Pflichtaufgaben
1
Gegeben ist die Funktion 
mit 
a)
Berechne den Funktionswert der ersten Ableitungsfunktion von an der Stelle 2.
(2 BE)
b)
Ermittle einen Term derjenigen Stammfunktion von 
deren Graph den Punkt 
enthält.
(3 BE)
2
Die Abbildung zeigt den Graphen 
der in 
definierten Funktion mit 
a)
Beurteile mit Hilfe der Abbildung, ob der Wert des Integrals 
negativ ist.
(2 BE)
b)
Weise rechnerisch nach, dass die folgende Aussage zutrifft:
Die Tangente an im Koordinatenursprung ist die Gerade durch die Punkte 
und 
(3 BE)
3
Gegeben ist die Schar der Ebenen 
mit 
.
a)
Ermittle denjenigen Wert von 
für den 
parallel zur Gerade mit der Gleichung 
mit 
verläuft.
(2 BE)
b)
Prüfe, ob die Ebene mit der Gleichung 
zur Schar gehört.
(3 BE)
4
Ein Glücksrad ist in 20 gleich große Sektoren unterteilt, die entweder blau oder gelb eingefärbt sind. Das Glücksrad wird 100-mal gedreht.
Die binomialverteilte Zufallsgröße 
beschreibt, wie oft dabei die Farbe „Blau“, die binomialverteilte Zufallsgröße 
wie oft dabei die Farbe „Gelb“ erzielt wird.
a)
Begründe, dass und 
die gleiche Standardabweichung haben.
(2 BE)
b)
Der Erwartungswert von ist ganzzahlig. Die Abbildung zeigt Werte der Wahrscheinlichkeitsverteilung von 
Bestimme die Anzahl der blauen Sektoren des Glücksrads.
(3 BE)
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1
a)
Es gilt:
![\(\begin{array}[t]{rll}
f(x)&=& \dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{1}{x}& \\[5pt]
&=& \dfrac{1}{2}\cdot x^{-1}
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/b54a5f757acd161fdb7d80c9113e18aca8a5e57e3c96835f8223a6f51fcc22ff?color=5a5a5a)
Die erste Ableitung ergibt sich also zu:
![\(\begin{array}[t]{rll}
f](https://mathjax.schullv.de/badc09eda687116bd58e2646121cf6ef92ad8d8e06bb1f9509c4b8beeb4b8d1a?color=5a5a5a)
Einsetzen von 
liefert:
![\(\begin{array}[t]{rll}
f](https://mathjax.schullv.de/a153acd58366fc9d57a1fe3509722666f4c2c2d083c4a8c3ea9ae68b9e6f341e?color=5a5a5a)
b)
Die Stammfunktionen von ergeben sich zu:
Es soll gelten:
![\(\begin{array}[t]{rll}
F(\mathrm e^2)&=& 4& \\[5pt]
\dfrac{1}{2}\cdot \ln(\mathrm e^2)+c&=& 4 &\\[5pt]
\dfrac{1}{2}\cdot 2+c&=& 4&\quad \scriptsize \mid\; -1 \\[5pt]
c&=& 3
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/bb10902561dfe79cc06570d9fc38e87cb6ea156e1977882f944f0544c99f82b8?color=5a5a5a)
Die Stammfunktion, deren Graph den Punkt 
enthält, ist somit gegeben durch 
2
a)
Der Graph 
die 
-Achse sowie die Geraden mit den Gleichungen 
und 
schließen eine Fläche ein, deren Teil unterhalb der -Achse einen kleineren Inhalt besitzt als deren Teil oberhalb.
Deshalb ist der Wert des Integrals nicht negativ.
b)
Ableitungsfunktion bilden:
![\(\begin{array}[t]{rll}
f](https://mathjax.schullv.de/6558829f2731f95fd9a159082201ac9f01e828fb8c4453ed3df238f2d62db5b0?color=5a5a5a)
Für die Tangente an im Koordinatenursprung gilt:
![\(\begin{array}[t]{rll}
m&=& f](https://mathjax.schullv.de/aa85a11e465168ec2ec5af2da2db7b3af8fdcb6a6d1e5555b8903c6cda0f53a6?color=5a5a5a)
Einsetzen der Koordinaten des Koordinatenursprungs sowie der Steigung 
in die allgemeine Tangentengleichung liefert:
![\(\begin{array}[t]{rll}
y&=& m\cdot x+c &\\[5pt]
0&=& 1\cdot 0+c& \\[5pt]
0&=& c
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/e3590d26cbf47dbea0748409ee0528bca8983aea00f820fb09024c3f86159289?color=5a5a5a)
Eine Gleichung der Tangente ergibt sich also zu:
Die Gerade mit der Gleichung 
verläuft also durch alle Punkte, deren -Koordinate mit ihrer 
-Koordinate übereinstimmt, und somit auch durch die Punkte 
und
Somit trifft die Aussage zu.
3
a)
b)
Damit die Ebene zur Ebenenschar gehört, muss gelten:
Die zweite Zeile liefert 
Mit der ersten Zeile folgt für den Wert von 
Für die dritte Zeile folgt:
![\(\begin{array}[t]{rll}
3-2&=& 0,5\cdot 1 \\[5pt]
1&=& 0,5
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/bde49779b9970c5c0f322f23645da82e2d11023822de05fd252e2a814be7e9b1?color=5a5a5a)
Dies ist ein Widerspruch. Die Ebene gehört also nicht zur Ebenenschar 
4
a)
Für die Standardabweichung gilt:
Der Parameter 
ist bei beiden Verteilung gleich und entspricht den 100 Drehungen.
Da außerdem jeweils die Wahrscheinlichkeit 
und die Gegenwahrscheinlichkeit 
multipliziert werden, wird bei beiden Standardabweichungen die Wahrscheinlichkeit für „Blau“ und für „Gelb“ multipliziert.
Damit haben und folglich die gleiche Standardabweichung.
b)
Aus der Wahrscheinlichkeitsverteilung von kann der Erwartungswert 
abgelesen werden.
Es gilt:
![\(\begin{array}[t]{rll}
\mu&=& n\cdot p& \\[5pt]
75&=& 100\cdot \dfrac{x}{20}&\quad \scriptsize \mid\; :100 \\[5pt]
0,75&=& \dfrac{x}{20}&\quad \scriptsize \mid\; \cdot 20 \\[5pt]
15&=& x
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/f173228a1a0df5565b9c5226b3de2b15f02a5c901b8273c1b947d0a9a950934a?color=5a5a5a)
Das Glücksrad besitzt somit 15 blaue Sektoren.