Teil C2

Ein Unternehmen organisiert Fahrten mit einem Ausflugsschiff.

1.1

Betrachtet wird zunächst eine Fahrt, bei der das Schiff mit $60$ Fahrgästen voll besetzt ist. Zu Beginn der Fahrt werden drei Fahrgäste zufällig ausgewählt. Diese erhalten jeweils ein Freigetränk.

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Zwei Drittel der Fahrgäste kommen aus Deutschland, die übrigen aus anderen Ländern. Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die drei ausgewählten Fahrgäste aus Deutschland kommen.

(2 BE)

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Unter den Fahrgästen befinden sich Erwachsene und Kinder. Die Hälfte der Fahrgäste isst während der Fahrt ein Eis, von den Erwachsenen nur jeder Dritte, von den Kindern $75\,\%$ . Berechne, wie viele Kinder an der Fahrt teilnehmen.

(3 BE)

1.2

Möchte man an einer Fahrt teilnehmen, so muss man dafür im Voraus eine Reservierung vornehmen. Erfahrungsgemäß erscheinen von den Personen mit Reservierung einige nicht zur Fahrt. Für die 60 Plätze lässt das Unternehmen deshalb bis zu $64$ Reservierungen zu. Es soll davon ausgegangen werden, dass für jede Fahrt tatsächlich $64$ Reservierungen vorgenommen werden. Erscheinen mehr als $60$ Personen mit Reservierung zur Fahrt, so können nur $60$ von ihnen daran teilnehmen; die übrigen müssen abgewiesen werden.
Vereinfachend soll angenommen werden, dass die Anzahl der Personen mit Reservierung, die zur Fahrt erscheinen, binomialverteilt ist, wobei die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine zufällig ausgewählte Person mit Reservierung nicht zur Fahrt erscheint, $10\,\%$ beträgt.

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Gib einen Grund dafür an, dass es sich bei dieser Annahme im Sachzusammenhang um eine Vereinfachung handelt.

(1 BE)

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Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass mindestens eine Person mit Reservierung abgewiesen werden muss.

(3 BE)

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Für das Unternehmen wäre es hilfreich, wenn die Wahrscheinlichkeit dafür, mindestens eine Person mit Reservierung abweisen zu müssen, kleiner als ein Prozent wäre. Dazu müsste die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine zufällig ausgewählte Person mit Reservierung nicht zur Fahrt erscheint, mindestens einen bestimmten Wert haben.
Ermittle den Wert auf ganze Prozent genau.

(4 BE)

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Das Unternehmen richtet ein Online-Portal zur Reservierung ein und vermutet, dass dadurch der Anteil der Personen mit Reservierung, die zur jeweiligen Fahrt nicht erscheinen, zunehmen könnte. Als Grundlage für die Entscheidung darüber, ob pro Fahrt künftig mehr als $64$ Reservierungen angenommen werden, soll die Nullhypothese „Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine zufällig ausgewählte Person mit Reservierung nicht zur Fahrt erscheint, beträgt höchstens $10\,\%$ .“ mithilfe einer Stichprobe von $200$ Personen mit Reservierung auf einem Signifikanzniveau von $5\,\%$ getestet werden. Vor der Durchführung des Tests wird festgelegt, die Anzahl der Reservierungen pro Fahrt nur dann zu erhöhen, wenn die Nullhypothese aufgrund des Testergebnisses abgelehnt werden müsste.

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Ermittle für den beschriebenen Test die zugehörige Entscheidungsregel.

(5 BE)

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Entscheide, ob bei der Wahl der Nullhypothese eher das Interesse, dass weniger Plätze frei bleiben sollen, oder das Interesse, dass nicht mehr Personen mit Reservierung abgewiesen werden müssen, im Vordergrund stand. Begründe deine Entscheidung.

(3 BE)

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Beschreibe den Fehler zweiter Art im Sachzusammenhang. Berechne die Größe des Fehlers zweiter Art, wenn tatsächlich $15\,\%$ der Personen mit Reservierungen zur jeweiligen Fahrt nicht erscheinen.

(4 BE)

Für jede reelle Zahl $k$ ist eine Gerade $g_k$ gegeben durch

$g_k:\overrightarrow{x}=\pmatrix{1\\2\\1}+t\cdot\pmatrix{k\\1\\k}$ $\left(t\in\mathbb{R}\right).$

$\,$

Gib den gemeinsamen Punkt aller Geraden $g_k$ an. Ermittle die Gleichung der Geraden $g_k$ , die durch den Punkt $P(-1\mid\frac{3}{2}\mid -1)$ verläuft.

(3 BE)

$\,$

Gib die Gleichung der Geraden $g_k$ an, die parallel zur y-Achse liegt. Begründe, dass keine Gerade $g_k$ senkrecht zur $xy$ -Ebene verläuft.

(2 BE)

$\,$

Die Geraden $g_k$ schneiden für $k\neq 0$ die $xy$ -Ebene. Beschreibe die besondere Lage dieser Schnittpunkte.

(3 BE)

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Jede Gerade $g_k$ besitzt für $t=2$ einen Punkt $Q_k$ . Bestimme eine Gleichung der Geraden, auf der alle Punkte $Q_k$ liegen.

(2 BE)

$\,$

Weise nach, dass sich die Gerade

$h:\overrightarrow{x}=\pmatrix{2\\1\\2}+s\cdot\pmatrix{1\\9\\5}\,\left(s\in\mathbb{R}\right)$ nur mit einer der Geraden $g_k$ schneidet. Berechne die Koordinaten des Schnittpunktes und die Größe des Schnittwinkels.

(5 BE)

1.1

$\frac{2}{3}\cdot 60 = 40$ Fahrgäste kommen aus Deutschland. Mit der Pfadmultiplikationsregel folgt:

$\dfrac{40}{60} \cdot \dfrac{39}{59}\cdot \dfrac{38}{58}$ $\approx 0,2887 = 28,87\,\%$

Mit einer Wahrscheinlichkeit von ca. $28,87\,\%$ kommen die drei ausgewählten Fahrgäste somit aus Deutschland.

Der gesuchte Anteil der Kinder wird im Folgenden mit $p$ bezeichnet. Mit den Pfadregeln ergibt sich dann folgende Gleichung:

Rechenweg anzeigen

$p = 0,4$

Somit sind $40\,\%$ der Fahrgäste Kinder, das heißt insgesamt nehmen $0,4\cdot 60 = 24$ Kinder an der Fahrt teil.

1.2

Um die Anzahl der zur Fahrt erscheinenden Personen als binomialverteilt zu betrachten, wird vereinfachend davon ausgegangen, dass jede Person mit einer Reservierung mit gleicher Wahrscheinlichkeit unabhängig von anderen Personen mit Reservierung erscheint oder nicht erscheint. Das ist in der Realität nicht gegeben, denn reserviert beispielsweise eine ganze Familie, so werden die Eltern vermutlich nicht unabhängig von den Kindern entscheiden ob sie die Fahrt antreten oder nicht.

Die Zufallsvariable $X$ beschreibt die Anzahl der Personen mit Reservierung, die nicht zur Fahrt erscheinen und ist binomialverteilt mit $n=64$ und $p=0,1.$ Wenn höchstens drei Personen mit Reservierung nicht zur Fahrt erscheinen, muss mindestens eine Person mit Reservierung abgewiesen werden. Mit dem CAS folgt somit:

$B_{64;0,1}(X\leq 3) \approx 0,1063 = 10,63\,\%$

Die Zufallsgröße $Y$ soll nun binomialverteilt mit $n=64$ und unbekanntem $p$ sein. Sie beschreibt die Anzahl der Personen mit Reservierung, die nicht zur Fahrt antreten. Gesucht ist der auf ein Prozentpunkt gerundete kleinste Wert für $p,$ sodass $P(Y \leq 3) \leq 0,01$ erfüllt ist. Systematisches Ausprobieren liefert:

$B_{64;0,14}(Y \leq 3 ) \approx 0,0157 \gt 0,01$

$B_{64;0,15}(Y \leq 3 ) \approx 0,0092 \lt 0,01$

Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine zufällig ausgewählte Person mit Reservierung nicht zur Fahrt erscheint, muss somit mindestens $15\,\%$ betragen.

Die Zufallsgröße $Z$ beschreibt nun die Personen aus der Stichprobe von $200$ zufällig ausgewählten Personen mit Reservierung, die nicht zur Fahrt erscheinen und ist binomialverteilt mit $n=200$ und unbekanntem $p.$ Ausgehend davon, dass $Y$ entsprechend der Nullhypothese

$H_0:\,$ „Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine zufällig ausgewählte Person mit Reservierung nicht zur Fahrt erscheint, beträgt höchstens $10\,\%.$ “

verteilt ist, so gilt $p \leq 0,1$ mit $p=0,1$ im Extremfall.

Gesucht ist nun das kleinste $k,$ welches folgende Ungleichung erfüllt:

Rechenweg anzeigen

$B_{200;0,1}(Z\leq k-1) \geq 0,95$

Systematisches Ausprobieren liefert mit dem CAS:

$B_{200;0,1}(Y \geq 26 )\approx 0,9328 \lt 0,95$

$B_{200;0,1}(Y \geq 27 )\approx 0,9566 \gt 0,95$

Somit folgt $k-1\geq 27$ und damit $k\geq 28.$ Treten also $28$ oder mehr Fahrgäste aus der Stichprobe ihre Fahrt nicht an, so kann das Unternehmen auf dem Signifikanzniveau von $5\,\%$ davon ausgehen, dass sich der Anteil der Fahrgäste mit Reservierung, die nicht zur Fahrt erscheinen, erhöht hat und wird die Anzahl der für eine Fahrt möglichen Reservierungen erhöhen.
Erscheinen weniger als $28$ Personen der Stichprobe nicht zur Fahrt, belässt das Unternehmen die Anzahl der möglichen Reservierungen bei $64.$

Die Nullhypothese, welche besagt, dass die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine zufällig ausgewählte Person mit Reservierung nicht zur Fahrt erscheint, höchstens $10\,\%$ beträgt, wird nur dann abgelehnt, wenn mehr Fahrgäste mit Reservierung der Fahrt fernbleiben, als es auf einem Signifikanzniveau von $5\,\%$ zu erwarten wäre.
Es wird also die Wahrscheinlichkeit dafür beschränkt, dass mehr Reservierungen getätigt werden können, obwohl sich der Anteil der Personen die nicht zur Fahrt erscheinen nicht erhöht hat. Bei der Wahl der Nullhypothese stand daher das Interesse im Vordergrund, dass nicht mehr Personen mit Reservierung abgewiesen werden müssen.

Fehler zweiter Art im Sachzusammenhang beschreiben

Beim Fehler zweiter Art wird die Nullhypothese fälschlicherweise nicht abgelehnt, obwohl eigentlich die durch die Gegenhypothese angegebene Wahrscheinlichkeit gilt. Im Sachzusammenhang geht das Unternehmen bei einem Fehler zweiter Art fälschlicherweise davon aus, dass sich die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine zufällig ausgewählte Person mit Reservierung nicht zur Fahrt antritt, nicht verändert hat, obwohl sich die Wahrscheinlichkeit tatsächlich erhöht hat und würde somit nicht mehr Reservierungen möglich machen, was auf lange Sicht zu mehr freien Plätzen auf den Fahrten führt.

Größe des Fehlers zweiter Art berechnen

$B_{200;0,15}(X \lt 28)$ $= B_{200;0,15}(X \leq 27)$ $\approx 0,3166 = 31,66\,\%$

Die Größe des Fehlers zweiter Art beträgt somit ca. $31,66\,\%.$

Gemeinsamen Punkt angeben

Der Stützvektor der Geraden $g_k$ hängt nicht von $k$ ab und ist damit für alle Geraden $g_k$ identisch, ein gemeinsamer Punkt aller Geraden besitzt somit die Koordinaten $R(1\mid 2 \mid 1).$

Geradengleichung ermitteln

$\pmatrix{1\\2\\1} + t\cdot \pmatrix{k\\1\\k} = \pmatrix{-1\\\frac{3}{2} \\ -1}$

Es ergibt sich folgendes Gleichungssystem:

$\begin{array}{lrll} \text{I}\quad& 1+t\cdot k&=& -1 \\ \text{II}\quad& 2+t &=& \dfrac{3}{2} \\ \text{III}\quad&1+t\cdot k &=& -1 \\ \end{array}$

Lösen des Gleichungssystems mit dem CAS liefert:

$\begin{array}[t]{rll} t&=&-\dfrac{1}{2} \\[5pt] k&=&4 \end{array}$

Der Punkt $P$ liegt somit auf der Geraden $g_4,$ deren Gleichung sich durch Einsetzen von $k=4$ in die Geradenschar wie folgt ergibt:

$g_4:\overrightarrow{x} = \pmatrix{1\\2\\1} + t\cdot \pmatrix{4\\1\\4}$

Geradengleichung angeben

Eine Gerade liegt parallel zur $y$ -Achse, wenn die $x$ - und $z$ -Koordinaten des Richtungsvektors Null sind. Das gilt für $k=0,$ das heißt für die gesuchte Geradengleichung folgt:

$g_0:\overrightarrow{x} = \pmatrix{1\\2\\1} + t\cdot \pmatrix{0\\1\\0}$

Lage begründen

Damit eine Gerade senkrecht zur $xy$ -Ebene verläuft, muss ihr Richtungsvektor parallel zum Normalenvektor der $xy$ -Ebene verlaufen, das heißt ein Vielfaches des folgenden Vektors sein:

$n_{xy} = \pmatrix{0\\0\\1}$

Der von $k$ abhängige Richtungsvektor der Geradenschar besitzt allerdings eine $y$ -Koordinate ungleich Null, somit kann er für kein $k$ ein Vielfaches von $n_{xy}$ sein, das heißt es gibt keinen Wert von $k,$ für den $g_k$ senkrecht zur $xy$ -Ebene verläuft.

Lage der Schnittpunkte beschreiben

Die $xy$ -Ebene kann durch die Gleichung $z=0$ beschrieben werden, das heißt die Punkte der $xy$ -Ebene haben die allgemeinen Koordinaten $(x\mid y\mid 0).$ Einsetzen in die Geradengleichung von $g_k$ liefert:

$\begin{array}[t]{rll} \pmatrix{1\\2\\1} + t\cdot \pmatrix{k\\1\\k} &=& \pmatrix{x\\y\\0} \end{array}$

Daraus ergibt sich folgendes Gleichungssystem:

$\begin{array}{lrll} \text{I}\quad&1 + t\cdot k&=& x \\ \text{II}\quad&2 + t &=& y \\ \text{III}\quad&1+ t\cdot k&=& 0 \\ \end{array}$

Vergleichen der ersten und dritten Gleichung liefert direkt $x = 0.$ Alle Schnittpunkte von $g_k$ mit der $xy$ -Ebene haben somit Koordinaten der Form $(0\mid y \mid 0),$ das heißt sie liegen auf der $y$ -Achse.

Geradengleichung bestimmen

Einsetzen von $t=2$ in die Geradengleichung von $g_k$ liefert für die Punkte $Q_k:$

$\overrightarrow{OQ_k} = \pmatrix{1\\2\\1} + 2\cdot \pmatrix{k\\1\\k}$ $= \pmatrix{1+2k \\ 4 \\ 1+ 2k}$

Sortieren der von $k$ abhängigen Summanden liefert:

$\pmatrix{1+2k \\ 4 \\ 1+ 2k}$ $= \pmatrix{1 \\ 4 \\ 1} + \pmatrix{2k \\ 0 \\ 2k}$

Somit liegen alle Punkte $Q_k$ auf der Geraden mit der folgenden Gleichung:

$q:\overrightarrow{x} = \pmatrix{1\\4\\1} + k\cdot \pmatrix{2\\0\\2}$

Schnittpunkt nachweisen

$\pmatrix{2\\1\\2} + s\cdot \pmatrix{1\\9\\5}$ $= \pmatrix{1\\2\\1} + t\cdot \pmatrix{k\\1\\k}$

Daraus ergibt sich folgendes Gleichungssystem:

$\begin{array}{lrll} \text{I}\quad& 2+s &=& 1+t\cdot k \\ \text{II}\quad& 1+9s &=& 2+t \\ \text{III}\quad& 2+5s &=& 1+t\cdot k \\ \end{array}$

Lösen des Gleichungssystem mit dem CAS liefert:

$\begin{array}[t]{rll} s&=&0 \\[5pt] t&=&-1 \\[5pt] k&=&-1 \end{array}$

Da das Gleichungssystem für genau einen Wert von $k$ gelöst wird, schneidet sich die Gerade $h$ lediglich mit einer der Geraden $g_k,$ nämlich mit $g_{-1}.$

Koordinaten des Schnittpunkts berechnen

Einsetzen der Lösung $s=0$ des Gleichungssystems in die Geradengleichung von $h$ ergibt:

$\overrightarrow{OT} = \pmatrix{2\\1\\2} + 0\cdot \pmatrix{1\\9\\5}$ $= \pmatrix{2\\1\\2}$

Die Koordinaten des Schnittpunkts von $h$ und $g_{-1}$ lauten somit $T(2\mid 1\mid 2).$

Größe des Schnittwinkels berechnen

Rechenweg anzeigen

$\alpha \approx 80,36^\circ$

Der Schnittwinkel der beiden Geraden $g_{-1}$ und $h$ beträgt somit ca. $80,36^{\circ}.$