Teil B3 - Stochastik

Der Weg zum Führerschein führt in Deutschland über den Besuch einer Fahrschule. Im Jahr 2022 fielen in Deutschland $39\,\%$ der Teilnehmenden durch die theoretische und $30\,\%$ durch die praktische Fahrprüfung. Erst nach bestandener theoretischer Prüfung wird man zur praktischen Prüfung zugelassen. Ein Führerschein wird ausgestellt, wenn sowohl die theoretische als auch die praktische Prüfung bestanden wurde. Die relativen Häufigkeiten werden im Folgenden als Wahrscheinlichkeiten interpretiert und das Bestehen der Prüfungen als voneinander unabhängig angenommen.

Aus: https://de.statista.com (15.12.2023)

Berechne die Wahrscheinlichkeiten der folgenden Ereignisse.

$A: =$

„Ein zufällig ausgewählter Fahrschüler erhält den Führerschein ohne Wiederholungsprüfung.“

$B: =$

„Ein zufällig ausgewählter Fahrschüler erhält den Führerschein, nachdem er genau eine der Prüfungen genau einmal wiederholen musste.“

(4 BE)

In einer Thüringer Fahrschule findet ein Kurs mit 24 Teilnehmenden statt. Vereinfachend wird angenommen, dass die Anzahl der Teilnehmenden, welche die theoretische Fahrprüfung bestehen, binomialverteilt ist.

Bestimme die Wahrscheinlichkeit der folgenden Ereignisse.

$C: =$

„Mindestens die Hälfte der Kursteilnehmenden besteht die theoretische Prüfung sofort.“

$D: =$

„Die Anzahl der Kursteilnehmenden, die die theoretische Prüfung wiederholen müssen, weicht höchstens um die Standardabweichung vom Erwartungswert ab.“

(5 BE)

Formuliere das Gegenereignis $\overline{C}$ von $C$ in Worten.
Gib einen Term zur Berechnung der Wahrscheinlichkeit von $\overline{C}$ mit Hilfe des Summenzeichens an.

(3 BE)

Die Besitzerin der Fahrschule hat festgestellt, dass bei ihr 31 von den letzten 100 Teilnehmenden an der theoretischen Fahrprüfung die Prüfung nicht bestanden haben.

Untersuche mittels eines $95\,\%$ -Konfidenzintervalls, ob die Besitzerin für ihre Fahrschule die deutschlandweite Durchfallquote von $39\,\%$ bezweifeln kann.
Beschreibe die Auswirkung einer Veränderung des Stichprobenumfangs auf die Schätzung der Wahrscheinlichkeit $p.$

(5 BE)

Die Besitzerin vermutet, dass die Durchfallquote in ihrer Fahrschule bei $31\,\%$ liegt.
Sie möchte diese Vermutung mit Hilfe von $95\,\%$ -Prognoseintervallen für die relativen Häufigkeiten überprüfen. Die Prognoseintervalle für $31\,\%$ und $39\,\%$ sollen sich deshalb nicht überschneiden.
Berechne die Anzahl der Prüfungsteilnehmenden der Fahrschule, die dafür mindestens betrachtet werden müssen.

(4 BE)

Die Dauer einer theoretischen Prüfung kann als normalverteilt angesehen werden.
Die Hälfte der Prüfungsteilnehmenden der theoretischen Prüfung benötigt weniger als $30$ Minuten, $2\,\%$ benötigen länger als $45$ Minuten. Erfahrungsgemäß haben nach $90$ Minuten alle die Prüfung beendet.
Bestimme den Erwartungswert und die Standardabweichung der Prüfungsdauer.

(4 BE)

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$\begin{array}[t]{rll} P(A)&=&(1-0,39)\cdot(1-0,3) \\[5pt] &=&0,61\cdot0,7 \\[5pt] &=&0,427 \\[5pt] &=&42,7\,\% \end{array}$

Rechenweg anzeigen

$P(B) \approx 29,46\,\%$

Die Zufallsvariable $X,$ die die zufällige Anzahl der Teilnehmer des Kurses angibt, welche die theoretische Fahrprüfung nicht bestehen, ist binomialverteilt mit Parametern $n=24$ und $p=0,39.$ Mit dem CAS folgt:

$\begin{array}[t]{rll} P(C)&=&B_{24;0,39}(X\leq11) \\[5pt] &\approx&0,9043 \\[5pt] &=&90,43\,\% \end{array}$

Für den Erwartungswert und die Standardabweichung von $X$ gilt:

$\begin{array}[t]{rll} \mu&=&n\cdot p \\[5pt] &=&24\cdot0,39 \\[5pt] &\approx&9,36 \end{array}$

$\begin{array}[t]{rll} \sigma&=&\sqrt{n\cdot p\cdot(1-p)} \\[5pt] &=&\sqrt{24\cdot 0,39\cdot0,61} \\[5pt] &\approx&2,39 \end{array}$

Damit folgt für die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses $D:$

Rechenweg anzeigen

$P(D) \approx 70,16\,\%$

Gegenereignis formulieren

$\overline{C}:=$

„Höchstens elf der 24 Kursteilnehmenden bestehen die theoretische Prüfung sofort.“

Term zur Berechnung der Wahrscheinlichkeit angeben

$P\left(\overline{C}\right)=\displaystyle\sum\limits_{k=0}^{11}\pmatrix{24\\k} \cdot 0,61^{k}$ $\cdot 0,39^{24-k}$

Mögliches Bezweifeln der Durchfallquote untersuchen

Die Durchfallquoten $p,$ die im $95\,\%$ -Konfidenzintervall liegen, lassen sich durch die folgende Gleichung bestimmen:

$\left\vert\dfrac{31}{100}-p\right\vert\leq2\cdot\dfrac{\sigma}{n}$

Hier gilt $n=100$ und für die Standardabweichung $\sigma$ folgt mit $\frac{31}{100}=0,31:$

$\begin{array}[t]{rll} \sigma&=&\sqrt{100\cdot0,31\cdot0,69} \\[5pt] &\approx&4,63 \end{array}$

Einsetzen von $\sigma$ und $n$ in die obige Formel und auflösen nach $p$ mit dem CAS liefert:

$0,2175\leq p\leq0,4025$

Die deutschlandweite Durchfallquote von $39\,\%=0,39$ liegt somit im $95\,\%$ -Konfidenzintervall und kann deshalb nicht bezweifelt werden.

Auswirkung einer Veränderung des Stichprobenumfangs beschreiben

Der Durchmesser des Konfidenzintervalls wird bei Vergrößerung des Stichprobenumfangs $n$ kleiner, das heißt die Schätzung der Wahrscheinlichkeit $p$ wird genauer.

Damit die beiden Prognoseintervalle sich nicht schneiden, muss die obere Grenze des $95\,\%$ -Prognoseintervalls für $31\,\%$ kleiner als die untere Grenze des $95\,\%$ -Prognoseintervalls für $39\,\%$ sein. Insgesamt muss somit bei unbekanntem Stichprobenumfang $n$ gelten:

Gleichung anzeigen

Auflösen nach $n$ mit dem CAS liefert $n\gt564,4.$ Es müssen somit mindestens $565$ Prüfungsteilnehmende der Fahrschule betrachtet werden, damit sich die beiden Prognoseintervalle nicht schneiden.

Die Zufallgröße $Y$ gibt die Dauer einer zufällig ausgewählten theoretischen Prüfung in Minuten an und ist nach Aufgabenstellung normalverteilt. Es gilt $N_{\mu;\sigma}(Y\leq30)=0,5.$ Da normalverteilte Zufallsgrößen symmetrisch sind, folgt für den Erwartungswert direkt $\mu=30\;\text{min}.$ Somit folgt mit der Aufgabenstellung weiter:

$N_{30;\sigma}(Y\geq45)=0,02$

Auflösen nach $\sigma$ mit dem CAS liefert für die Standardabweichung $\sigma \approx 7,3\;\text{min}.$

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