Wahlpflichtaufgabe 2 - Analytische Geometrie

In einem kartesischen Koordinatensystem sind eine Gerade $t:\; -7x +4y -51 =0$ sowie die Punkte $M(2\mid 0)$ und $S(2,5\mid 1,5)$ gegeben.
Die Gerade $t$ ist Tangente an den Kreis $k$ mit dem Mittelpunkt $M$ und dem Radius $r$ .

Berechne das Gradmaß des Winkels, unter dem die Tangente $t$ die $x$ -Achse schneidet.

Zeige, dass der Kreis $k$ den Radius $r= \sqrt{65}$ besitzt.
Berechne die Koordinaten des Berührpunktes $B$ der Tangente $t$ an den Kreis $k.$

Der Punkt $S$ ist der Mittelpunkt einer Sehne $s$ des Kreises $k.$
Ermittle eine Gleichung der Sehne $s.$

Begründe, dass der Kreis $k_1$ mit der Gleichung $(x-2,5)^2+(y-1,5)^2=62,5$ und der Kreis $k$ einander an genau zwei Punkten schneiden.

$\blacktriangleright$ Gradmaß berechnen

$t: \, y = \frac{7}{4}x+\frac{51}{4}$

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Die Steigung der Tangente $t$ beträgt $m = \frac{7}{4}.$

$\alpha \approx 60,26^{\circ}$

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Das Gradmaß des Winkels, unter dem die Tangente $t$ die $x$ -Achse schneidet beträgt ca. $60,26^{\circ}.$

$\blacktriangleright$ Radius zeigen und Koordinaten des Berührpunktes angeben

Der Radius $r$ ist der Abstand des Kreismittelpunkts $M$ zur Gerade $t$ , also der Abstand von $M$ zum Schnittpunkt von $t$ mit der Geraden $n,$ die senkrecht zu $t$ und durch den Punkt $M$ verläuft.
Die Gleichung von $t$ lässt sich umformen zu $t: \; y = \frac{7}{4}x+\frac{51}{4}.$
Die Steigung von $t$ beträgt $m_t= \frac{7}{4}.$ Eine Gerade $n: \, y= m_n x+ b$ , die senkrecht zu $t$ verläuft, besitzt daher die Steigung $m_n = -\frac{1}{m_t}=-\frac{4}{7}.$

$\frac{8}{7}= b$

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Die Gerade, die senkrecht zu $t$ und durch den Mittelpunkt $M$ verläuft hat die Gleichung $n: \, y =-\frac{4}{7}x +\frac{8}{7}.$

$x = -5$

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Die beiden Geraden schneiden sich an der Stelle $x =-5.$

$y =-\frac{4}{7}\cdot (-5) +\frac{8}{7} = 4.$

Der Schnittpunkt der beiden Geraden $t$ und $n$ hat die Koordinaten $N\left(-5\mid 4\right).$

$d(M,N)=\sqrt{65}$

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Der kürzeste Abstand des Punkts $M$ zur Kreistangente $t$ beträgt $\sqrt{65},$ weshalb der Radius des Kreises ebenfalls $\sqrt{65}$ beträgt. Der Schnittpunkt der beiden Geraden ist gleichzeitig der Berührpunkt der Tangente mit dem Kreis $k,$ da dieser auf $t$ liegt und von $M$ den Abstand $r = \sqrt{65}$ besitzt und damit auch auf $k$ liegt. Der Berührpunkt hat also die Koordinaten $B\left(-5\mid 4\right).$

$\blacktriangleright$ Gleichung der Sehne ermitteln

Da $S$ der Mittelpunkt der Sehne ist, muss die Sehne senkrecht zur Strecke $\overline{MS}$ verlaufen. Die Strecke $\overline{MS}$ ist Teil einer Geraden mit folgender Steigung $m:$

$\begin{array}[t]{rll} m&=& \dfrac{y_S-y_M}{x_S-x_M} \\[5pt] &=& \dfrac{1,5-0}{2,5-2} \\[5pt] &=& \dfrac{1,5}{0,5} \\[5pt] &=& 3 \\[5pt] \end{array}$

Die Sehne liegt daher auf der Geraden $g: \, y = m_gx+b$ durch den Punkt $S$ mit der Steigung $m_g = -\frac{1}{m}= -\frac{1}{3}.$

$\frac{7}{3}= b$

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Die Sehne liegt auf der Geraden mit der Gleichung $g: \; y= -\frac{1}{3}x +\frac{7}{3}$ und wird von der Kreislinie begrenzt.

Der Kreis kann mit der Gleichung $(x-2)^2+y^2 = 65$ beschrieben werden.

$x^2-5x-50 = 0$

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Mit der $pq$ -Formel folgt:

$\begin{array}[t]{rll} x_1&=&10\\[10pt] x_2&=&-5 \end{array}$

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Die Gerade $g,$ auf der die Sehne $s$ liegt, schneidet die Kreislinie an den Stellen $x_1= -5$ und $x_2 = 10.$ Die Sehne $s$ kann daher von der Gleichung $y = -\frac{1}{3}x + \frac{7}{3}$ mit $x \in [-5; 10]$ beschrieben werden.

$\blacktriangleright$ Schnittpunkte begründen

$d(M,S)= \qrt{2,5}$

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Der Kreis $k_1$ mit dem Mittelpunkt $S$ hat den Radius $r_{k_1}=\sqrt{62,5},$ der Kreis $k$ mit dem Mittelpunkt $M$ besitzt den Radius $r_k = \sqrt{65}.$ Es gilt:

$\begin{array}[t]{rll} &\left| r_k -r_{k_1}\right| \\[5pt] \lt & d(M,S) \\[5pt] \lt & r_{k}+ r_{k_1} \end{array}$

Daher müssen sich die beiden Kreis in genau zwei Punkten schneiden.