Aufgabe 3: Stochastik

Ein Unternehmen stellt Olivenöl her und füllt es in Flaschen ab. Laut Aufdruck beträgt die Füllmenge jeder Flasche $600 \,\text{ml}.$

3.1

Die Flaschen werden in Kartons verpackt; jeder Karton enthält zwölf Flaschen. Ein Karton gilt als fehlerhaft, wenn mehr als eine Flasche weniger als $600\,\text{ml}$ Öl enthält. Für jede Flasche beträgt die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sie weniger als $600 \,\text{ml}$ Öl enthält, $1,5\,\%.$

Die Rechnung $0,985^{12} \approx 83,4 \,\%$ stellt im Sachzusammenhang die Lösung einer Aufgabe dar.

Formuliere eine passende Aufgabenstellung und erläutere den Ansatz der Rechnung.

(3 BE)

An einen Supermarkt wird regelmäßig die gleiche Anzahl von Flaschen geliefert. Dabei enthalten im Mittel mehr als 780 Flaschen mindestens $600 \,\text{ml}$ Öl.

Ermittle, wie viele Flaschen mindestens geliefert werden.

(3 BE)

Ein Supermarkt erhält eine Lieferung von 150 Kartons.

Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass mehr als $3 \;\%$ der Kartons fehlerhaft sind.

(4 BE)

Das Unternehmen gibt den Anteil fehlerhaft etikettierter Kartons mit $p_0$ an. Ein Abnehmer bezweifelt diese Angabe.

Zur Überprüfung der Angabe registriert der Abnehmer in einer Stichprobe vom Umfang $n$ einen Anteil $h$ fehlerhaft etikettierter Kartons.

Die Abbildung zeigt für diese Stichprobe die Graphen der für $p \in[0 ; 1]$ definierten Funktionen:

$f(p)=p+1,96 \cdot \sqrt{\dfrac{p \cdot(1-p)}{n}}$

$g(p)=p-1,96 \cdot \sqrt{\dfrac{p \cdot(1-p)}{n}}$

Etikettierte Kartons Fehlerhaft Sachsen-Anhalt Abi 2023

Veranschauliche die folgende wahre Aussage in der Abbildung und erläutere deine Veranschaulichung.

Die Überprüfung der Verträglichkeit des Stichprobenergebnisses $h$ mit der Wahrscheinlichkeit $p_0$ führt sowohl ausgehend von $h$ als auch von $p_0$ zum gleichen Resultat.

(3 BE)

3.2

Die Füllmenge der Flaschen soll als normalverteilt mit einem Erwartungswert von $600,5 \,\text{ml}$ und einer Standardabweichung von $0,23 \,\text{ml}$ angenommen werden.

Eine Flasche wird zufällig ausgewählt. Ermittle für die folgenden Ereignisse jeweils die Wahrscheinlichkeit:

$A:$ "Die Flasche enthält mehr als $601\,\text{ml}$ Öl."

$B:$ "Die Füllmenge der Flasche weicht höchstens um $0,5 \,\text{ml}$ vom Erwartungswert ab."

(3 BE)

Die Füllmenge einer Flasche ist nie negativ. Die Normalverteilung, die zur Beschreibung der Füllmenge der Flaschen verwendet wird, ist jedoch auch für negative reelle Zahlen definiert und nimmt dabei ausschließlich positive Werte an.

Begründe, dass die Verwendung der Normalverteilung dennoch sinnvoll ist.

(2 BE)

3.3

Im Folgenden werden Ereignisse $C$ und $D$ eines Zufallsversuchs betrachtet.

In der Vierfeldertafel sind zugehörige Wahrscheinlichkeiten angegeben.

	$\color{#fff}{C}$	$\color{#fff}{\overline{C}}$
$\color{#fff}{D}$		$0,25$
$\color{#fff}{\overline{D}}$
		$0,70$

Bei einem Nachweis wurden folgende Argumentationsschritte in der angegebenen Reihenfolge durchgeführt:

$(\text{I}) \quad \mathrm{P}(\overline{\mathrm{C}} \cap \overline{\mathrm{D}})=0,45$

$(\text{II}) \quad P(\overline{D}) \geq 0,45$

$(\text{III}) \quad P(D) \leq 0,55$

Erläutere für jeden Argumentationsschritt den zugrundeliegenden Gedankengang und zeige, dass damit $P(D)\lt P(\overline{C})$ nachgewiesen wird.

(4 BE)

Die Wahrscheinlichkeit, dass von den Ereignissen $C$ und $D$ genau eines eintritt, beträgt $0,55.$

Vervollständige die Vierfeldertafel.

(3 BE)

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3.1

Aufgabenstellung formulieren

„Es wird ein Karton zufällig ausgewählt. Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass jede Flasche aus dem Karton mindestens $600\,\text{ml}$ Öl enthält."

Ansatz erläutern

Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine Flasche mindestens $600\,\text{ml}$ enthält:

$1-0,015=0,985$

Wahrscheinlichkeit dafür, dass alle 12 Flaschen aus einem Karton mindestens $600\,\text{ml}$ enthalten:

$0,985^{12}$

Das Mittel von mehr als 780 Flaschen entspricht dem Erwartungswert. Hierbei beschreibt $n$ die Anzahl der gelieferten Flaschen.

Es soll gelten:

$\begin{array}[t]{rll} \mu&\gt& 780& \\[5pt] n\cdot 0,985&\gt& 780&\quad \scriptsize \mid\; :0,985 \\[5pt] n&\gt& 791,9& \\[5pt] \end{array}$

Da die Anzahl der Flaschen eine natürliche Zahl sein muss, gilt $n \gt 792.$

Es werden also mindestens 792 Flaschen geliefert.

$X$ beschreibt die Anzahl der Flaschen in einem Karton, die weniger als $600\,\text{ml}$ enthalten und ist binomialverteilt mit $n=12$ und $p=0,015.$

Mit dem binomcdf-Befehl folgt:

$\begin{array}[t]{rll} P(„\text{fehlerhaft}")&=& P(X \geq 2)&\quad \scriptsize \mid\; WTR \\[5pt] &\approx& 0,013 \end{array}$

$Y$ beschreibt die Anzahl der fehlerhaften Kartons und ist binomialverteilt mit $n=150$ und $p=0,013.$

$3\,\%$ der Kartons entspricht $150\cdot 0,03=4,5.$ Da die Anzahl der Kartons eine natürliche Zahl sein muss und mehr als $3\,\%$ fehlerhaft sein sollen, müssen in diesem Fall also mindestens 5 Kartons fehlerhaft sein.

Es gilt also:

$\begin{array}[t]{rll} P(Y \gt 5) &=& 1-P(Y \leq 5) \\[5pt] &\approx & 0,05 \end{array}$

Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass mehr als $3\,\%$ der Kartons fehlerhaft sind, beträgt somit ca. $5\,\%.$

In der Abbildung sind $f(p)$ und $g(p)$ für die Vertrauenswahrscheinlichkeit $95 \%$ dargestellt. Die $y$ -Achse stellt den Anteil $h$ fehlerhaft etikettierter Kartons dar.

Die Verträglichkeit des Stichprobenergebnisses $h$ mit der Wahrscheinlichkeit $p_0$ kann mit zwei Vorgehensweisen überprüft werden:

Prognoseintervall bestimmen

Mögliche Veranschaulichung Prognoseintervall

Beispielwerte: Für $p_0=0,5$ wird das Prognoseintervall $[0,4;0,6]$ abgelesen.

Vertrauensintervall bestimmen

Mögliche Veranschaulichung Vertrauensintervall

Beispielwerte: Für $h=0,5$ wird das Vertrauensintervall $[0,4;0,6]$ abgelesen.

Gesamtresultat

Liegt $h$ außerhalb des berechneten Prognoseintervalls bzw. liegt $p_0$ außerhalb des berechneten Vertrauensintervalls, bestünde unter einer Sicherheitswahrscheinlichkeit von $95 \%$ Anlass dazu den vom Unternehmen angegebenen Anteil fehlerhaft etikettierter Kartons infrage zu stellen.

Mit beiden Vorgehensweisen folgt das gleiche Ergebnis und deswegen auch die wahre Aussage für die Verträglichkeit des Stichprobenergebnisses $h$ mit der Wahrscheinlichkeit $p_0.$

Das gleiche Resultat kommt daher zustande, dass die Graphen der Funktionen $f$ und $g$ für die Intervallränder symmetrisch zueinander bezüglich der Winkelhalbierenden im ersten Quadranten sind.

Die Umkehrfunktion von $f$ ist $g$ und es ist ebenso $g^{-1}(p)=f(p).$

Mit gegebenem $h$ kann über die Umkehrfunktionenen von $f$ und $g$ das Vertrauensintervall rechnerisch ermittelt werden. Wegen der Symmetrie von $f$ und $g$ ergeben sich damit die gleichen Werte wie wenn anhand von $p_0$ das Prognoseintervall bestimmt werden würde.

3.2

$Z$ beschreibt die Füllmenge der Flasche in $\,\text{ml}$ und ist normalverteilt mit $\mu=600,5$ und $\sigma=0,23.$

Mit dem normalcdf-Befehl folgt:

Ereignis A

$\begin{array}[t]{rll} P(A)&=& P(Z\gt 601) & \\[5pt] &=& 1- P(0 \leq Z\leq 601) &\quad \scriptsize \mid\; WTR \\[5pt] &\approx& 0,015 & \\[5pt] &=& 1,5\,\% \end{array}$

Ereignis B

$\begin{array}[t]{rll} P(B)&=& P(600 \leq Z\leq 601) & \\[5pt] &\approx& 0,970 & \\[5pt] &=& 97\,\% \end{array}$

Die verwendete Normalverteilung liefert für die negativen Füllmengen so geringe Wahrscheinlichkeiten, dass diese vernachlässigt werden können.

3.3

$\text{(I)} \;$ Die Werte in der letzten Zeile geben jeweils die Summen der darüberliegenden Zahlen an. Es gilt also:

$\begin{array}[t]{rll} 0,25+P(\overline{C}\cap\overline{D})&=& 0,70 &\quad \scriptsize \mid\; -0,25 \\[5pt] P(\overline{C}\cap\overline{D})&=& 0,45 \end{array}$

	$\color{#fff}{C}$	$\color{#fff}{\overline{C}}$
$\color{#fff}{D}$		$0,25$
$\color{#fff}{\overline{D}}$		$0,45$
		$0,70$

$\text{(II)} \;$ Die Wahrscheinlichkeit von $\overline{D}$ lässt sich wie folgt berechnen:

$\begin{array}[t]{rll} P(\overline{D})&=& P(\overline{D}\cap C)+P(\overline{D}\cap \overline{C})& \\[5pt] &=& P(\overline{D}\cap C)+0,45& \\[5pt] &\geq& 0,45 \end{array}$

	$\color{#fff}{\overline{C}}$
$\color{#fff}{D}$	$0,25$
$\color{#fff}{\overline{D}}$	$0,45$	$\geq 0,45$
	$0,70$

$\text{(III)} \;$ Die letzte Spalte sowie die letzte Zeile der Vierfeldertafel müssen jeweils $1$ ergeben. Es gilt also $P(D)+P(\overline{D}=1.$

Wegen $P(\overline{D})\geq 0,45$ folgt somit $P(D)\leq 0,55.$

	$\color{#fff}{\overline{C}}$
$\color{#fff}{D}$	$0,25$	$\leq 0,55$
$\color{#fff}{\overline{D}}$	$0,45$	$\geq 0,45$
	$0,70$	$1$

Für das beschriebene Ereignis $E$ gilt:

$P(E)=0,55$

Vollständige Rechnung anzeigen

Eintragen in die Vierfeldertafel ergibt:

	$\color{#fff}{C}$	$\color{#fff}{\overline{C}}$
$\color{#fff}{D}$		$0,25$
$\color{#fff}{\overline{D}}$	$0,3$	$0,45$
		$0,70$	$1$

Nun folgt:

$\begin{array}[t]{rll} P(\overline{D})&=& P(C\cap \overline{D})+P(\overline{C} \cap \overline{D})&\\[5pt] &=& 0,3+0,45&\\[5pt] &=& 0,75 \end{array}$

$\begin{array}[t]{rll} P(D)&=& 1-P(\overline{D})& \\[5pt] &=& 1-0,75& \\[5pt] &=& 0,25 \end{array}$

$\begin{array}[t]{rll} P(C)&=& 1- P(\overline{C}) &\\[5pt] &=& 1-0,70&\\[5pt] &=& 0,30 \end{array}$

$\begin{array}[t]{rll} P(C \cap D)&=& P(C)-P(C \cap \overline{D})&\\[5pt] &=& 0,30-0,30&\\[5pt] &=& 0 \end{array}$

Somit ergibt sich die vollständige Vierfeldertafel mit:

	$\color{#fff}{C}$	$\color{#fff}{\overline{C}}$
$\color{#fff}{D}$	$0$	$0,25$	$0,25$
$\color{#fff}{\overline{D}}$	$0,3$	$0,45$	$0,75$
	$0,30$	$0,70$	$1$

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