Pflichtaufgabe 3 - Stochastik

3.1

Ein Unternehmen stellt in großer Stückzahl technische Geräte her. Ein Viertel der hergestellten Geräte ist fehlerhaft. Die Anzahl fehlerhafter Geräte in einer Stichprobe soll modellhaft als binomialverteilt angenommen werden.

$20$ Geräte werden zufällig ausgewählt. Bestimme für folgende Ereignisse jeweils die Wahrscheinlichkeit:

A: „Genau fünf Geräte sind fehlerhaft.“
B: „Mehr als fünf Geräte sind fehlerhaft.“
C: „Mindestens drei, aber weniger als acht Geräte sind fehlerhaft.“

(5 BE)

Beschreibe im Sachzusammenhang ein Zufallsexperiment, bei dem die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses mit dem Term $1-(0,25^8+0,75^8)$ berechnet werden kann. Gib dieses Ereignis an.

(3 BE)

Von den fehlerhaften Geräten werden $80\,\%$ so nachbearbeitet, dass sie ebenfalls fehlerfrei sind. Alle fehlerfreien Geräte werden ausgeliefert. Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein zufällig ausgewähltes ausgeliefertes Gerät nachbearbeitet wurde.

(4 BE)

Kurz nach einer Änderung im Herstellungsverfahren stellt das Unternehmen den Anteil fehlerhafter Geräte von $25\,\%$ infrage. Um bei einer Vertrauenswahrscheinlichkeit von $95\,\%$ einen Schätzwert für den Anteil fehlerhafter Geräte zu ermitteln, wird eine Stichprobe von $100$ Geräten betrachtet.
Abbildung 1 zeigt die Graphen der folgenden für $p\in [0;1]$ definierten Funktionen:

$f(p)=p-1,96\cdot\sqrt{\dfrac{p\cdot(1-p)}{100}}$

$g(p)=p+1,96\cdot\sqrt{\dfrac{p\cdot(1-p)}{100}}$

Abbildung 1

Bestimme grafisch alle möglichen Anzahlen fehlerhafter Geräte in der Stichprobe, für die bei einer Sicherheitswahrscheinlichkeit von $95\,\%$ jeweils Anlass dazu bestehen würde, die Korrektheit des gegebenen Anteils fehlerhafter Geräte infrage zu stellen.

(3 BE)

Die betrachtete Stichprobe enthält $19$ fehlerhafte Geräte. Bestimme grafisch das zu dieser Anzahl gehörende Vertrauensintervall zur Sicherheitswahrscheinlichkeit $95\,\%.$

(3 BE)

3.2

Eine binomialverteilte Zufallsgröße $Y$ gibt für eine Trefferwahrscheinlichkeit $p$ mit $0\leq p\leq 1$ die Anzahl der Treffer bei $20$ Versuchen an.

Abbildung 2 zeigt die symmetrische Wahrscheinlichkeitsverteilung einer Zufallsgröße mit der Wertemenge $\{0;1;2;...;20\}.$

Abbildung 2

Begründe, dass es sich nicht um die Wahrscheinlichkeitsverteilung von $Y$ handeln kann.

(3 BE)

Bestimme diejenigen Werte von $p,$ die für die Wahrscheinlichkeit dafür, dass $Y$ den Wert $10$ annimmt, $4,7\,\%$ ist.

(4 BE)

3.1

Betrachtet wird die Zufallsgröße $X,$ die die zufällige Anzahl der fehlerhaften Geräte unter $20$ zufällig ausgewählten Geräten beschreibt. Diese wird laut Aufgabenstellung als binomialverteilt angenommen mit $n=20$ und $p= 0,25$ angenommen.

$\begin{array}[t]{rll} P(A) &\approx& 0,2023 \\[5pt] &=& 20,23\,\% \\[10pt] P(B)&\approx& 0,3828 \\[5pt] &=& 38,28\,\% \\[10pt] P(C) &\approx& 0,8069 \\[5pt] &=& 80,69\,\% \\[10pt] \end{array}$

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$\,$

$8$ Geräte werden zufällig ausgewählt.

Ein mögliches Ereignis lautet:

Unter $8$ Geräten ist mindestens $1$ Gerät fehlerhaft, aber nicht alle $8$ Geräte.

$\,$

Der Anteil der ausgelieferten Gerät unter allen hergestellten Geräten ergibt sich mit den Pfadregeln zu:

$P(\text{Ausgeliefert}) = 0,75 + 0,25\cdot 0,8 = 0,95$

Der Anteil der Geräte, die durch eine Nachbearbeitung fehlerfrei ausgeliefert werden können beträgt:

$P(\text{Nachbearbeitung}) = 0,25\cdot 0,8 = 0,2$

Insgesamt folgt dann:

$\dfrac{0,2}{0,95} \approx 0,2105$

Mit einer Wahrscheinlichkeit von ca. $21,05\,\%$ ist ein zufällig ausgewähltes ausgeliefertes Gerät nachbearbeitet worden.

$\,$

Für $y=0,25$ lässt sich aus der Abbildung ablesen:

$f(0,35) \approx 0,25$ und $g(0,17) \approx 0,25$

Liegt also der Anteil fehlerhafter Geräte in der Stichprobe unter $0,17$ oder über $0,35,$ so bestünde unter einer Sicherheitswahrscheinlichkeit von $95\,\%$ Anlass dazu den Anteil fehlerhafter Geräte infrage zu stellen.
Für die Anzahl der fehlerhaften Geräte in der Stichprobe von $100$ Geräten bedeutet das:

$x_1 = 100\cdot 0,17 = 17$ und $x_2 = 100\cdot 0,35 = 35$

Befinden sich unter den $100$ überprüften Geräten weniger als $17$ oder mehr als $35,$ so bestünde unter einer Sicherheitswahrscheinlichkeit von $95\,\%$ Anlass dazu den Anteil fehlerhafter Geräte infrage zu stellen.

$\,$

Für $p = \frac{19}{100} = 0,19$ ergibt sich aus der Abbildung:

$f(0,19) \approx 0,11$ und $g(0,19) \approx 0,27$

Zu der Stichprobe mit $19$ fehlerhaften von insgesamt $100$ Geräten gehört mit einer Vertrauenswahrscheinlichkeit von $95\,\%$ das Vertrauensintervall $[0,11;0,27].$

3.2

In der Abbildung ist der Wert mit der größten Wahrscheinlichkeit $k=10.$ Dies müsste also der Erwartungswert der binomialverteilten Zufallsgröße sein. Mit der entsprechenden Formel für den Erwartungswert $\mu$ einer binomialverteilte Zufallsgröße und mit $n =20$ folgt:

$p=0,5$

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Für eine binomialverteilte Zufallsgröße mit $n=20$ und $p=0,5$ gilt wiederum:

$P(X=10) \approx 0,1762$

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In der Abbildung ist allerdings $P(X=10) \lt 0,16.$
Die dargestellte Wahrscheinlichkeitsverteilung kann also nicht zu einer binomialverteilten Zufallsgröße gehören, also insbesondere nicht zu der von $Y.$

$\,$

$\begin{array}[t]{rll} p_1 &\approx& 0,3241 \\[5pt] p_2 &\approx& 0,6759 \\[5pt] \end{array}$

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Für $p\approx 0,3241$ und $p\approx 0,6759$ beträgt die Wahrscheinlichkeit dafür, dass $Y$ den Wert $10$ annimmt, ca. $4,7\,\%.$