Aufgabe 3.1: Stochastik

3.1.1

Für ein Land wird die Bevölkerungsgruppe der Erwachsenen betrachtet. In dieser Bevölkerungsgruppe beträgt der Anteil der Internetnutzer 88 %; der Anteil derjenigen, die mindestens 65 Jahre alt sind und das Internet nutzen, beträgt 17 %.
Die betrachtete Bevölkerungsgruppe besteht aus 60,7 Millilonen Personen, von denen 16,4 Millionen mindestens 65 Jahre alt sind.

Aus der betrachteten Bevölkerungsgruppe wird eine Person zufällig ausgewählt.
Untersucht werden folgende Ereignisse:

"Die Person nutzt das Internet."

"Die Person ist mindestens 65 Jahre alt."

Stelle den Sachzusammenhang in einer vollständig ausgefüllten Vierfeldertafel dar.

(3 BE)

Untersuche, ob die Ereignisse $A$ und $B$ stochastisch unabhängig sind.

(3 BE)

Beschreibe das Ereignis $\overline{A} \cap B$ im Sachzusammenhang.

(2 BE)

Bestimme für den Fall, dass die ausgewählte Person jünger als 65 Jahre ist, die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sie das Internet nutzt.

(3 BE)

In der betrachteten Bevölkerungsgruppe nutzen etwa 72 % das Internet mit einem Smartphone.

Aus der betrachteten Bevölkerungsgruppe werden 150 Personen zufällig ausgewählt. Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Anzahl derjenigen ausgewählten Personen, die das Internet mit einem Smartphone nutzen, weniger als 10 % vom Erwartungswert dieser Anzahl abweicht.

(4 BE)

Ermittle, wie viele Personen aus der betrachteten Bevölkerungsgruppe mindestens zufällig ausgewählt werden müssen, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mehr als 98 % mehr als zwei dieser Personen das Internet mit einem Smartphone nutzen.

(4 BE)

3.1.2

In zwei Behältern befinden sich insgesamt 300 Kugeln, von denen 105 weiß und die übrigen schwarz sind. Im ersten Behälter befinden sich $k$ Kugeln, von denen $w$ weiß sind. Jedem Behälter wird eine Kugel zufällig entnommen.

Interpretiere den Term $\dfrac{195-(k-w)}{300-k}$ im Sachzusammenhang.

(3 BE)

Es gilt:

Mit einer Wahrscheinlichkeit von 12,5 % sind beide entnommenen Kugeln weiß.
Mit einer Wahrscheinlichkeit von 37,5 % ist die aus dem ersten Behälter entnommene Kugel schwarz und die aus dem zweiten Behälter entnommene Kugel weiß.

Gib die zugehörigen Gleichungen an, mit denen die Anzahl der weißen Kugeln im ersten Behälter berechnet werden könnte.

(3 BE)

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3.1.1

	$A$	$\overline{A}$	Gesamt
$B$	$17\,\%$	$10\,\%$	$27\,\%$
$\overline{B}$	$71\,\%$	$2\,\%$	$73\,\%$
Gesamt	$88\,\%$	$12\,\%$	$100\,\%$

$A$ und $B$ sind stochastisch unabhängig, wenn $P(A\cap B) = P(A)\cdot P(B)$ gilt.
Aus der Vierfeldertafel lässt sich $P(A\cap B) = 0,17$ und $P(A)= 0,88$ und $P(B) = 0,27$ ablesen.

$P(A) \cdot P(B)= 0,88 \cdot 0,27$ $= 0,2376\neq P(A\cap B)$

$A$ und $B$ sind also stochastisch abhängig.

Die Person ist mindestens 65 Jahre alt und nutzt das Internet nicht.

$P_{\overline{B}}(A) = \dfrac{P(A\cap \overline{B})}{P(\overline{B})} = \dfrac{71\,\%}{73\,\%}$ $\approx 97\,\%$

Betrachtet wird die Zufallsgröße $X,$ die die zufällige Anzahl der Personen beschreibt, die das Internet mit dem Smartphone nutzen.
$X$ kann als binomialverteilt angenommen werden: $X \sim B_{150;0,72}.$

Der Erwartungswert lässt sich daher wie folgt berechnen:

$\mu = 150 \cdot 0,72 = 108$

Die Anzahl soll um maximal $10\,\%$ davon abweichen:

$0,1 \cdot 108 = 10,8$

Gesucht ist also folgende Wahrscheinlichkeit, die sich mit einer passenden Tabelle zur kumulierten Binomialverteilung oder dem Taschenrechner bestimmen lässt:

$P(108-10,8 \leq X \leq 108+10,8)$ $= P(98\leq X \leq 118)$ $\approx 0,94 = 94\,\%$

Mit einer Wahrscheinlichkeit von ca. 94 % weicht die Anzahl derer, die das Internet auf dem Smartphone nutzen, um maximal 10 % vom Erwartungswert ab.

Hier gilt $X\sim B_{n;0,72}$ mit unbekannter Stichprobengröße $n.$
Gesucht ist $n,$ sodass $P(X\gt 2) \gt 98\,\%$ gilt.
Durch Ausprobieren ergeben sich unter anderem folgende Wahrscheinlichkeiten:

$n=7:\quad$ $P(X\gt 2)\approx 97,9\,\%$

$n=8:\quad$ $P(X\gt 2)\approx 99,2\,\%$

Es müssen also mindestens acht Personen ausgewählt werden.

3.1.2

Der Term gibt die Wahrscheinlichkeit dafür an, dass die aus dem zweiten Behälter entnommene Kugel schwarz ist.

Mit der Pfadmultiplikationsregel lassen sich die beiden folgenden Gleichungen aufstellen:

$\dfrac{w}{k}\cdot \dfrac{105-w}{300-k} = 0,125$

$\dfrac{k-w}{k}\cdot \dfrac{105-w}{300-k} = 0,375$

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