQ}}.$

Setze $\overrightarrow{ B_k}$ und $g_{\overrightarrow{PQ}}$ gleich.

$\pmatrix{-5-3k\\-8k+\frac{8}{3}k^2\\6k-2k^2}=\pmatrix{-\frac{25}{2}\\0\\0}+r\pmatrix{0\\-12\\9}$

Es ergeben sich die folgenden drei Gleichungen:

$\begin{array}{lrll} \text{I}\quad& -5-3k&=& -\dfrac{25}{2} &\quad \scriptsize\mid+5\\ \text{II}\quad& -8k+\dfrac{8}{3}k^2&=& -12r &\quad \\ \text{III}\quad& 6k-2k^2 &=& 9r &\quad \\ \end{array}$

Aus der ersten Gleichung ergibt sich:

$\begin{array}{lrll} \text{I}\quad& -3k&=& -7,5 &\quad \scriptsize\mid:(-3)\\ \quad& k&=& 2,5 &\quad \scriptsize\\ \end{array}$

Dies kannst du in die dritte Gleichung einsetzen und erhältst:

$\begin{array}{lrll} \text{III}\quad& 6\cdot(2,5)-2\cdot(2,5)^2&=& 9r &\quad \scriptsize\mid:9\\ \quad& \dfrac{5}{18}&=& r \end{array}$

Setze nun $k=2,5$ und $r=\dfrac{5}{18}$ in die zweite Gleichung ein und überprüfe das Ergebnis.

$\begin{array}{lrll} \text{II}\quad& -8 \cdot 2,5+\dfrac{8}{3} \cdot 2,5^2&=& -12 \cdot \dfrac{5}{18} &\quad \scriptsize\\ \quad& -\dfrac{10}{3}&=&-\dfrac{10}{3} \end{array}$

Somit schneiden sich $B_k$ und die Gerade $g_{\overrightarrow{PQ}}$ für $k=2,5$ und $r=\dfrac{5}{18}$ .
Setze nun $k=2,5$ in $B_k$ ein.

$B_{2,5}(-5-3\cdot(2,5)\mid-8\cdot(2,5)+\frac{8}{3}\cdot(2,5)^2\mid6\cdot(2,5)-2\cdot(2,5)^2)$ $= \left(-\frac{25}{2}\mid-3\frac{1}{3}\mid2\frac{1}{2}\right)$

Der Ball trifft im Punkt $B_{2,5} \left(-\frac{25}{2}\mid-3\frac{1}{3}\mid2\frac{1}{2}\right)$ auf den Rand der Bahn.

Die maximale Höhe entspricht dem Maximum der z-Koordinate.
Betrachte die z-Koordinate $z(k)=6k-2k^2$ als Funktion in Abhängigkeit von $k.$ Du musst also $z$ ableiten und das notwendige Kriterium für Extremstellen anwenden.

$z(k)=6k-2k^2$

$\(z$

$\(\begin{array}[t]{rll} z$

Setze nun $k$ in $z$ ein, um die Höhe zu berechnen:

$\begin{array}[t]{rll} z(1,5)&=& 6\cdot(1,5)-2\cdot(1,5)^2 \\[5pt] z(1,5)&=&4,5 \end{array}$

Die maximale Höhe über dem Untergrund beträgt $45\,\text{cm}$ .